习题1第一章 复数与复变函数1.11222z ==-求|z|，Argz 解：1232122=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=zArgz=arctan 212-+2k π=23k ππ+-, ,2,1,0±±=k2．已知211i z +=,=2z i -3,试用指数形式表示2121z z z z 及解：211i z +=i e 4π==2z i -3i e62π-=所以21z z =i e62π-ie4πie122π-=21z z ii i ie e e e 125)64(6421212πππππ===+- 3． 解二项方程440z a += )0(>a 解 由440z a +=得44z a =- 则二次方程的根为1k w a = （k=0,1,2,3） =24k i ea ππ+⋅（k=0,1,2,3）0w =4i ea π⋅=23441(1)2i i a w ea ea i πππ+⋅===-+542(1)2i a w ea i π==--743(1)2i a w ea i π==-4 .设1z 、2z 是两个复数，求证：),Re(2||||||212221221z z z z z z -+=-证明：()()2121221z z z z z z --=-()2122212121222112212221Re 2z z z z z z z z z z z z z z z z -+=--+=---=5． 设123z ,z ,z 三点适合条件：1230z z z ++=及1231z z z ===试证明123z ,z ,z 是一个内接于单位圆周1z =的正三角形的顶点。

证明：设111z x iy =+，222z x iy =+，333z x iy =+因为1230z z z ++=∴1230x x x ++=，1230y y y ++= ∴123x x x =--，123y y y =--又因为1231z z z ===∴三点123z ,z ,z 在单位圆周上，且有222222112233x y x y x y +=+=+而()()2222112323x y x x y y +=+=+()()2223231x x y y ∴+++=()232321x x y y ∴+=-同理=+)(22121y y x x ()()131********x x y y x x y y +=+=-可知()()()()()()222222121223231313x x y y x x y y x x y y -+-=-+-=-+-即122313z z z z z z -=-=-123z ,z ,z 是一个内接于单位圆周1z =的正三角形的顶点得证。

6．下列关系表示的点z 的轨迹是什么图形？他是不是区域？ （1）111z z -<+ 令z x iy =+,由11z z -<+得()()2211z z <-+即()()2211x x <-+,所以0x >,故以虚轴为左界的右半平面;是区域 （2）0arg(1)4z π<-<且2Re 3z ≤≤ 解:由0arg(1)4z π<-<且2Re 3z ≤≤得:0arctan14y x π<<-且23x ≤≤ 即为如图阴影所示（不包括上下边界）;不是区域。

7.证明：z 平面上的直线方程可以写成az az c +=(a 是非零复常数，c 是实常数)证明：设直线方程的一般形式为：ax+by+c=0 (a,b,c 均是实常数，a,b 不全为零)因为：x =2z z +, y = 2z z-代入简化得： ()()11022a bi z a bi z c -+++= 令()102a bi α-=≠得z z c αα+= 反之（逆推可得）设有方程z z c αα+=（复数α0≠，c 是常数） 用z x iy =+代入上式，且令()12a bi α=+化简即得。

8.试证：复平面上三点a+bi,0,1a bi-+共直线。

证明： 因为1()0()a bi a bi a bi -+-+-+=221a b+（实数） 所以三点共直线。

9．求下面方程给出的曲线z=()t i t a sin cos +解:令z= ()iy x +=()t i t a sin cos +得 x=()t a cos ,y=t b sin则有12222=+by a x ,故曲线为一椭圆.10．函数w=z1将z 平面上曲线变成w 平面上的什么曲线()iv u w iy x z +=+=,? （1）2x +2y =4解:由于2x +2y =2z = 4 ,又由于 w=z 1=iy x +1=22y x iy x +-=()iy x -41 所以4,4yv x u ==则()411612222=+=+y x v u这表示在w 平面上以原点为圆心,21为半径的一个圆周. （2）1=x解:将1=x 代入变换u iv +=1x iy+,得u iv +=11iy +=211iyy -+于是u =211y +,21y v y-=+, 且22222211.(1)1y u v u y y++===++故220u u v -+= 解得2211()24u v -+=这表示w 平面上的一个以(1,02)为圆心,12为半径的圆周.（3）221(1)x y +=-解：因为 221(1)x y +=- 即 2220x yx -+= 即.0z z z z --=将 1z w =及 1z w=代入得：1111.0w w w w --= 即 1..w w w w w w+=因此 1w w +=12u =(v 可任意取值) 表示w 平面上平行于虚轴的直线。

11. 求证：()arg (0)f z z z =≠在全平面除去原点和负实轴的区域上连续，在负实轴上不连续.证 设0z 为全平面除去原点和负实轴的区域上任意一点.考虑充分小的正数ε,使角形区域00arg arg z z εθε-<<+与负实轴不相交,从图上立即可以看出,以0z 为中心,0z 到射线0arg z θε=±的距离为半径所作的圆盘,一定落在上述角形区域内，这就是说,只要取00sin z δε<≤.那么当0z z ε-<时就有0arg arg z z ε-<.因此arg z 在0z 为连续.再由0z 的任意性,知()arg f z z =在所述区域内为连续.设1x 是负实轴上任意一点,则1Im 0limarg z z x z π≥→= 及 1Im 0limarg z z x z π<→=-故arg z 在负实轴上为不连续. （如下图）12.命函数()f z =()()22000xyz x y z ⎧=⎪+⎨⎪≠⎩试证：()f z 在原点不连续。

证明：()f z =()()22000xyz x y z ⎧=⎪+⎨⎪≠⎩当点z x yi =+沿y kx =趋于0z =时，()kkz f +→1 当k 取不同值时，()f z 趋于不同的数∴()f z 在原点处不连续。

13. 已知流体在某点M 的速度v=-1-i ，求其大小和方向。

解 大小：11+2 方向：arg v=arctan1314ππ--=--。

14. 412cos sin 244ii i e πππ⎫+=+=⎪⎭；21cos sin 22ii e πππ⎛⎫=⋅+= ⎪⎝⎭；()011cos0sin 0ii e ⋅=⋅+=；()22cos sin 2ii e πππ-=+=；233cos sin 322ii e πππ-⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦；还有22,1,1ik iii eee πππ-=-==-（k 为整数）15.将复数 1-cos +isin ϕϕ化为指数形式。

解 2=2sin +2isincos222ϕϕϕ原式 =2sin2φsin cos 22i φϕ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ =2sin2φcos sin 2222i πϕπϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=2sin 2φe22i πϕ⎛⎫- ⎪⎝⎭16.对于复数α.β，若αβ=0，则α.β至少有一为零.试证之。

证 若αβ=0，则必 |αβ|=0，因而 |α||β|=0.由实数域中的对应结果知|α|.|β|至少有一为零.所以α.β至少有一为零.17.解 因-8=-8(cos isin ππ+),故k 2cos 3k ππ++2sin 3k i ππ+).(k=0,1,2)当k=0时, 0sin )33i ππ+=12(122i+=+当k=1时, 12(cos sin )2;i ππ=+=-当k=2时, 2552(cos sin )2(cos sin )13333i i ππππ=+=-=- ，18.设1z 及2z 是两个复数，试证()212221221Re 2z z z z z z ++=+并应用此等式证明三角不等式(1.2)。

证：()()()()()212221212122212121221121212121221Re 2z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z ++=+++=+++=++=++=+ 其次，由所证等式以及()212121Re 2z z z z z z =≤就可导出三角不等式(1.2)。

19. 连接1z 及2z 两点的线段的参数方程为()121z z t z z =+-()01t ≤≤过 1z 及2z 两点的直线的参数方程为()121z z t z z =+-()t -∞<<+∞由此可知,三点1z 2z 3z 共线的充要条件为3121z z t z z -=- (t 为一非零实数) 3121Im 0z z z z ⎛⎫⎛⎫-⇔= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭20．求证：三个复数1z ，2z ，3z 成为一个等边三角形的三个顶点的充要条件是它们适合等式211332232221z z z z z z z z z ++=++。

证 ：321z z z ∆是等边三角形的充要条件为：向量21z z 绕1z 旋转3π或3π-即得向量31z z ，也就是()ie z z z z 31213π±-=-，即i z z z z 23211213±=--， 即i z z z z 23211213±=---，两端平方化简，即得211332232221z z z z z z z z z ++=++。

21.试证：点集E 的边界E ∂是闭集。

即证()E E ∂⊆'∂。