计算题四、岩石的强度特征(1) 在劈裂法测定岩石单轴抗拉强度的试验中，采用的立方体岩石试件的边长为5cm ，一组平行试验得到的破坏荷载分别为16.7、17.2、17.0kN ，试求其抗拉强度。

解：由公式σt =2P t /πa 2=2×P t ×103/3.14×52×10-4=0.255P t (MPa)σt1=0.255×16.7=4.2585 σt2=0.255×17.2=4.386 σt3=0.255×17.0=4.335则所求抗拉强度：σt ==(4.2585+4.386+4.335)/3=4.33MPa 。

试计算其抗拉强度。

(K =0.96)解：因为K =0.96，P t 、D为上表数据，由公式σt =KI s =KP t /D 2代入上述数据依次得：σt =8.3、9.9、10.7、10.1、7.7、8.7、10.4、9.1。

求平均值有σt =9.4MPa 。

(3) 试导出倾斜板法抗剪强度试验的计算公式。

解：如上图所示：根据平衡条件有： Σx=0τ-P sin α/A -P f cos α/A =0τ=P (sinα- f cosα)/AΣy=0σ-P cosα-P f sinα=0σ=P (cosα+ f sinα)式中：P为压力机的总垂直力。

σ为作用在试件剪切面上的法向总压力。

τ为作用在试件剪切面上的切向总剪力。

f为压力机整板下面的滚珠的磨擦系数。

α为剪切面与水平面所成的角度。

则倾斜板法抗剪强度试验的计算公式为:σ=P(cosα+ f sinα)/Aτ=P(sinα-f cosα)/A(4) 倾斜板法抗剪强度试验中，已知倾斜板的倾角α分别为30º、40º、50º、和60º，如果试样边长为5cm,据经验估计岩石的力学参数c=15kPa，φ=31º，试估计各级破坏荷载值。

(f=0.01)解：已知α分别为30º、40º、50º、和60º，c=15kPa，φ=31º，f=0.01，τ=σ tgφ+cσ=P(cosα+ f sinα)/Aτ=P( sinα-f cosα)/AP( sinα-f cosα)/A= P(cosα+ f sinα) tgφ/A+c( sinα-f cosα)= (cosα+ f sinα) tgφ+cA/PP=cA/[( sinα-f cosα)- (cosα+ f sinα) tgφ]由上式，代入上述数据，计算得：P30=15(kN/mm2)×25×102(mm2)/[( sin30 - 0.01×cos30) - (cos30 + 0.01×sin30) tg31]αsinαcosα( sinα-f cosα)(cosα+ f sinα)(cosα+ f sinα)tgφP3 0 0.50.8660250.49134 0.873751 0.525002 -111.44 0 0.6427880.7660440.635127 0.772522 0.46417821.936385 0 0.7660440.6427880.759617 0.647788 0.3892310.124566 00.8660250.5 0.861025 0.5 0.30043 6.68932 (5) 试按威克尔(Wuerker)假定，分别导出σt、σc、c、φ的相互关系。

解：如图：把(2)代入(1)式化简得：φφσsin 1cos 2+=c t (3)ΔAO 2D ≌ΔAOC 得：φcsc 2112⨯++=c r r AO c r∵ r 1=σt /2 r 2=σc /2σc (csc φ-1)= σt (csc φ+1) (4)把(4)代入(3)得：φφσsin 1cos 2-=cc(5)由（3），（5）2222224sin 1cos 4)sin 1)(sin 1(cos 4c c c t c =-=-+=φφφφφσσ t c c σσ21=(6) 由（3）,（5）2c cos φ=σt (1+sin φ) , 2c cos φ=σc (1-sin φ), 相等有 sin φ=(σc -σt )/ (σc +σt ) (7) 由(5)+(3)cos φ=4c /(σc +σt ) (8) 由（6），（7），（8）2112csc csc 1r r r r ++=φφtc t ct c t c t c t c σσσσσσσσσσσσφφφ2)()(2)()(cos sin tan -=++-==(9) (6) 在岩石常规三轴试验中，已知侧压力σ3分别为5.1MPa 、20.4MPa 、和0MPa 时，对应的破坏轴向压力分别是179.9MPa 、329MPa 、和161MPa ，近似取包络线为直线，求岩石的c 、φ值。

.1．图解法由上图可知，该岩石的c 、φ值分别为：28MPa 、52°。

2．计算法 由M -C 准则φσσσσφctg 2sin 3131c ++-=变形)sin 1()sin 1(cos 231φσφσφ+--=c （1）考虑Coulomb 曲线为直线，则强度线应与Mohr 圆中的任意两圆均相切，此时的c 、φ值相等，则任一圆都满足（1）式。

设任意两圆中的应力分别为23211311,,σσσσ和，由（1）式得)sin 1()sin 1()sin 1()sin 1(23211311φσφσφσφσ+--=+--整理得φφσφσσσσσσσσσφcos 2)sin 1()sin 1()()()()(sin 312313211123132111+--=-+----=c将已知数据代入计算结果如下：σ1 Σ3 φ c 179.9 5.1 54.47565 20.85393 329 20.4 51.57658 28.05152 161 0 35.09963 41.81673计算结果分析，第一组数据与第三组数据计算结果明显低于第一组与第二组数据和第二组与第三组数据的计算结果，考虑包络线为外包，故剔除第一组数据与第三组数据计算结果，取平均后得：φ=53.02611°，c=24.45272MPa 。

(7) 某岩石的单轴抗压强度为164.5MPa ，φ=35.2°，如果在侧压力σ3=40.8MPa 下作三轴试验，请估计破坏时的轴向荷载是多少？解：已知如图所示：ΔAOC ≌ΔABC 得：AFACc r =1 即：φφcsc tan c 11c r c c r +=因为：r 1=82.25 MPa ，φ=35.2°， 所以求得：c=42.64 MPa所以：AO=c ctan φ=60.45 MPaΔABC ≌ΔADE 得：23121AO tan c r r c AE AC r r +++==σφ 解得：r 2=137.76 MPa所以σ1=40.8+2×137.76=316.32 MPa(8) 在威克尔(Wuerker)假定条件下，岩石抗压强度是它的抗拉强度的多少倍？ 解：由上述题(5)知：故φ (1+sin φ) (1-sin φ) σc /σt 25 1.422618 0.577382 2.463913 30 1.5 0.5 335 1.5735760.4264243.690172 40 1.6427880.3572124.59891 451.7071070.2928935.828427φφφφφφσσsin 1sin 1sin 1cos 2sin 1cos 2-+=+-=c ct c50 1.7660440.2339567.54863255 1.8191520.18084810.05901 601.866025 0.13397513.9282根据此式点绘的图如下：五、岩石的变形特征(1) 试导出体积应变计算式：εv =εa -2εc解：如上图所示得：V = πc 2a /4V ´ =π(c +Δc )2(a +Δa )/4ac ac c ac ac ac c a c ac ac c a c ac ac a c a c a a c c V V V v 22222222222'2224/4/4/)()(∆+∆=-∆∆+∆∆+∆+∆+∆+=-∆+∆+=-=πππε 其中略去了Δc 、Δa 的高次项，整理得：c a v cc a a εεε22+=∆+∆=(2) 岩石变形实验数据如下，a. 作应力应变曲线(εa 、εc 、εv )。

b. 求初始模量、切线模量、50%σc 的割线模量和泊松比。

σ(MPa) 16 30 47 62 77 92 154 164 εa (×10-6) 188 375 550 740 930 1412 1913 破坏 εc (×10-6) 63 100 175 240 300 350 550 破坏 解：由公式：εv =εa -2 εc得：εv =250、175、200、260、330、712、713 则初始模量：E i =σi /εi =16/188=0.085切线模量： E t =(σ2-σ1)/(ε2-ε1) =(77-62)/(930-740) =0.079 割线模量： E s =σ50/ε50=77/930=0.083 泊松比：μ=εc /εa = 319.48/990.39=0.32六、岩石的强度理论(1) 导出莫尔–库伦强度准则。

解：如图：由图中几何关系，在ΔABO 1中，B ∠是直角，φ=∠Aφφσφφσφσσσσσσφσσφσσφσσσσφsin 1cos 2sin 1sin 1ctg 22ctg 2sin 2ctg ,2,2,ctg ,3131313131113111311311-+-+=++-=++-==++=+=+=-===c c c AO B O c OO OA A O OO B O c OA c OD 或：(3) 对岩石试样作卸载试验，已知C=12kPa ，φ=36º，σy =100MPa ，当σ1=200MPa 时，按莫尔–库论判据，卸载达到破坏的最大围压σ3是多少？如果按米色士判据又是多少？解：由上题Mohr 判据MPa87.5136sin 136cos 012.0220036sin 136sin 1sin 1cos 2sin 1sin 1sin 1cos 2sin 1sin 11331=-⨯⨯-⨯+-=--+-=-+-+=φφσφφσφφσφφσc c 得：按米色士判据：MPa1001002002)()()(1331322213232221=-=-==-==-+-+-y yy σσσσσσσσσσσσσσσ，上式变为：等围压时，(4) 岩体内存在不同方向裂纹，已知σt =–8MPa ，a. 当σ1=42MPa ，σ3=–6MPa 时，按格里菲斯准则是否破坏，沿哪个方向破坏？b. 当σ1=20MPa ，σ3=–8MPa 时，是否破坏，沿哪个方向破坏？解：a.由于σ1+3σ3=42+3×(-6)=24>0，所以其破坏准则为：t σσσσσ8)(31231=+-把σ1=42MPa ，σ3=–6MPa ，σt =8MPa （σt 取绝对值）代入上式，6488646426422=⨯==-+=右边）（左边 左边=右边，刚好达到破坏。