（3）验证 H1(z,t) 和 H2 (z, t) 满足边界条件。
解:（1）这是两种电介质的分界面，在分界面z = 0处，有
区域的媒质参数为 2 50、2 200、2 0 。若媒质1中的电场
强度为
E1(z,t) ex[60cos(15108t 5z) 20cos(15108t 5z)] V/m
媒质2中的电场强度为
E2
(
z,
t
)

ex
A
cos(15
108
t

50

z
)
V/m

（1）试确定 常数A的值;（2）求磁场强度 H1(z, t) 和 H2 (z, t) ；
)ez
]
0
旋无散
任意矢量场旋度的散度等于零，“旋无散” 。
证明：左边=(
x
ex
+
y
ey

z
ez
)
[( Fz y

Fy z
)ex
( Fx z

Fz x
)ey
( Fy x

Fx y
)ez ]
[( 2Fz 2Fy ) ( 2Fx 2Fz ) ( 2Fy 2Fx )] xy xz yz xy xz yz
麦克斯韦第三方程表明磁场是 无源场，磁力线总是闭合曲线
麦克斯韦第四方程， 表明电荷产生电场
媒质的本构关系
例 2.6.1 正弦交流电压源 uuUUm sminsint t 连接到平行板电容
器的两个极板上，如图所示。(1) 证明电容器两极板间的位移电流
与连接导线中的传导电流相等；(2)求导线附近距离连接导线为r
(1) 该函数 在点 P(1,1,1) 处的梯度，以及表示该梯度方向
的单位矢量。
(2)
求该函数
沿单位矢量
el

ex
cos 60o
ey
cos 45o
ez
cos 60o
方向的方向导数，并以点 P(1,1,1) 处的方向导数值与该点的梯度
值作以比较，得出相应结论。
解 (1)由梯度计算公式，可求得P点的梯度为
Az A cos
z
Az

A

Ay
Ax O
y
x

A

A(ex
cos
ey
cos
ez
cos )
eA ex cos ey cos ez cos
例2
u 而 x

2x z
,
u y

2y
z
,
u z

(x 2 y 2 ) z2

l
x
2
y

1 2
1 2 2 2
P
(1,1,1)
例1
而该点的梯度值为
(2x)2 (2y)2 (1)2 3
P
(1,1,1)
显然，梯度 描述了P点处标量函数 的最大变化率， P
即最大的方向导数，故
l
恒成立。 P
P
矢量线例 1
矢量线例 2
数量场在l方向的方向导数为
u u cos u cos u cos
l x
y
z

1 3
2x z

2 3
2y z

2 3
x2
y2 z2
在点M处沿l方向的方向导数
1 1 2 1 2 2 2
l M 3
3
34 3
梯度的性质
• 标量场的梯度是矢量场，它在空间某 点的方向表示该点场变化最大（增大） 的方向，其数值表示变化最大方向上 场的空间变化率。
2 (R2 2R cos )d 0
2R2
例3
例:求矢量场A=x(z-y)ax+y(x-z)ay+z(y-x)az在点M(1，0，1)处 的旋度以及沿n=2ax+6ay+3az方向的环量面密度。
解： 矢量场A的旋度
ax
ay
az
rotA A x


y
z
x(z y) y(x z) z(y x)
求矢量场A=xy2ax+x2yay+zy2az的矢量线方程。 解： 矢量线应满足的微分方程为
dx dy dz xy2 x2 y y2z
从而有
dx

xy
2

dx
xy2

dy x2 y
dz y2z
z c1x 解之即得矢量方程
x2 y2
c2
c1和c2是积分常数。
• 标量场在某个方向上的方向导数，是 梯度在该方向上的投影。
C 0
梯度运算的基本公式：
((uCu)
Cu v ) u

v
(fu(vu))

uv f (u
vu )u
例1
设一标量函数 ( x, y, z ) = x2＋y2－z 描述了空间标量场。试求：
（1） 该矢量场的旋度;
（2） 该矢量沿半径为3的 四分之一圆盘的线积分， 如图所示， 验证斯托克 斯定理。
y B
r＝ 3
O
Ax
四分之一圆盘
例1
例1
例2
例： 求矢量A=-yax+xay+caz(c是常数)沿曲线(x-2)2+y2=R2, z=0 的环量(见图 1-6)。
例2
解： 由于在曲线l上z=0，所以dz=0。
梯无旋
u 0
标量场的梯度恒等于零，“梯无旋”。
证明：
左边=(
x
ex
+
y
ey

z
ez
) [ u x
ex

u y
ey

u z
ez
]

[( 2u yz

2u zy
)ex

( 2u zx

2u xz
)ey

( 2u xy

2u yx



A
M

n

2 7

6 7

2

3 7

17 7
位移电流
海水的电导率为4S/m，相对介电常数为81，求频率为1MHz时， 位移电流振幅与传导电流振幅的比值。
解：设电场随时间作正弦变化，表示为
则位移电流密度为 其振幅值为

E exEm cost
Jd

D t

ex0 r Em
(z y)ax (x z)ay ( y x)az
例3
在点M(1，0，1)处的旋度
A M ax 2ay az
n方向的单位矢量
n
22
1 62
32
(2ax
6a y
3az )

2 7
ax

6 7
ay

3 7
az
在点M(1，0，1)处沿n方向的环量面密度
散度的表达
直角坐标系

F

Fx x

Fy y

Fz z
圆柱坐标系

F

(F )
F

Fz z
球坐标系

F

1 r2
r
(r
2Fr
)

1 r sin

(sin
F
)

1 r sin

(F
)



C C 0 (C为常矢量)
H
c
dl
2 rH
与闭合线铰链的只有导线中的传导电流 ic CUm cost ，故得
2 rH CUm cost
H
e H
e
CU m 2 r
cos t
两种情况
例2.7.1 z < 0的区域的媒质参数为 1 0、1 0、1 0 , z > 0
P
[(ex

x
ey

y

ez
)(x 2 z

y2

z )]P
(ex 2x ey 2y ez )(1,1,1) ex 2 ey 2 ez
例1
表征其方向的单位矢量
el P


P
ex 2x ey 2 y ez (2x)2 (2 y)2 (1)2

Jd


D
t
位移电流密度
i
S Jd
dS
S
D t
dS

U m
d
cos t
S0

CU m
cos t

ic
式中的S0为极板的面积，而
S0
d
C 为平行板电容器的电容。
( 2 ) 以 r 为半径作闭合曲线JdC，Dt 由于连接导线本身的轴对称
性，使得沿闭合线的磁场相等，故
向的方向导数。
解：l方向的方向余弦为
cos
1
1
12 22 22 3
cos
2
2
12 22 22 3
cos
2
2
12 22 22 3
直角坐标系
矢量用坐标分量表示

A
exAx