《电子工程物理基础》课后习题参考答案第一章 微观粒子的状态1-1一维运动的粒子处在下面状态(0,0)()0(0)xAxe x x x λλψ-⎧≥>=⎨<⎩①将此项函数归一化；②求粒子坐标的概率分布函数；③在何处找到粒子的概率最大? 解：（1）由归一化条件，可知22201xAx edx λ∞-=⎰，解得归一化常数322A λ=。

所以归一化波函数为：322(0,0)()0(0)xxex x x λλλψ-⎧⎪≥>=⎨⎪<⎩（2）粒子坐标的概率分布函数为：32224(0,0)()()0(0)xx e x w x x x λλλψ-⎧≥>==⎨<⎩（3）令()0dw x dx =得10x x λ==或，根据题意，在x=0处，()w x =0，所以在1x λ=处找到粒子的概率最大。

1-2若在一维无限深势阱中运动的粒子的量子数为n 。

①距势阱的左壁1/4宽度内发现粒子概率是多少? ②n 取何值时，在此范围内找到粒子的概率最大?③当n→∞时，这个概率的极限是多少?这个结果说明了什么问题?解：（1）假设一维无限深势阱的势函数为U （x ），0x a ≤≤，那么在距势阱的左壁1/4宽度内发现粒子概率为：22440211()()(sin )sin422a a n n P x x dx x dx a a n ππψπ===-⎰⎰。

（2）当n=3时，在此范围内找到粒子的概率最大，且max 11()+46P x π=。

（3）当n→∞时，1()4P x =。

此时，概率分布均匀，接近于宏观情况。

1-3一个势能为221()2V x m x ω=的线性谐振子处在下面状态2212()()x m x Aeαωψα-=求：①归一化常数A ；②在何处发现振子的概率最大；③势能平均值2212U m x ω=。

解：（1）由归一化条件，可知2221x A e dx α+∞--∞=⎰，得到归一化常数4A απ=。

（2）振子的概率密度222()()xw x x e ααψπ-==，由()0dw x dx=得到在0=x 处振子出现的概率最大。

（3）势能平均值2222222211112244x m U m x m x e dx αωωωωα+∞--∞====⎰。

1-4设质量为m 的粒子在下列势阱中运动，求粒子的能级。

220()102x V x m x x ω∞<⎧⎪=⎨≥⎪⎩ 解：注意到粒子在半势阱中运动，且为半谐振子。

半谐振子与对称谐振子在x>0区域满足同样的波动方程，但根据题意，在x<0区域，势函数为无穷，因此相应的波函数为零，从而破坏了偶宇称的状态。

这样，半谐振子定态解则为谐振子的奇宇称解（仅归一化常数不同）。

即⎪⎩⎪⎨⎧<=≥==-)0(05,3,1)0;()()(221n x n x x m H e A x n ，ωξξψξ，1,1,3,52n E n n ω⎛⎫=+= ⎪⎝⎭。

1-5电子在原子大小的范围(～10-10m )内运动，试用不确定关系估计电子的最小能量。

解： 电子总能量22E 2s e p m r=-，作近似代换，设~~~r r p p r p ∆∆∆∆，，由不确定关系，则2224222222222111E ()()2222s s s s e me me me p m r m r r m r ∆=-=-=--∆∆∆∆。

所以电子的最小能量4min22s me E =-，与薛定谔方程得到的氢原子基态能量表达式相同。

1-6氢原子处在基态030(,,)r a r aψθϕπ-=，求：①r 的平均值；②势能2s e r-的平均值；③最概然半径。

解：（1）r 的平均值：2222230313(,,)sin sin 2r a r r r r d d dr er d d dr a a ππππψθϕθϕθθϕθπ-+∞+∞===⎰⎰⎰⎰⎰⎰（2）势能2s e r-的平均值：0222222223000001(,,)sin sin ra s s s e e e U r r d d dr e r dr d d r a r a ππππψθϕθϕθθθϕπ-+∞∞=-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰（3）在球壳dr r r +-的范围内，电子出现的概率为：0022222222330000014()(,,)sin sin rra a w r r r d d e r d d e r a a ππππψθϕθθϕθθϕπ--===⎰⎰⎰⎰，由()0dw r dr=得在0a r =处电子出现的概率最大，即最概然半径为0a 。

1-7设一体系未受微扰作用时，只有两个能级E 01及E 02，受到微扰ˆH'作用，微扰矩阵元 12211122,H H a H H b ''''====。

a ，b 都是实数，用微扰公式求能级的二级修正值。

解：根据非简并微扰公式∑-'+'+=nnk kkkkk k E E H H E E )0()0(2')0(，有：22222121(0)(0)111101222202(0)(0)(0)(0)12010*******H H a a E E H E b E E H E b E E E E E E E E ''''=++=++=++=++----，。

1-8氢分子的振动频率是1.32×1014Hz ，求在5000K 时，下列两种情况下振动态上粒子占据数之比。

①n=0，n=1；②n=1，n=2。

解：将氢分子的振动看作为谐振子，因此振子的能级为1()2n E n ω=+。

振动态上被粒子占据的概率服从麦克斯韦-玻尔兹曼分布，则当n=0，n=1 时，0010001001= 3.55E E E k Tk Tk TE k Tf eeef e ω----===，当n=1，n=2时，1120002012= 3.55E E E k Tk Tk TE k Tf eeef e ω----===。

1-9求在室温下(k 0T=0.025ev)电子处在费米能级以上0.1ev 和费米能级以下0.1ev 的概率各是多少?解：由费米-狄拉克分布，电子处在费米能级以上0.1ev 的概率00.1411= 1.8%11i E E k Tf e e-==++f， 电子处在费米能级以下0.1ev 的概率0-0.1411=98.2%11i E E k Tf e e--==++f 。

第二章 晶体中原子的状态2-1. 试说明格波和弹性波有何不同?提示：从晶格格点分立取值和晶格周期性特点出发分析与连续介质弹性波的不同。

2-2. 证明：在长波范围内，一维单原子晶格和双原子晶格的声学波传播速度均与一维连续介质弹性波传播速度相同，即ρEv =式中，E 为弹性模量，ρ为介质密度。

2-3. 设有一维原子链，第2n 个原子与第2n+1个原子之间的恢复力常数为β，第2n 个原子与第2n-1个原子之间的恢复力常数为β′(β′＜β)。

设两种原子的质量相等，最近邻间距为a ，试求晶格振动的振动谱以及波矢q=0和aq 2π=时的振动频率。

解：根据题意，原子运动方程为：)1()()()()(21221222212212222122⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫-'+-=-+-'=-+++++n n n n n n n n n n x x x x dt x d m x x x x dt x d m ββββ设上两式的行波解为：)2(]2([22])12([12⎪⎭⎪⎬⎫==-+-++t na q i n t a n q i n Be x Ae x ωω）将式（2）代入式（1）并整理得：)3(0))(0)--22⎪⎭⎪⎬⎫='--+'+=+'+'--B m A e e B e e A m iqa iqa iqa iqa ββωββββββω（（）（（3）中的A 、B 有非零解，则方程组的系数行列式为零，得到：[]qa m2cos 21222ββββββω'+'+±'+=, 所以当0,)(20='+==-+ωββωm q 时，；mm a q βωβωπ'===-+2,22时，。

2-4. 一维双原子晶格振动中，证明在布里渊区边界aq 2π±=处，声频支中所有轻原子m 静止，光频支所有重原子M 静止。

证明：声学波两种格波的振幅比02cos 22>-=⎪⎭⎫⎝⎛--ωββωm qa B A ，光学波两种格波的振幅比0cos 222<-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++qa M B A βωβω。

当a q 2π±→时，，可认为轻原子不动，B A B A <<→⎪⎭⎫⎝⎛-0ω，，可认为重原子不动。

，B A B A >>-∞→⎪⎭⎫⎝⎛+ω2-5. 什么叫声子?它和光子有何异同之处?答：声子是晶格振动的简正模能量量子，光子是传递电磁相互作用的基本粒子。

两者均为玻色子，其分布均服从玻色-爱因斯坦分布，但产生的原因、描述的现象、对晶格的作用均不同。

2-6. 一维双原子点阵，已知一种原子的质量m=5×1.67×10-27kg ，另一种原子的质量M=4m ，力常数β=15N·m -1，求：(a) 光学波的最大频率和最小频率0m ax ω、0m in ω； (b) 声学波的最大频率Am ax ω； (c) 相应的声子能量是多少eV?(d) 在300K 可以激发多少个频率0m ax ω、0m in ω、Am ax ω的声子? (e) 如果用电磁波来激发长光学波振动，试问电磁波的波长要多少? 解：（a ）m Mm mM8.0=+=μ，即s rad /106.70152130max ⨯==μβω，s rad m/105.9942130min⨯==βω； （b ）s rad M/102.997213Amax ⨯==βω； （c ）eV E 04417.00max 1==ω ，eV E 0395.00min 2==ω ，eV E A 01975.0max 3==ω ；（d ）122.011maxmax =-=kTo en ω ，772.011minmin =-=kToen ω ，287.011maxmax =-=kTAAen ω ； （e ）m co 5max10138.22-⨯==ωπλ。

2-7. 设晶体中每个振子的零点振动能量ω 21，试用德拜模型求晶体的零点振动能。

解：晶体的零点振动能0E 是各振动模式零点能之和。

即晶体的零点振动能为：D Nl d v V dE DD ωωωπωωωρωεωω 892321)()(232000=⋅==⎰⎰。