静电例1、三个点电荷q1、q2、q3沿一条直线分布，已知其中任一点电荷所受合力均为零，且 q1=q3=Q ，求在固定q1、q3的情况下，将q2从o →∞,外力需作功A= 解：由已知q1所受静电力例2、有两个点电荷带电量为nq 和-q （n>1),相距d,证明电势为零的等势面为一球面。

证明：空间任一点电势整理可得： 上式为球面方程：球心坐标 球面半径例3、点电荷-q 位于圆心处，A 、B 、C 、D 位于同一圆周上的四点如图示。

将q0从A 移至B 、C 、D 点，电场力的功。

A=0 例4. 已知: 是闭合曲面的一部分，面内无净电荷电场线穿过该闭合面，穿过 部分的电场通量1∆Φ，求:通过其余部分的电场通量2∆Φ。

解：由高斯定理⎰∑=⋅=ΦSiie q S d E 0ε ，00=Φ∴=∑eii q，12120∆Φ-=Φ∴=∆Φ+Φ∴ 例5、长为L,线电荷密度λ的两根均匀带电细棒，沿同一直线放置，两棒近端相距 a ，求两棒间的静电力。

q 2x od n n 1(22- 、0、0） 04)2(420322031=+=a q q a q q f πεπε4412Q q q -=-=∴e A A -=∴)0(2--=o U q a Q q 0242πε-=a Q 028πε=qnq U U U -+=22202220)(44z y d x qz y x nq ++--+++=πεπε0=令 222222)(z y d x qz y x nq ++-=++∴[]2222222)(z y x z y d x n ++=++-22222221()1(-=++--n nd z y d n n x 12-=n nd R S ∆S ∆解：任意一根棒上一段电荷元在其延长线上一点产生场强dE: xl x dlE d ˆ)(420-=πελ，⎰-=∴Ll x dlE 020)(4πελLl x 00)(4-=πελ⎪⎭⎫⎝⎛--=x L x 1140πελ则棒2受棒1静电力：⎰=f d f，其中df 是棒2上一段电荷元所受棒1的静电力E dq df ⋅=dx x L x λπελ⋅⎪⎭⎫⎝⎛--=1140 ， dx x L x f aL aL ⎪⎭⎫⎝⎛--=⎰++114202πελ)2()(ln 4202a L a a L ++=πελ例6 .无限长共轴直圆筒，半径为R1，R2，均匀带正电，单位长度电量分别为λ1，λ2，设外筒电势为0，求各区域内的电势分布，以及两筒间的电势差。

解：电场具有对称性，利用叠加原理求场强： 当r<R1时，E1=0； 当R1 <r<R2时，rE 0122πελ=； 当r>R2时, rE 02122πελλ+=；然后用线积分求电势分布，当r<R1⎰⋅=21R Pl d E V ⎰⎰⋅+⋅=121R r R R l d E l d E ⎰+=210120R R rdr πελ1201ln 2R R πελ= 当R1 <r<R2时, ⎰⋅=22R pl d E V ⎰=2012R r rdr πελr R 201ln 2πελ= 当r>R2时，⎰⋅=22R pl d E V ⎰+-=r R r dr 20212πελλr R2021ln 2πελλ+=筒间电势差U ∆即r=R1处的电势1201ln 2R RU πελ=∆ 选做题1、半径为R 的均匀带电圆面，电荷的面密度为σe ， （1）球轴线上离圆心的坐标为x 处的场强；（2）在保持σe 不变的情况下，当R 分别趋于0和∞时，结果各如何？（3）在保持总电荷Q=πR2不变的情况下，当R 分别趋于0和∞时，结果各如何？ （4）求轴线上电势U （x ）的分布，并画出U-x 关系曲线。

2、半径为R1的导体球带有电荷q ，球外有一个内外半径分别为R2、 R3的同心导体球壳，壳上带有电荷Q ，（1）求两球的电势U1和U2；（2）以导线把球和壳接在一起后， U1和U2分别是多少？ （3）在（1）中，若外球接地，则U1和U2分别是多少？ （4）设外球离地面很远，若内球接地，情况如何？[例题1 ] 设电偶极子的两电荷-q 和+q 间的距离为l ，求距离电偶极子远处的电势和场强的分布。

[解] ( 1 ) 电势分布设场点P 到q ±的距离分别为+r 和-r ，则q ±单独存在时P 点的电势为±±=r q U 041επ. 根据电势叠加原理，有-++=U U U )11(40-+-=r r q επ. 电偶极子的中点O 到场点P 的距离为r , 按题意l r >>，于是有：θcos 2lr r -≈+,θcos 2lr r +≈-;θcos l r r ≈-+-,2r r r ≈-+.将它们代入U 的表达式，可得200cos 44r p q r r r r q U θεεππ≈-=-++-04r q r p ⋅π=ε,电偶极子在远处的性质是由它的电偶极矩l p q =决定的。

( 2 ) 场强分布由于轴对称性，U 与方位角ϕ无关，采用平面极坐标系，其极轴沿电矩p ，原点O 位于电偶极子的中心。

场强E 的两个分量分别为： 30cos 241r p r U E r θεπ=∂∂-=,30sin 411r p U r E θεθθπ=∂∂-=,在电偶极子的延长线上，有：0=θE ，30241r p E E r επ==； 在电偶极子的中垂面上，2π=θ，有：0=r E ，3041r p E E εθπ==. [例题2] 一示波器中阳极A 和阴极K 之间的电压是3000 V ，试求阴极发射的电子到达阳极时的速度，设电子从阴极出发时初速为零。

[解] 电子带负电，C 1060.119e -⨯-=-=e q，所以它沿电势升高的方向加速运动，即从阴极 K 出发到达阳极 A. 于是，J )0003()1060.1(19KA KA -⨯⨯-=-=-U e AJ 1080.416-⨯=.电场力作功使电子动能增加，因此电子到达阳极时获得的动能为 J1080.42116KA 2e -⨯=-=U e v m .又，电子质量kg 1011.931e -⨯=m ，所以电子到达阳极时的速率为m/s1025.3m/s 1011.91080.42271316eKA⨯=⨯⨯⨯=-=--m U e v .元电荷C 1060.119-⨯=e 是电子和质子等微观粒子带电的基本单位。

任何一个带有电量e 的粒子，只要飞越一个电势差为1 V 的区间，电场力就对它作功J 1060.1J 11060.11919--⨯=⨯⨯=A ,从而该微观粒子本身就获得了这么多的能量。

在近代物理学中，常把这个能量称为1 eV (电子伏特)，即J 1060.1eV 191-⨯=.[例题三]设想一厚度l 均匀的曲面薄壳，两面带有符号相反的面电荷e σ± ——电偶极层,如图，求P 点的电势和场强。

解：⎰='0''41)(S e r dS p U σπε⎰-+'0)(41S e r dS σπε⎰⎪⎭⎫⎝⎛-=Se dS r r 1'1410σπε从图中看：θθ,cos 'l r r +≈为矢径r 与d S 法线n 之间的夹角，于是有⎪⎭⎫ ⎝⎛-≈+=+≈r l r rr l r r θθθcos 11)1(1cos 1'122c o s1'1c o s 1r l r r r l r θθ-=-⇒-=，代入)(p U ⎰-=Se r dS l p U 2cos 41)(θσπε Ωd rdS=2cos θ 定义电偶极层强度：——单位面积上的电偶极矩l e e στ≡ΩΩ0044)(πετπετe S e d p U -=-=⎰P 点的电场强度Ω∇=-∇=04)(πετe p U E讨论： 1） 电偶极层的电势和场强只与对场点所张的立体角有关； 2）几何上决定，电偶极层两侧立体角有π4-的跃变：面元dS 在垂直于矢径r 方向的投影曲面S 对场点P所张的立体角负电荷一侧：0,0cos ,2/,cos 2>=∴><=⎰Sd rdS d ΩΩΩθπθθ ；正电荷一侧：0,0cos ,2/,cos <=∴<>=⎰Sd rdS d ΩΩΩθπθθ 具体考察图中两点－立体角＋立体角ΩΩ−−→−−−→−-+P P ，当该两点趋于偶极层表面时，相对应的立体角之差：π4=+=-+-+-ΩΩΩΩ 电偶极层两侧的电势跃变： 00044)(4)()(ετππετπετee e p U pU =⨯=--=--+-+ΩΩ 稳恒磁场定理及定律：洛伦兹力公式：B v q E q f⨯+=安培定律 ：B l Id F d⨯=毕—萨定理：2ˆ4rr l Id B d ⨯=πμ 几种典型电流的B 分布： 一段载流直导线：)sin (sin 4120ββπμ-=aIB 圆电流圈的圆心和轴线上：())(222/32200不必记轴线中心xR ISB R I B +==πμμ例题1、如图在半径为R 的圆周上，a 、b 、c 三点依次相隔90°，a 、c 两处有垂直纸面 向里的电流元。

求：b 点磁感应强度 解: 2024R Idl dB dB l Id l Id πμ==' ；2224220⋅⨯=R Idl dB πμ2024R Idl πμ=例题2、 无限长载流圆柱体，半径R ，通以电流I ，电流均匀分布在截面上，现在圆柱体挖去一半径为b 的小圆柱体，其轴线相互平行，且相距a(a+b<R),设挖去小圆柱体后，余下部分电流密度不变，p 点在o’o 的延长线上op=a 。

求：Bp=?解：电流均匀分布的无限长载流柱体的磁场分布为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∞<≤<≤=r R r I Rr R Ir B πμπμ202020；此题相当于电流流向相反的大小两载流柱体产生磁场的叠加a I R Ia B 222020πμπμ'-=∴22R b I I ππ=')2(2220ab a R I -πμ 例题3、 载流方线圈边长2a,通电流I,求：中心o 处磁感应强度解：O 点B 为四段有限长直载流导线产生的磁感应强度的叠加，方向相同，所以104B B =]sin [sin 44120θθπμ-⨯=a I[])45sin(45sin 4400--⨯=o a I πμaI πμ02=方向： 例题4、无限长直电流I1在纸面内，无限长直电流I2与纸面垂直，并与I1相距d ， P 点纸面内与I1I2的距离均为d 。