x•正弦、余弦、正切函数图象和性质正弦函数、余弦函数、正切函数的图像-5 3 7~2~ ”- 丁1T V x2*伽-4-7-3 ' 、一 -2-3--1o '2 53 J. ‘ 4222y=ta nxJJJ1Jrjr yy；11/ //I• r // /y\y=cotx111\i1!iI13f-21fJ1J ffo2fI\Ii1ILoIIX21三角函数的性质1定义域与值域2、奇偶性(1)基本函数的奇偶性奇函数：y = sinx , y= tanx ；偶函数：y= cosx.⑺八黒 ' -型三角函数的奇偶性（i）g（x 丄^ 丁（x€ R）(x)为偶函数-U 山呂in（曲+ 训+<p）（x€ 应）0 sin 僦3誉=Q（工€ R）Cos（P= Ou> e二匕T +—〔七W E）由此得-同理或劝=丿血(阪+呦〔肚丘)为奇函数u 如卩二0吕貯=匕吋上亡£)丘）Q..I —「二一L> : C 2.■■■ □ 为偶函数；.匚」一⑺一".S 为奇函数O 炉=Rr+ —(h e 7)3、周期性1)基本公式(i)基本三角函数的周期y= sinx , y= cosx 的周期为; y = tanx , y = cotx 的周期为；T•(ii)—"，：'型三角函数的周期尹=」幻n(购+ 朝 +匕尸=+炉)+上的周期为同y=cosxP =」tan （处: + &） +匕尸二（处卄洞+& 的周期为91 . （2）认知（i ） •卜巳-，?|型函数的周期y = pisin (伽+ 剑| j = A cos(d&r+ 4?)|的周期为7Ty = |j4tan(dft + 训,y=血 ot 〔伽 + 训的周期为» = |了（曲+卩）+円往无0）的周期》=|£血（血工+朝胡』=|1（：0£（处+©+上|y = |^tan(&r + ^) +円 j =凶诃(你+昉+刈的周期为’；7T的周期为'•均同它们不加绝对值时的周期相同，即对 数的周期不变•注意这一点与（i ）的区别•（ii ） 若函数为-’二 型两位函数之和，则探求周期适于“最小公倍数法”. （iii ） 探求其它“杂”三角函数的周期，基本策略是试验一一猜想一一证明•（3）特殊情形研究y 二门」 彳J的解析式施加绝对值后，该函JT (i) y = tanx — cotx 的最小正周期为 ； y = sin z|+|co5z| 7T的最小正周期为二； 7T（iii ） y = sin 4X + cos 4x 的最小正周期为 二. 由此领悟“最小公倍数法”的适用类型，以防施错对象 . 4、单调性 （1） 基本三角函数的单调区间（族） 依从三角函数图象识证“三部曲”： ① 选周期：在原点附近选取那个包含全部锐角，单调区间完整，并且最好关于原点对称的 一个周期； ② 写特解：在所选周期内写出函数的增区间（或减区间）； ③ 获通解：在②中所得特解区间两端加上有关函数的最小正周期的整数倍，即得这一函数 的增区间族（或减区间族） 循着上述三部曲，便可得出课本中规范的三角函数的单调区间族 . 揭示：上述“三部曲”也适合于寻求简单三角不等式的解集或探求三角函数的定义域（2） 』— 丁 型三角函数的单调区间2 ，此类三角函数单调区间的寻求“三部曲”为① 换元、分解：令u =，'"，将所给函数分解为内、外两层：y 二f (u ), u^ ';② 套用公式：根据对复合函数单调性的认知，确定出 f (u )的单调性，而后利用(1)中公 式写出关于u 的不等式；③ 还原、结论：将u =""「A 代入②中u 的不等式，解出x 的取值范围，并用集合或区间 形成结论•正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质:/y si nx y cosx y tanxy cotxy (A 、As in x> 0) 定义域 R R x | x R 且x k 1 ,k Zx |x R 且 x k ,k ZR值域 [1, 1][1, 1]RRA, A周期性222奇偶性奇函数 偶函数奇函数 奇函数 当 0,非奇非偶 当0,奇函数[2k 1 ,—k ,— k2 2k ,k 1 上为减函[2 2k ,2k ] ; 数 (kZ )2k2 (A),—2k ] 上为增 函上为增函数2数(k Z )2k1上为增函 [2k , 2( A\(A)数；2k 1 ]单调性上为减函上为增函数；【22k ,数 2k3(k Z )2 (A),——2k ] 22k3上为减函2_ / A\数(k Z )(A)上 为减 函数(k Z )注意：①ysinx 与y sinx 的单调性正好相反；y cosx 与y cosx 的单调性也同样相反.一般sin x与 y COS x 的周期是.y sin( x )或 y cos( x )的周期为2(T20)的周期T —.如图，翻折无效).2 ( k Z )，对称中心(k ,0) ; y cos( x )的对称轴方o ) ； y tan( x )的对称中心(—,0 ).,o2地，若y f(x)在［a,b ］上递增(减)，则y f (x)在［a,b ］上递减(增).y sin( x )的对称轴方程是程是x k ( k Z )，对称中心(k2 ，-2关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数: f( x)f (x)，奇函数：f( x) f (x))奇偶性的单调性：奇同偶反.例如：y tanx 是奇函数, tan(x1）是非奇非偶.（定义域不 3关于原点对称）奇函数特有性质：若0 x 的定义域，则f （x ） 一定有f （0）0. (0x 的定义域，贝U 无此性质）y sinx 不是周期函数；ysin x 为周期函数（T ）; cosx 是周期函数（如图）；ycos x 为周期函数（T）；1的周期为 （如图），并非所有周期函数都有最小正周期, 例如:y f(x) 5 f (x k), kR .⑩ y a cos b sin .a 2 2b sin( ) cos二、形如y A sin( x）的函数：11、几个物理量：A —振幅；f ——频率T 2、函数y Asin( x ）表达式的确疋： 定，如f（x ）A sin( x )(A 0, 0,|—相位; | 2）的图象如图所示，则f （x ）1/2y=| cos2x+1/21图象—初相;由图象上的特殊点确3 .函数 y A sin( x )B (其中A 0, 0）最大值是A B ，最小值是B A ，周期是 J 最小正周期T n频率是f 厂相位是x，初相是 其图象的对称轴是直线 xk2(k Z)，凡⑤ 当 tan tan 1, k y （k Z ） ; tan tan 1,kfk Z ）.⑥ y cosx 与y sin x — 2k 是同一函数，而y （ x）是偶函数，贝U21y （ x ） sin （ x k ） cos （ x ）.2⑦ 函数y tanx 在R 上为增函数.（为［只能在某个单调区间单调递增 .若在整个定义域,y tanx 为增函数，同样也是错误的］.⑧定义域关于原点对称是f （x ）具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件: y cos 2 x原点对称cos( 2x) cos 2x是定义域y= cos|x| 图象y (答: f(x)A 由最值确定； 由周期确定; cos2x2（周期的倒数）;x 2sin(15x -));b有a 2 b 2 y . a22是该图象与直线y B 的交点都是该图象的对称中心4、研究函数y Asin （ x ）性质的方法：类比于研究y sin x 的性质，只需将y Asin （ x ） 中的x 看成ysinx 中的x ，但在求y Asin （ x ）的单调区间时，要特别注意 A 和 的 符号，通过诱导公式先将 化正。
如A 。
，。
）的简图，是将x看着一个整体，先令x 忖牛2列表求出对应的x 的值 与y 的值，用平滑曲线连结各点，即可得到其在一个周期内的图象。
②图象变换法： 这是作函数具体变换方法：三角函数图象的平移和伸缩函数y Asin （ x ） k 的图象与函数y sin x 的图象之间可以通过变化A ， ，k 来相互转化.A影响图象的形状，，k 影响图象与x 轴交点的位置.由A 引起的变换称振幅变换，由 引起的变换称周期变换，它们都是伸缩变换；由 引起的变换称 相位变换，由k 引起的变换称上下平移变换，它们都是平移变换.既可以将三角函数的图象先平 移后伸缩也可以将其先伸缩后平移. （一）先平移后伸缩向左（>0）或向右（0）y sin x 的图象平移1 |个单位长度 得y sin (x)y sin (x）的图象横坐标伸长（0< <1）或缩短（>1）1 到原来的一（纵坐标不变）得ysin( x )y sin( x）的图象纵坐标伸长（A 1）或缩短（0<A<1）为原来的A 倍（横坐标不变）得y Asin( x )y Asi n( 向上（k 0）或向下（k 0）x）的图象平移k 个单位长度 得y Asin(x )k 图象（二）先伸缩后平移6.函数 y Asin(x )k 的图象与y si nx 图象间的关系：图象变换（1）振幅变换 y sin x, x R所有点的纵坐标伸长 （A 1）或缩短（0 A 1）到原来的A 倍y A sinx,x R所有点的横坐标缩短（ 11）或伸长（0 1）到原来的—倍（2）周期变换 y sin x, x Ry sin x, x R （3）相位变换 y sin x, x R所有点向左（0）或向右（0）平移1 1个单位长度y sin (x),x R简图常用方法===由y sin x 图象推 y Asin( x ）k 的图象⑷ 上下平移（纵向平移变换）:是由k 的变化引起的. k > 0,上移；k v 0,下移（1） 函数y sin （ 2x ）的递减区间是3（2） y log i cos （- 一）的递减区间是_23 4一(答: [ k （答：［6k 512 34,k,6k5、函数y Asin （ x ）图象的画法：（1 ）利用“五点法”作函数 ](k 12 3T ](k Asin( xZ ））； Z ））；),x R (其中纵坐标伸长（A 1）或缩短（0 A 1）y sin x 的图象为原来的A 倍（横坐标不变）得yAsinx.横坐标伸长（01）或缩短（1）- . .\yAsin x 的图象到原来的丄（纵坐标不变）得y sin （ x ）向上（k 0）或向下（k 0）y Asinx （ x ）的图象平移|k|个单位长度得y Asin （ x ） k图象无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。