三角函数的图象与性质题型归纳总结题型归纳及思路提示题型1 已知函数解析式确定函数性质【思路提示】一般所给函数为y ＝A sin(ω x ＋φ)或y ＝A cos(ω x ＋φ)，A>0,ω>0,要根据 y ＝sin x ，y ＝cos x 的整体性质求解。

一、函数的奇偶性例1 f (x )＝sin ()x ϕ+（0≤ϕ<π）是R 上的偶函数，则ϕ等于（ ）A.0 B ．4π C ．2πD ．π 【评注】由sin y x =是奇函数，cos y x =是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论：sin()();y A x k k Z ϕϕπ=+=∈(1)若是奇函数，则sin()+();2y A x k k Z πϕϕπ=+=∈(2)若是偶函数，则 cos()();2y A x k k Z πϕϕπ=+=+∈(3)若是奇函数，则cos()();y A x k k Z ϕϕπ=+=∈(4)若是偶函数，则tan()().2k y A x k Z πϕϕ=+=∈(5)若是奇函数，则.()sin ||a R f x x a a ∈=-变式1已知，函数为奇函数，则等于（ ）A.0 B ．1 C ．1- D ．1±2.0()cos()()R f x x x R ϕϕϕ∈==+∈变式设，则“”是“为偶函数”的（ ）A 充分不必要条件B ．必要不充分条C ．充要条件D ．无关条件3.()sin()0()f x x f x ωϕω=+>变式设，其中，则是偶函数的充要条件是（ ）A.(0)1f = B ．(0)0f = C ．'(0)1f = D ．'(0)0f =2.()sin(2)()()2f x x x R f x π=-∈例设，则是( )A.π最小正周期为的奇函数 B ．π最小正周期为的偶函数 C ．2π最小正周期为的奇函数 D ．2π最小正周期为的偶函数2()sin 1()()f x x x R f x =-∈变式1.若，则是( )A.π最小正周期为的奇函数 B ．π最小正周期为的偶函数 C ．π最小正周期为2的奇函数 D ．π最小正周期为2的偶函数2.(0,)2ππ变式下列函数中，既在递增，又是以为周期的偶函数的是( )A.cos 2y x = B ．|sin 2|y x = C ．|cos 2|y x = D ．|sin |y x =二、函数的周期性3.sin(2)cos(2)66y x x ππ=++例函数的最小正周期为( )A.2π B ．4πC ．2πD ．π【评注】关于三角函数周期的几个重要结论：sin()b,cos()b,tan()b 22,,.||||||y A x y A x y A x ωϕωϕωϕπππωωω=++=++=++(1)函数的周期分别为|sin()|,|cos()|,|tan()|.||y A x y A x y A x πωϕωϕωϕω=+=+=+(2)函数的周期均为2|sin()b |(b 0),|cos()b |(b 0).||y A x y A x πωϕωϕω=++≠=++≠(3)函数的周期均为1.sin(2)cos(2)63y x x ππ=+++变式函数的最小正周期和最大值分别为( )A.,1π B．π C ．2,1π D．2π()sin (sin cos ),()f x x x x f x =-变式2.若则的最小正周期是________.()sin 3|sin 3|()f x x x f x =+变式3.若则是( )A.3π最小正周期为的周期函数 B ．23π最小正周期为的周期函数 C ．π最小正周期为2的周期函数 D ．非周期函数三、函数的单调性.sin(2)([0,])6y x x ππ=-∈例4函数的递增区间是( )A.[0,]3π B ．7[,]1212ππ C ．5[,]36ππD ．5[,]6ππ【评注】求三角函数的单调区间：sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>若函数则22()22322()22(3)sin()0,0sin()sin()(4)cos()tan()k x k k Z k x k k Z y A x A y A x y A x y A x y A x πππωϕππππωϕπωϕωωϕωϕωϕωϕ-≤+≤+∈+≤+≤+∈=+><=---=--=+=+(1)函数的递增区间由决定；(2)函数的递减区间由决定；若函数中，可将函数变为则的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的增区间；对于函数和单调性的讨论同上。

31.sin ()[()44y x f x f x ππ=+-变式函数在,]内单调递增，则可以是( )A.1 B ．cos x C ．sin x D ．cos x-()sin()(0)(42f x x ππωωπω=+>变式2.若在,)上单调递增，则的取值范围是（ ）A.15[,]24 B ．13[,]24 C ．1(0,]2 D ．(0,2]3.()cos()cos()(0)33(1)()(2)(),[0,]()22f x x x x f x f x x f x ππωωωωππ=+++->∈变式已知函数求的值域；若的最小正周期为，的单调递减区间.四、函数的对称性（对称轴、对称中心）.sin(2)3y x π=+例5函数图象的对称轴方程可能是( )A.6x π=- B ．12x π=- C ．6x π= D ．12x π=【评注】关于三角函数对称性的几个重要结论：sin (),(,0)();2cos (),(,0)();2tan (,0)();22sin()(),=();2:y x x k k Z k k Z y x x k k Z k k Z k y x k Z k y A x b x k k Z x k Z x k πππππππππϕπωϕωϕπωωϕπ==+∈∈==∈+∈=∈+-=+++=+∈∈+=(1)函数的对称轴为对称中心(2)函数的对称轴为对称中心(3)函数无对称轴，对称中心(4)函数的对称轴的求法：令得对称中心的求法令()=(),(,)()cos()(),=();22:()=(),(,)()2k k k Z x k Z b k Z k y A x b x k k Z x k Z k k x k k Z x k Z b k Z πϕπϕωωπϕωϕωϕπωπππϕπϕπωϕπωω--∈∈∈-=+++=∈∈+-+-+=+∈∈∈得对称中心为；(5)函数的对称轴的求法：令得对称中心的求法令得对称中心为1.sin()(0)()3y x f x πωωπ=+>变式已知函数的最小正周期为，则的图象( )A.(,0)3π关于点对称 B ．4x π=关于直线对称C ．(,0)4π关于点对称D ．3x π=关于直线对称.sin()4y x π=-变式2函数的图象的一个对称中心是( )A.(,0)π- B ．3(,0)4π- C ．3(,0)4π D ．(,0)2π 223.()sin cos .55x xf x =+变式函数的图象中，相邻两条对称轴之间的距离是__________.sin 0x x a a a =>变式4若函数y 的图象向右平移个单位（）后的图象关于y 轴对称，则的最小值是( )A.76πB ．2πC ．6πD ．3π 五、三角函数性质的综合【思路提示】三角函数的性质（奇偶性、周期性、单调性、对称性）中，对称性尤为重要；121()()()()(2)224(3)()()sin(),00()[,]f x y f x f x f x T T Tf x f x A x A f x ωωθθ⇒⇒⇒=>>（）对称性奇偶性：若函数的图象关于轴对称，则是偶函数；若函数的图象关于原点对称，则是奇函数；对称性周期性：相邻两条对称轴之间的距离为；相邻两个对称中心的距离为；相邻的对称中心与对称轴之间的距离为；对称性单调性：在相邻的对称轴之间，函数单调；特殊的，若，函数在上单调12120[,]{||,}4Tmax θθθθθθ∈=≥，且设，则。

6.()sin 2cos 2,0,()(),6117(1)()0;(2)()();(3)()121052()[,]()63(5)(,)().f x a x b x ab f x f x R f f f f x f x k k k Z a b f x ππππππππ=+≠≤∈=<++∈例设若对任成立则不具奇偶性；(4)的单调递增区间是；存在经过点的直线与函数的图象不相交.以上结论中正确的是__________________7.()4cos()sin cos(2)(0)63(1)()(2)()[,].22f x x x x f x f x πωωωπωππω=--+>-例已知函数求的值域；若在区间为增函数，求的最大值21.()2sin (0),()[,].43f x x f x ππωωω=>-变式已知函数若在上递增，求的取值范围8.()sin()(0),()()(,)=______.36363f x x f f πππππωωω=+>=例若且在上有最小值无最大值，则题型2 根据条件确定解析式方向一：“知图求式”，即已知三角函数的部分图象，求函数解析式。

【思路提示】由图象求得y ＝A sin(ω x ＋φ) (A >0，ω>0)的解析式一般不唯一，只有限定φ的取值范围，才能得到唯一解。

依据五点法原理，点的序号与式子的关系是：第一点（即图象上升时与横轴的交点）为0x ωϕ+=，第二点（即图象最高点）为2x πωϕ+=，第三点（即图象下降时与横轴的交点）为x ωϕπ+=，第四点（即图象最低点）为32x πωϕ+=，第五点（即图象上升时与横轴的交点）为2.x ωϕπ+=。

.()sin(2)(,)(0)f x A x A R f ϕϕ=+∈=例9函数部分图象如下图所示，则（ ）A.12-B ．1-C ．32-D ．31.()sin()(0,0)(0)________.f x A x A f ωϕω=+>>=变式函数部分图象如下图所示，则2.()cos()()(0)________.23f x A x f f πωϕ=+=-=变式2部分图象如下图所示，,则.()sin()(0,0,||)()f x A x A f x ωϕωϕπ=+>><例10已知函数部分图象如下图所示，求的解析式。

变式1.已知)(cos )(2ϕω+=x x f （ω，ϕ为常数），如果存在正整数ω和实数ϕ使得函数()f x 的图象如图所示（图象经过点（1,0）），求ω的值.方向二：知性质（如奇偶性、单调性、对称性、最值）求函数解析式。