抛物线经典性质总结30条1.2.23()2AOB S PAB =V （定值）；3. 1cos P AF α=-；1cos P BF α=+； 4. 'BC 垂直平分'B F ；5. 'AC 垂直平分'A F ； 6. 'C F AB ⊥； 7. 2AB P ≥；8. 11'('')22CC AB AA BB ==+； 9. AB3PK=y ；10. 2p 22y tan =x -α;11.2A'B'4AF BF=⋅;12.1C'F A'B'2=.13. 切线方程 ()x x m y y +=0性质深究 一)焦点弦与切线1、 过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点位置有何特殊之处？结论1：交点在准线上先猜后证：当弦x AB ⊥轴时，则点P 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-0,2p 在准线上．证明: 从略结论2 切线交点与弦中点连线平行于对称轴结论3 弦AB不过焦点即切线交点P不在准线上时，切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴．2、上述命题的逆命题是否成立？结论 4 过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点先猜后证：过准线与x轴的交点作抛物线的切线，则过两切点AB的弦必过焦点．结论5过准线上任一点作抛物线的切线，过两切点的弦最短时，即为通径．3、AB是抛物线px2=（p＞0）焦点弦，Q是ABy2，的中点，l是抛物线的准线，lAA⊥1，过A，B的切线相交于P，PQBB⊥l1与抛物线交于点M．则有结论6PA⊥PB．结论7PF⊥AB．结论8 M平分PQ．结论9 PA平分∠A1AB，PB平分∠B1BA．结论102FA=FB结论11PAB S ∆2minp =二)非焦点弦与切线思考：当弦AB 不过焦点，切线交于P 点时， 也有与上述结论类似结果： 结论12 ①py y xp221=，221y y yp+=结论13 PA 平分∠A 1AB ，同理PB 平分∠B 1BA ． 结论14 PFB PFA ∠=∠ 结论15 点M 平分PQ 结论2PF FB FA =相关考题 1、已知抛物线yx42=的焦点为F ，A ，B 是抛物线上的两动点，且FB AF λ=（λ＞0），过A ，B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M ， （1）证明：AB FM ⋅的值；（2）设ABM ∆的面积为S ，写出()λf S =的表达式，并求S 的最小值．2、已知抛物线C 的方程为yx42=，焦点为F ，准线为l ，直线m 交抛物线于两点A ，B ；（1）过点A 的抛物线C 的切线与y 轴交于点D ，求证：DF AF =；（2）若直线m 过焦点F ，分别过点A ，B 的两条切线相交于点M ，求证：AM ⊥BM ，且点M 在直线l 上． 3、对每个正整数n ，()nnny x A ,是抛物线yx42=上的点，过焦点F 的直线FA n 交抛物线于另一点()nnnt s B ,， （1）试证：4-=⋅n ns x（n ≥1） （2）取nnx2=，并C n 为抛物线上分别以A n 与B n 为切点的两条切线的交点，求证：122121+-=++++-n n n FC FC FC Λ（n ≥1）抛物线的一个优美性质几何图形常常给人们带来直观的美学形象，我们在研究几何图形时也会很自然地想得到有关这个几何图形的美妙的性质，作为几何中的圆锥曲线的研究，正是这方面的一个典型代表，作为高中数学中的必修内容，对于培养学生对于数学美的认识，起着相当重要的作用。

因此，在研究圆锥曲线的过程中，有意识地得到一些有关圆锥曲线的几何性质并且加以归纳，并在教学中与学生一起进行一些可行的研究，一方面，作为高考命题也会往这个方向上尝试，另一方面，作为新课程的一个理念，让学生进行一些学有余力的研究，提高学生学习数学的兴趣，提高学生自己研究问题的能力也很有帮助。

本人从一个在教学中学生遇到的习题结合该知识点有关的一些性质，并结合高考的热点题对这一性质作了一些研究。

题：抛物线y 2=2px （p>0）的准线与x 轴交于Q 点，过点Q 作斜率为k 的直线L 。

则“直线L 与抛物线有且只有一个交点”是“k=±1”的_________条件。

本题设计意图是考查学生对于直线与抛物线有且只有一个交点的问题的了解，要求学生掌握直线与抛物线相切时是只有一个交点，还有当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线也只有一个交点，因此，经过简单的验证可知道上题的答案是必要不充分条件。

结合抛物线的下面的性质及上题的图形，我们发现了一些共同点。

性质1：已知AB 是经过抛物线y 2=2px （p>0）的焦点F 的弦，则以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。

证明：由图2可知，BF=BB 1，AF=AA 1，2PP =AA +BB 。

所以2PP =AB 。

其中图1是图2的一个特例，即当焦点弦是通径时，图2即变成了图1。

这就引导我们思考在图2中的两条直线P 1A 、P 1B 是否也是抛物线的两条切线，这样我们得出了抛物线的一个性质：性质2：已知AB 是经过抛物线y 2=2px （p>0）的焦点F的弦，则以A 、B 为切点的两条切线的交点P 落在其准线上。

证明：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），P （x ，y ） 点A 在抛物线上：y 12=2px 1 （1） 点B 在抛物线上：y 22=2px 2（2） 过点A 的切线方程：yy 1=p （x+x 1） （3） 过点B 的切线方程：yy 2=p （x+x 2） （4） 直线AB 经过点F ：222211p x y p x y -=-（5）将（1）式与（2）式分别代入（3）、（4）、（5）式，得到yy 1=p （x+p y 221）（3′）yy 2=p （x+py 222）（4′）y 1y 2=-p 2（5′）因为点P （x ，y ）的坐标满足（3′）、（4′），所以y 1、y 2可视为是方程yt=p （x+p t 22）的两根，因此由韦达定理可得y 1y 2=-p 2=2px 。

即x=2p -。

所以点P 的轨迹为抛物线的准线。

从上面的证明中我们可以看出，当A 、B 两点的坐标满足某种条件时，则以A 、B 为A B P 1 F O x y A 1B 1 P A B FOx yQ 图1 图2切点的两条切线的交点一定落在某条固定的直线上。

因此，我们更进一步地得出了更好的性质：性质3：已知AB 是经过抛物线y 2=2px （p>0）的对称轴（即x 轴）上一定点P （m ，0）（m>0）的弦，则以A 、B 为切点的两条切线的交点Q 的轨迹是一条直线x=-m 。

证明：略。

对于上述性质的得出，我们使用了抛物线上已知切点坐标的切线方程的写法，但如果换一个角度看这个问题，我们也可以得出另一种形式的性质：性质3′：动点P 在直线x=-m 上运动，过点P 作抛物线的两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，连结AB ，得到弦AB ，那么弦AB 过定点（m ，0）。

证明：略。

根据上面的讨论，我们得到了关于抛物线的一个性质，特别是对于抛物线的切线以及抛物线中动弦中的定值问题的结合，在高考题的命题中也常有涉及。

例1：（2007江苏高考第19题）如图，过C （0，c ）（c>0）作直线与抛物线y=x 2相交于A 、B 两点，一条垂直于x 轴的直线，分别与线段AB 和直线y+c=0交于P 、Q 。

（1）若OB OA ⋅=2，求c 的值；（2）若P 为线段AB 的中点，求证：AQ 为抛物线的切线； （3）试问（2）的逆命题是否成立。

解：（1）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （0，c ）点A 在抛物线上：y 1=x 12 （1）点B 在抛物线上：y =x 2（2）直线AB 经过点C ：2211x cy x c y -=- （3）将（1）式与（2）式分别代入（3）式，得到x 1x 2=-c ，y 1y 2=c 2 由OB OA ⋅= x 1x 2+y 1y 2=2，得c=2。

（2）P 为线段AB 的中点，得点Q 的坐标为（221x x +，-c ）由AQ 的斜率k 1=121212121112)(22x x x x x x x x x c y =--=+-+，过点A 的切线的斜率为k 2=2x 1。

所以直线AQ 是抛物线的切线。

（3）过点A 的切线方程为y-y 1=2 x 1（x-x 1）与直线y=-c 相交于点Q ， 将y=-c 代入y-y 1=2 x 1（x-x 1），可得-c-x 12=2 x 1（x-x 1）即x 1x 2-x 12=2 x 1（x-x 1） 所以点Q 的横坐标为221x x +，即点P 为线段AB 的中点。

（2）的逆命题成立。

该题的命题思路就是借助于性质3而编制的一道中等难度的题。

其中主要运用了切线的斜率，切线的方程的写法，以及抛物线中的定值的使用。

下题也是用类似的方法命制的题。

例2：（2006全国高考卷Ⅱ21题）抛物线x 2=4y 的焦点F ，A 、B 是抛物线上两动点，且λ=，过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M 。

（1） 证明：⋅为定值；xyA BPQO（2） 设△ABM 的面积为S ，写出S=f （λ）的表达式，并求出S 的最小值。

解：（1）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），F （0，1）点A 在抛物线上：4y 1=x 12 （1）点B 在抛物线上：4y 2=x 22 （2）直线AB 经过点F ：221111x y x y -=- （3）得到过点A 的切线方程：2（y-y 1）=x 1（x-x 1） （4）过点B 的切线方程：2（y-y 2）=x 2（x-x 2） （5） 由（1）（2）（3）得x 1x 2=-4，y 1y 2=1。

由（4）、（5）得M 坐标为（221x x +，-1）。

所以⋅=（221x x +，-2）·（x 2- x 1，y 2- y 1）=0)(22122122=---y y x x 。

（2）FB AF λ=，即（0-x 1，1-y 1）=λ（x 2，y 2-1） 所以-x 1=λx 2，再由x 1x 2=-4，得λx 2x 2=4， 即x 2=λ4，则x 1=λ4-，y 1=λ，y 2=λ1。

由AB FM ⋅=0， 所以S= f （λ）=()()422121221221221+⎪⎭⎫⎝⎛+⨯-+-=⨯x x y y x x FM AB =41213≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛+λλ。

当λ=1时，△ABM 的面积S 取得最小值。