1．设 z1 3i ，求 z及 Arcz 。

解：由于z 1，Arcz2k , k 0, 1,。

3(z 1 z 2)( z 1 z 2) z 1z 1 z 2z 2 (z 1z 2 z 2z 1)2 z 1z 2 z 1 z 2 3第一章习题解答(一)2．设 z 1 i , z 3 1 ，试用指数形式表示 1 2 2 z 1z 2 及 z 1。

z 24i 6i1 i i 解：由于 z 1e 3 4 , z 23 i 2e12 2ii ( )i i所以 z1z2 e 4i2e6i2e ( 46)i2e 12ii z 1 e 4 1 e (4 6)i i z 2 2e 6 25i 1 1 e 12 。

2 3．解二项方程 z 4 a 4 0,(a 0) 。

2ki解： z 4 a 4 (a 4e i )4 ae 4,k 0,1,2,3。

4．证明 z 1 2 2z 1 z 2 z 1 z 2 证明：由于 2 2 z 1 z 2 z1 2 2 z 22 z 1 z 2 2( z 1 所以 z 1 z 2 其几何意义是： z 2 ) 2 2 ，并说明其几何意义。

2 2 Re(z 1 z 2) z 2 2Re(z 1 z 2) z 1 z 2 2( z 1 z 2 )平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。

5．设 z 1， z 2，z 3三点适合条件： z1 z2 z3 0z 1 z 2 z3 1 。

证明 z 1，z 2， z 3是内接于单位圆 z 1的一个正三角形的顶点。

证 由于 z1z2z3 1，知 z 1z 2z 3 的三个顶点均在单位圆上。

因为 所以，z 1z2 z 1z 2 1，所以 z 1 z 2故z 1 z 2 3 ，同理 z1 z3 z2 z33，知 z 1 z 2 z 3 是内接于单位圆 z 1的一个正三角形。

6．下列关系表示点 z 的轨迹的图形是什么？它是不是区域。

1)z z 1 z z 2 ,(z 1 z 2)；解：点z 的轨迹是 z 1与z 2两点连线的中垂线，不是区域。

( 2) z z 4 ； 解：令 z x yi由x yi (x 4) yi ，即x y ( x 4) y ，得 x 2故点z 的轨迹是以直线 x 2 为边界的左半平面（包括直线 x 2 ）；不是区域。

解：令 z x yi ， 由 z 1 z 1 ，得 (x 1)2 (x 1)2，即 x 0 ； 故点 z 的轨迹是以虚轴为边界的右半平面（不包括虚轴） ；是区域。

4) 0 arg( z 1), 且 2 Re z 3； 4解：令 z x yi故点z 的轨迹是以直线 x 2,x 3,y 0,y x 1为边界的梯形 （包括直线 x 2,x 3 ； 不包括直线 y 0,y x 1）；不是区域。

（5） z 2, 且 z- 3 1； 解：点 z 的轨迹是以原点为心， 2为半径，及以 z 3 为心，以 1为半径的两闭圆外部， 是区域。

6) Im z 1,且 z 2 ； 解：点z 的轨迹是位于直线 Im z 1 的上方（不包括直线 Im z1 ），且在以原点 为心，2 为半径的圆内部分（不包括直线圆弧） ；是区域。

3） z1z1由0 arg(z 1) 42 Re z 30 arg，得yx12x30 y x 1 4 ，即2x37) z 2,且0 arg z 4 ；解：点z 的轨迹是以正实轴、射线 arg z 及圆弧 z 1为边界的扇形(不包括边界) ， 4是区域。

i 13 1 8)z,且 zi22 22解：令 z x yi11 a (A iB) a ( A iB)令 2 ，则 2 ，上式即为 az a z C 。

反之：将 z x yi,z x yi ，代入 az a z C得(a a)x (ia ia ) y c则有Ax By C ；即为一般直线方程。

8．证明：z 平面上的圆周可以写成Azz z z c 0.其中 A 、 C 为实数， A 0, 为复数，且 2 AC 。

证明：设圆方程为由3 zi212，得1 221 1 x(y )2 4 23 1 x 2(y )24故点z的轨迹是两个闭圆 21 123 1x 2(y 12) 14,x 2 (y 23) 41 的外部，是区域。

7．证明： z 平面上的直线方程可以写成 az az C (a 是非零复常数， C 是实常数)证 设直角坐标系的平面方程为Ax By C 将x Re z ( z z), y211(A i B)z (A i B)z CIm z 21i (z z) 代入，得22 A(x 2 y 2) Bx Dy C 0其中 A 0,当 B 2 D 2 4AC 时表实圆；2 21 1将 x 2 y 2zz,x (z z), y (z z) 代入，得2 2i11Azz (B Di )z (B Di )z c 0 22即 Azz z z c 0.11其中 (B Di ), (B Di )22 21 2 2 1 且(B 2 D 2) 4AC AC ；442反之：令 z x yi , a bi 代入 Azz z z c 0 ( AC)得 A(x 2 y 2 ) Bx Dy C 0,其中 B 2a, B 2b 即为圆方程。

10．求下列方程( t 是实参数)给出的曲线。

x t 21yt 2t，即为双曲线11．函数 z 将 z 平面上的下列曲线变成 w 平面上的什么曲线 z x iy ,w u iv1)z (1 i)t ；z a cos t i b sin t；z3)tt i ；4)t i 2，z x iy (1 i )t解( 1)x iy a cost ibsin t2)3)t ,ttx a cos t y b sin t即直线，即为椭圆2x2 a2 b y 22 1；xt 1yt ， 即为双曲线 xyt 2 i2xy 1中位于第一象限中的一支。

完美 WORD 格式222) x 1 y21x , vy 2 2 , v2 2x y x y，可得13．试证 arg z(arg z )在负实轴上(包括原点)不连续，除此而外在z 平面上处处连续。

证 设 f (z) arg z ，因为 f (0) 无定义，所以 f ( z )在原点 z =0 处不连续。

当 z 0为负实轴上的点时，即 z 0 x 0 (x 0 0)，有显然。

14． 设xy 3 ,f z x 2 y 6 ,z 00,z 0求证 f z 在原点处不连接。

6 y66yy 可知极限 l z im 0 f z不存在，故 f z 在原点处不连接。

16. 试问函数 f(z) = 1/(1 –z )在单位圆 | z | < 1 内是否连续？是否一致连续？【解】 (1) f(z)在单位圆 | z | < 1 内连续．1) y xz x iy1)xy2 2 2 2 x y x yy22xyv是 w 平面上一直线；x12)2 2 2y 1 x y 2x是 w 平面平行与 v 轴的直线。

lim z z 0argzy lim arctanx x x 0 y0y lim arctan xx x 0y0lim arg z 所以 z z 0不存在， 即 arg z 在负实轴上不连续。

而argz 在 z 平面上的其它点处的连续性x 61xf z lim y0证 由于2xx y 3因为z在内连续，故f(z) = 1/(1 –z )在\{1}内连续(连续函数的四则运算)，因此f(z)在单位圆| z | < 1 内连续．(2) f(z)在单位圆| z | < 1 内不一致连续．令z n= 1 –1/n，w n= 1 –1/(n + 1)，n +．则z n, w n都在单位圆| z | < 1 内，| z n w n | 0，但| f(z n) f(w n)| = | n (n + 1) | = 1 > 0，故f(z)在单位圆| z | < 1内不一致连续．[也可以直接用实函数f(x) = 1/(1 –x )在(0, 1)不一致连续来说明，只要把这个实函数看成是f(z) 在E = { z | Im(z) = 0, 0 < Re(z) < 1 }上的限制即可．] 17. 试证：复数列z n = x n + i y n以z0 = x0 + i y 0为极限的充要条件是实数列｛x n｝及｛y n｝分别以x0及y0 为极限．【解】( ) 若复数列z n = x n + i y n 以z0 = x0 + i y0 为极限，则> 0 ，N +，使得n > N，有| z n z0 | < ．此时有| x n x0| | z n z0| < ；| y n y0| | z n z0| < ．故实数列｛x n｝及｛y n｝分别以x0及y0为极限．( ) 若实数列｛x n｝及｛y n｝分别以x0及y0为极限，则> 0，N1 +，使得n > N1，有| x n x0| < /2；N2 +，使得n > N2，有| y n y0| < /2．令N = max｛ N1, N2｝，则n > N，有n > N1且n > N2，故有| z n z0| = | (x n x0) + i (y n y0)| | x n x0| + | y n y0| < /2 + /2 = ．所以，复数列z n = x n + i y n以z0 = x0 + i y0 为极限．20. 如果复数列｛ z n｝合于lim n z n = z0 ，证明lim n (z1 + z2 + ... + z n)/n = z0．当z0 时，结论是否正确？【解】(1) > 0，K +，使得n > K，有| z n z0| < /2．记M = | z1 z0 | + ... + | z K z0 |，则当n > K 时，有| (z1 + z2 + ... + z n)/n z0 | = | (z1 z0) + (z2 z0) + ... + ( z n z0) |/n( | z1 z0 | + | z2 z0 | + ... + | z n z0 |)/n= ( | z1 z0 | + ... + | z K z0 |)/n + ( | z K +1 z0 | + ... + | z n z0 |)/nM/n + (n K)/n · ( /2) M/n + /2．因lim n (M/n) = 0，故L +，使得n > L，有M/n < /2．令N = max｛ K , L｝，则当n > K 时，有| (z1 + z2 + ... + z n)/n z0 | M/n + /2 < /2 + /2 = ．所以，lim n (z1 + z2 + ... + z n)/n = z0．(2) 当z0 时，结论不成立．这可由下面的反例看出．例：z n = ( 1)n·n，n +．显然lim n z n = ．但k +，有(z1 + z2 + ... + z2k)/(2k) = 1/2，因此数列｛(z1 + z2 + ... + z n)/n｝不趋向于．[ 这个结论的证明的方法与实数列的情况完全相同，甚至反例都是一样的．] 2．如果z e it，试证明xy 2 6 7 8 xy6 设| z | = 1，试证： | (a z + b)/(b * z + a * ) | = 1．(z *表示复数 z 的共轭) 【解】 此题应该要求 b * z + a * 0．| a z + b | = | (a z + b)* | =| a * z * + b * | = | a * z * + b * | | ·z | = | (a * z * + b *) ·z | * * * * 2 * * *= | a z ·z + b ·z | = | a | z | + b ·z | = | b z + a |． 故| (a z + b)/( b * z + a * ) | = 1．8 试证：以 z 1, z 2, z 3 为顶点的三角形和以 w 1, w 2, w 3 为顶点的三角形同向相似的充要条件为z1w11 z2w21= 0nz 1) 1n2cosntzz n 1n 2isinnt2)z n4． 1）2）int int ie e e int e int 2sin nt1i e z nint inte设 z x iy ，试证 xy2 由于int inte e 2i sin ntzxy。