注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。 极坐标与参数方程 一、参数方程 1.参数方程的概念 一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的

函数，即 )()(tfytfx 并且对于t每一个允许值，由方程组所确定的点M（x，y）都在这条曲线上（即曲线上的点在方程上，方程的解都在曲线上），那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数叫做参变数，简称参数．

相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程. 2.参数方程和普通方程的互化 曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程. 练习

1．若直线的参数方程为12()23xttyt为参数，则直线的斜率为（ ） A．23 B．23 C．32 D．32 2．下列在曲线sin2()cossinxy为参数上的点是（ ） A．1(,2)2 B．31(,)42 C．(2,3) D．(1,3) 3．将参数方程222sin()sinxy为参数化为普通方程为（ ） A．2yx B．2yx C．2(23)yxx D．2(01)yxy

注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一（由上面练习（1、3可知））。应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。 注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。

3．圆的参数方程 如图所示，设圆的半径为，点从初始位置出发，按逆时针方向在

圆上作匀速圆周运动，设，则。 这就是圆心在原点，半径为的圆的参数方程，其中的几何意义是转过的角度（称为旋转角）。

圆心为，半径为的圆的普通方程是，

它的参数方程为：。 4．椭圆的参数方程 以坐标原点为中心，焦点在轴上的椭圆的标准方程为

其参数方程为，其中参数称为离心角；焦点在轴上的椭圆的标准方程是其参数方程为其中参数仍为离心角，通常规定参数的范围为∈[0，2）。 注：椭圆的参数方程中，参数的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋转角区分开来，除了在四个顶点处，离心角和旋转角数值可相等外（即在到的范围内），在其他任何一点，两个角的数值都不相等。但

当时，相应地也有，在其他象限内类似。 5．双曲线的参数方程 注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。

以坐标原点为中心，焦点在轴上的双曲线的标准方程为其参数方程为，其中

焦点在轴上的双曲线的标准方程是其参数方程为 以上参数都是双曲线上任意一点的离心角。 6．抛物线的参数方程 以坐标原点为顶点，开口向右的抛物线的参数方程为

7．直线的参数方程 经过点，过，倾斜角为的直线的参数方程为

。

注：直线参数方程中参数的几何意义：过定点，倾斜角为的直线的参数方程为，其中表示直线上以定点为起点，任一点为终点的有向线段的数量，当点在上方时，＞0；当点在下方时，＜0；当点与重合时，=0。我们也可以把参数理解为以为原点，直线向上的方向为正方向的数轴上的点的坐标，其单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同。 注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。

北京高考近几年真题 （2014年北京.3题5分）曲线1cos2sinxy（为参数）的对称中心（ ）

.A在直线2yx上 .B在直线2yx上

.C在直线1yx上 .D在直线1yx上

（2012年北京.9题5分）直线21xtyt（t为参数）与曲线3cos3sinxy（为参数）

的交点个数为 ．

（2014年北京.3题5分）答案：B （2012年北京.9题5分）答案：2

二、极坐标方程 1.极坐标系的概念 (1)极坐标系 极坐标系有四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向．

如图所示,在平面内取一个定点,叫做极点,自极点引一条射线,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. 注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系. (2)极坐标 注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。

设M是平面内一点,极点与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为;以极轴为始边,射线为终边的角叫做点M的极角,记为.有序数对叫做点M的极坐标,记作. 一般地,不作特殊说明时,我们认为可取任意实数. 特别地, 当点在极点时,它的极坐标为(0, )(∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示. 如果规定,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标表示;同时,极坐标表示的点也是唯一确定的. 2.极坐标和直角坐标的互化

例题、①直角坐标为(－2，2)、（0，2）那么它的极坐标分别表示为________、 ②极坐标为（2，3）、（1，0）那么他们的直角坐标表示为 、

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1. ①答案：2，3π4 、（2，2） ②答案：(1,3)，（1,0）

(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:

(2)互化公式:设是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是,极坐标是(),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:

点 直角坐标 极坐标

互化公式 在一般情况下,由确定角时,可根据点所在的象限最小正角.

（1） 点的转化 1、①直角坐标为(－2，2)、（0，2）那么它的极坐标分别表示为________、 ②极坐标为（2，3）、（1，0）那么他们的直角坐标表示为 、

1. ①答案：2，3π4 、（2，2） ②答案：(1,3)，（1,0） 注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。

（2）方程的转化 注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。

2、在极坐标系中，直线l: ρsinθ＋π4＝2，则直线在直角坐标系中方程为 在极坐标系中,圆O: ρ＝4,则在直角坐标系中，圆的方程 直线l与圆O相交，所截得的弦长为________．

答案：(1)因为 ,

所以直线 的直角坐标方程为 ,即 , 圆 的直角坐标方程为 . (2)由(1)知圆心的坐标是 ,半径是4,圆心到直线的距离

是 . 所以直线 被圆 截得的弦长是 . 3、若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________． 4、求满足条件的曲线极坐标方程 (1)直线过点M(1，0)且垂直于x轴 (2)直线过M（0，a）且平行于x轴

(3)当圆心位于M(a,0)，半径为r (4)当圆心位于M ），（21，半径为2： 注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。 注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。

3.常见曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点,半径为的圆 圆心为,半径为的圆 圆心为,半径为的圆 过极点,倾斜角为的直线 (1)

(2)

过点,与极轴垂直的直线

过点,与极轴平行的直线 注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。

注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至

少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程点可以表示为等多种形式,其中,只有的极坐标满足方程.

4．圆5cos53sin的圆心坐标是（ ） A．4(5,)3 B．(5,)3 C．(5,)3 D．5(5,)3 4．化极坐标方程2cos0为直角坐标方程为（ ） A．201yy2x或 B．1x C．201y2x或x D．1y 5．点M的直角坐标是(1,3)，则点M的极坐标为（ ） A．(2,)3 B．(2,)3 C．2(2,)3 D．(2,2),()3kkZ 6．极坐标方程cos2sin2表示的曲线为（ ） A．一条射线和一个圆 B．两条直线 C．一条直线和一个圆 D．一个圆

北京高考近几年真题 （2017年北京.11题5分）在极坐标系中，点A在圆ρ2﹣2ρcosθ﹣ 注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。

4ρsinθ+4=0上，点P的坐标为（1，0），则|AP|的最小值为 ．