习题13-1图 (kN)NF150

100x

(a)

第13章 弹性杆件位移分析与刚度设计 13－1 直径d = 36mm的钢杆ABC与铜杆CD在C处连接，杆受力如图所示。若不考虑杆的自重，试： 1．求C、D二截面的铅垂位移；

2．令FP1 = 0，设AC段长度为l1，杆全长为l，杆的总伸长EAlFl2P，写出E的表达式。

解：（1）4π)(4π)(2sN2sNdElFdElFuuBCBCABABAC 947.236π41020030001010020001015002333mm

286.536π101054250010100947.24π)(2332cNdElFuuCDCDCD

mm

（2）AEllFAElFlllEAlFCDACc12Ps12P2P)(， 令ll1 cs11EEE

scsc)1(EEEEE

13－2 长为1.2m、横截面面积为31010.1m2的铝制筒放置在固定刚块上，直径为15.0mm的钢杆BC悬挂在铝筒顶端的刚性板上，若二者轴线重合、载荷作用线与轴线一致，且已知钢和铝的弹性模量分别为Es = 200GPa，Ea = 70GPa，FP = 60kN。试求钢杆上C处位移。

习题13-2图 60kNPFB

m2.1aEPFx

A

(a)

sAsE

Cx

kN60PF

m1.2kN60PFOB

'A ADC

q

x

llll

q

qB

22ddxM

EIlPF

EIlPF

解：铝筒：aaPAElFuuABBA（其中uA = 0） 935.0101010.11070102.1106063333Bumm

钢杆：50.4154π10200101.21060935.02333ssPAElFuuBCBCmm 13－3 对于图a、b、c、d所示的坐标系，小挠度微分方程可写成EIMxw/d/d22形式有以下四种。试判断哪一种是正确的。 （A）图b和c； （B）图b和a； （C）图b和d； （D）图c和d。 正确答案是 D 。

13－4 简支梁承受间断性分布载荷，如图所示。试用奇导函数写出其小挠度微分方程，并确定其中点挠度。

解：采用左手系：0AM，qlllqllqlFE434252R（↑） 定初参数E， 0|4lxAww

0)34(!4)24(!4)4(!4)4(!343)4(4443llqllqllqlqllEIE

16213qlEIE

]32422424081621[1)(44433lxqlxqlxqxqlxqlEIxw

EIqlwwlxC35|42（↓）

13－5 具有中间铰的梁受力如图所示。试画出挠度曲线的大致形状，并用奇异函数表示其挠度曲线方程。

习题13-3图 习题13-4图

习题13-5图 2 2ddxw

FRA

F

RC

MA ABC0w

PF

BxPFC

P2F

B)(1

Bw)(1 D

DPF

解：（1）作弯矩图（a），确定22ddxw图，画出挠曲线形状，由边界，中间铰和连续，以及AB上凹，BD下凹可画出图示挠曲线图（b）。 （2）求支座反力：FRA = －FP（↓），MA = FPl（顺），FRC = 2FP（↑）

AB段：EIlFllFllFEIwB3!3!21)(P33P2P0（↑） 由连续条件：EIlFwwBB3)()(3P01（↑） 由0)(|11Clxww，定初参数BEI)(1。

0)!3)(3(13P13PlFlEIEIEIlFEIB, 6)(2P1lFEIB

AB段挠曲线方程（原点在点A）：3P2P0621)(xFxlFEIxw（lx0） BD段挠曲线方程（原点在点B）：33P2P3P136631)(lxFxFxlFlFEIxwP (0≤≤13－6 试用叠加法求下列各梁中截面A的挠度和截面B的转角。图中q、l、EI等为已知。

习题13-6图 (a) (b)

22

1

ql

A2)(B

BA2)(

2l2l

B2l

q

1)(Aw8

2ql

2l

2

2

1

ql

2)(Aw2ql

(a-1) (a-2) (a-3) qAB

lll

l

llllBwA33)()(



3)(B22ql

lwBA11)()(1)(B

2)(Aw (b-1) (b-1) (b-3)

2)(AA

2l2l

B

2)(B2

2

1

ql

2l22

1

ql

2)(AwA 习题13-7图 (c) (d)

习题13-8图 AC

XP

F

NFxXPF

X

NFx

P3

1FP3

1F

P3

2F

(b) 2l2lACDllFPFP (a)

解：（a）EIqlEIlqlEIlqABBBB12)2()21(6)()()()()(3232121（逆） EIqlEIlqlEIlqlEIlqlEIlqwwwAAA38472)2(213)2(22)2(88)2()()(422322421

（↑）

（b）EIqlEIlqlEIlqlBBB1216)2()(3)2(2)()(3231（顺） EIqllEIlqlEIqllEIlqlwwwwAAAA24516)2)((83)2(2)()()(4242321

（↓）

13－7 已知刚度为EI的简支梁的挠度方程为 )2(24)(3230xlxlEIxqxw 据此推知的弯矩图有四种答案。试分析哪一种是正确的。 正确答案是 A 。

13－8 图示等截面直杆两端固定，承受轴向载荷。试分析下列轴力图中哪一个是正确的。 正确答案是 D 。 解：由于对称 uC = 0 0ACACluu 0ACl

0)(2PEAlXFEA

lX

P3

2FX

（拉）

作轴力图（利用对称）。

13－9 等截面直杆两端固定，无外力及初始应力作用。当温度升高时，关于杆内任意横截面上任意点的正应力和正应变有如下论述，试判断哪一种是正确的。 习题13-9图 习题13-10图

习题13-11图 pF (a)

AN1FEB

150

1001l

2lC

hN2F

h

（A）0，0； （B）0，0； （C）0，0； （D）0，0。 正确答案是 B 。

解：各点的轴向位移 0Tuuu，0ddxu 13－10 钢杆BE和CD具有相同的直径d = 16mm，二者均可在刚性杆ABC中自由滑动，且在端部都有螺距h = 2.5mm的单道螺纹，故可用螺母将两杆与刚性杆ABC连成一体。当螺母拧至使杆ABC处于铅垂位置时，杆BE和CD中均未产生应力。已知弹性模量E = 200GPa。试求当螺母C再拧紧一圈时，杆CD横截面上的正应力以及刚体ABC上点C的位移。 解：平衡方程0AM，150ＦＮ１ = 250ＦＮ２ （1）

协调方程15025012llh 即 15255.212ll （2）

物理方程1N2331N10746.0164π10200103000FFl （3） 2N2332N20497.0164π10200200010FFl （4） （3）、（4）代入（2）100988.1973.42N1NFF （5） 联立（5）、（1）得 FN2 = 9.73kN（拉）、FN1 = 16.22kN（拉）

CD杆正应力40.48164π1073.923MPa（拉） 016.273.90497.05.22lhuCmm

13－11 铜芯与铝壳组成的结构如图所示，轴向载荷通过两端刚性板加在结构上。已知结构总长减少了0.24mm。试求： 1．所加轴向载荷的大小； 2．铜芯横截面上的正应力。 解：设铜芯与铝壳之间无内压

轴向应变410830024.0 1.17210)2560(4π107010810254π10105108322343234PFkN

铜芯应力841010510834CMPa