极坐标与参数方程知识点、题型总结
一、伸缩变换：点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换
⎩⎨⎧>⋅='>⋅=').
0(,y y 0),(x,x :μμλλϕ的作用下，点),(y x P 对应到点),(y x P '''，称伸缩变换
一、 1、极坐标定义：M 是平面上一点，ρ表示OM 的长度，θ是MOx ∠，则有序实数实
数对(,)ρθ,ρ叫极径，θ叫极角；一般地，[0,2)θπ∈，0ρ≥。
，点P 的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)
2、直角坐标⇒极坐标 cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩2、极坐标⇒直角坐标222tan (0)x y y x x
ρθ⎧=+⎪⎨=≠⎪⎩
3、求直线和圆的极坐标方程：方法一、先求出直角坐标方程，再把它化为极坐标方程 方法二、（1）若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：
ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)（2）若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r 的圆方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ02－r 2＝0
二、参数方程：（一）．参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标y x ,都是某个变数t 的函数⎩⎨⎧==),
(),(t g y t f x 并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确
定的点),(y x M 都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数y x ,的变数t 叫做参变数，简称参数。
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。
（二）．常见曲线的参数方程如下：直线的标准参数方程
1、过定点（x 0，y 0），倾角为α的直线： αα
sin cos 00t y y t x x +=+=（t 为参数）
（1）其中参数t 的几何意义：点P （x 0，y 0），点M 对应的参数为t ，则PM =|t|
(2)直线上12,P P 对应的参数是12,t t 。
|P 1P 2|＝|t 1－t 2|＝
t 1＋t 22－4t 1t 2.
直线的一般参数方程：
00x x at
y y bt =+=+（t 为参数）若221a b +=，则上面（1）、（2）中
的几何意义成立，否则，不成立。
（2）圆心在（x 0，y 0），半径等于r 的圆：
θθ
sin cos 00r y y r x x +=+= （θ为参数）
（3）椭圆22221x y a b +=（或22
221y x a b
+=）： θθsin cos b y a x ==（θ为参数） （或 θ
θsin cos a y b x ==） （4）抛物线22y px
= ：pt y pt x 222==（t 为参数，p ＞0）
题型归类：（1）极坐标与直角坐标的互相转化
（2） 参数方程与普通方程互化(3) {利用参数方程求值域
参数的几何意义
一、极坐标方程与直角方程的互化，求极坐标方程：方法：代公式
1．已知某圆的极坐标方程为
（I ）将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程； （II ） 若点在该圆上，求的最大值和最小值．6,2
2极坐标方程24sin 52θ
ρ⋅=表示的曲线是（ ） 抛物线
3、直线的极坐标方程为sin 42πρθ
⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则极点到该直线的距离是 4、极坐标方程2cos 0ρθρ-=转化成直角坐标方程为 201y +==2x 或x
二、参数方程与普通方程的互化
1、参数方程⇒普通方程：方法;消参, 普通方程⇒参数方程：代公式
5、方程2222
t t t t x t y --⎧=-⎪⎨=+⎪⎩（为参数）表示的曲线是（ ） 06)4cos(242=+--π
θρρ(,)P x y x y +
A. 双曲线
B.双曲线的上支
C.双曲线的下支
D.圆
6. 已知直线为参数), 曲线 （为参数）. （Ⅰ）设与相交于两点,求；1
（Ⅱ）若把曲线上各点的横坐标压缩为原来的倍,纵坐标压缩为原来的倍,得到曲线,设点是曲线上的一个动点,求它到直线的距离的最小值.
7.曲线C ：cos (sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数）
曲线D
：2(2
x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）。
（1）指出曲线C 、D 分别是什么曲线？并说明曲线C 与D 公共点人的个数。
（2）若把曲线C 、D 上各点的纵坐标压缩为原来的倍，分别得到曲线C1、D1，请写出曲线C1、D1的参数方程，说明其公共点的个数和曲线C 、D 公共点是否相同？
2、普通方程化为参数方程
8.直线l 过点(1,1)P ，倾斜角6π
α=，（1）写出l 的参数方程；
（2）直线l 与圆2cos (2sin x y θθθ=⎧⎨=⎩
为参数）相交于A 、B 两点，求||||PA PB 。
9.点P(x,y)为椭圆2
213
x y +=上一点，求（1）S x y =+的范围； （2）若0x y a ++≥垣成立，求a 的范围。
: t t y t x (.23,211⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=+=:1C cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩θ 1C B A ,||AB 1C 21232C P 2C )12(46-2
1
题型三、利用参数方程求值域
10、在曲线1C ：⎩⎨⎧=+=）y x 为参数θθ
θ(sin cos 1上求一点，使它到直线2C
：12(112
x t t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数）距离最小，并求出该点坐标和最小距离。
1 P （1-22，-22）11、曲线的极坐标方程是，设直线的参数方程是（为参数）．（Ⅰ）将曲线的极坐标方程转化为直角坐标方程； （Ⅱ）设直线与轴的交点是，曲线上一动点，求
的最大值
1
题型四：直线参数方程中的参数的几何意义
12、已知直线经过点,倾斜角，①写出直线的参数方程;
②设与圆相交与两点，求点到两点的距离之积.
13、求直线
415315x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩
（为参数t ）被曲线2cos()4πρθ=+所截的弦长. 7
5 14直线12()2x t t y t
=+⎧⎨=+⎩为参数被圆229x y +=截得的弦长为15曲线1C 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨
=⎩（θ为参数），将曲线1C 上所有点的横坐标伸长为原来的22C .以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线:(2sin )6l cos ρθθ-=.（1）求曲线2C 和直线l 的普通方程；（2）P 为曲线2C 上任意一点，求点P 到直线l 的距离的最值.
C θρsin 2=L ⎪⎩
⎪⎨⎧=+-=,54253t y t x t C 0222=-+y y x L x M N C MN l (1,1)P 6π
α=l l 422=+y x ,A B P ,A B 2。