x22．1 一元二次方程（1）重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题．难点（关键）：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，•再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．学一学（阅读教材第25至26页，并完成预习内容。

）问题1 要设计一座2m 高的人体雕像，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，雕像的下部应设计为多高？分析：设雕像下部高x m ，则上部高________,得方程_____________________________整理得_____________________________ ①问题2 如图，有一块长方形铁皮，长100cm ，宽50cm ，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒。

如果要制作的无盖方盒的底面积为3600c ㎡，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 分析：设切去的正方形的边长为x cm ，则盒底的长为________________,宽为_____________.得方程_____________________________整理得_____________________________ ② 问题3 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场。

根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？分析：全部比赛的场数为___________设应邀请x 个队参赛,每个队要与其他_________个队各赛1场，所以全部比赛共_________________场。

列方程____________________________化简整理得 ____________________________ ③请口答下面问题：（1）方程①②③中未知数的个数各是多少？___________（2）它们最高次数分别是几次？___________方程①②③的共同特点是： 这些方程的两边都是_________，只含有_______未知数（一元），并且未知数的最高次数是_____的方程.1、只含有 个未知数，并且未知数的最高次数是 ，这样的 方程，叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式： ,其中 是 二次项，是一次项， 是常数项， 是二次项系数 ， 是一次项系数。

一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，•经过整理，•都能化成如下形式ax 2+bx+c=0（a ≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中ax 2是____________，_____是二次项系数；bx 是__________,_____是一次项系数；_____是常数项。

（注意：二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号。

二次项系数0a ≠是一个重要条件，不能漏掉。

）3. 例 将方程（8-2x ）（5-2x ）=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．练一练1:判断下列方程是否为一元二次方程，为什么？22222(1)10(3)23x 10x x (5)(3)(3)x x -==+=-22　ｘ (2)2(x -1)=3y 12　ｘ－－ (4)－=0 (6)9x =5－4x2将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、及常数项：⑴ 5x2-1=4x ⑵ 4x2=81 ⑶ 4x(x+2)=25 ⑷ (3x-2)(x+1)=8x-3试一试2.根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式：⑴4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x;⑵一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x；⑶把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x。

3．px2-3x+p2-q=0是关于x的一元二次方程，则（）．A．p=1 B．p>0 C．p≠0 D．p为任意实数4．方程3x2-3=2x+1的二次项系数为_______，一次项系数为 ______，常数项为_________．8．关于x的方程（m2-m）x m+1+3x=6可能是一元二次方程吗？为什么？22．1 一元二次方程（2）【课前预习】（阅读教材P27 — 28 , 完成课前预习）1：知识准备一元二次方程的一般形式:____________________________2：探究问题:一个面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m，•苗圃的长和宽各是多少？分析：设苗圃的宽为xm，则长为_______m．根据题意，得___________________．整理，得________________________．1)下面哪些数是上述方程的根？0，1，2，3，4, 5, 6, 7, 8, 9, 102)一元二次方程的解也叫做一元二次方程的_____，即使一元二次方程等号左右两边相等的_______________的值。

3)将x=-12代入上面的方程，x=-12是此方程的根吗？4)虽然上面的方程有两个根（______和______）但是苗圃的宽只有一个答案，即宽为_______.因此，由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解．练习：1.你能想出下列方程的根吗？(1) x2 -36 = 0 (2) 4x2-9 = 02.下面哪些数是方程x2+x-12=0的根？ -4， -3， -2， -1， 0， 1， 2， 3， 4。

例1.下面哪些数是方程x2-x-6=0的根？-4， -3， -2， -1， 0， 1， 2， 3， 4。

例2.你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？(1)2250x-= (2) 231x= (3) 29160x-=随堂训练1.写出下列方程的根：（1）9x2 = 1 （2）25x2-4 = 0 （3）4x2 = 22. 下列各未知数的值是方程2320x x+-=的解的是（）A.x=1B.x=-1C.x=2D. x=-23.根据表格确定方程287.5x x-+=0的解的范围____________4.已知方程2390x x m-+=的一个根是1，则m的值是______5.试写出方程x2-x=0的根，你能写出几个？活动4：归纳小结1.使一元二次方程成立的____________的值，叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的________。

2.由实际问题列出方程并得出解后，还要考虑这些解______________【课后巩固】1.如果x2-81=0，那么x2-81=0的两个根分别是x1=________，x2=__________．2.一元二次方程2x x=的根是__________；方程x（x-1）=2的两根为________3.写出一个以2x=为根的一元二次方程，且使一元二次方程的二次项系数为1：_________________。

4.已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3，则m的值为________．5. 若关于X的一元二次方程22(1)10a x x a-++-=的一个根是0，a的值是几？你能得出这个方程的其他根吗？6. 若222x x-=，则2243x x-+=_____________。

已知m是方程260x x--=的一个根，则代数式2m m-=________。

7. 如果x=1是方程ax2+bx+3=0的一个根，求（a-b）2+4ab的值．8. 方程（x+1）2x（x+1）=0，那么方程的根x1=______；x2=________．9.把22(1)2x x x x-=++化成一般形式是______________,二次项是____一次项系数是_______，常数项是_______。

10.已知x=-1是方程ax2+bx+c=0的根（b≠0（）．A．1 B．-1 C．0 D．211.方程x（x-1）=2的两根为（）．A．x1=0，x2=1 B．x1=0，x2=-1 C．x1=1，x2=2 D．x1=-1，x2=2 12.方程ax（x-b）+（b-x）=0的根是（）．A．x1=b，x2=a B．x1=b，x2=1aC．x1=a，x2=1aD．x1=a2，x2=b213. 请用以前所学的知识求出下列方程的根。

⑴(x-2)=1 ⑵9(x-2) 2=1 ⑶x2+2x+1=4 ⑷x2-6x+9=0拓广探索：14.如果2是方程x2-c=0的一个根，那么常数c是几？你能得出这个方程的其他根吗？15.如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数，求证：-1必是该方程的一个根．22.2.1 直接开平方法解一元二次方程【课前预习】导学过程阅读教材第30页至第31页的部分，完成以下问题一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2,李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部表面，你能算出盒子的棱长吗？我们知道x2=25，根据平方根的意义，直接开平方得x=±5，如果x换元为2t+1，即（2t+1）2=8，能否也用直接开平方的方法求解呢？用直接开平方法解下列方程：（1）x2=8 （2）(2x-1)2=5 （3）x2+6x+9=2（4）4m2-9=0 （5）3(x-1)2-9=108解一元二次方程的实质是: 把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．•我们把这种思想称为“降次转化思想”．归纳：如果方程能化成的形式，那么可得【课堂活动】例1用直接开平方法解下列方程：（1）(3x+1)2=7 （2）y2+2y+1=24 （3）9n2-24n+16=11练习：（1）2x2-8=0 （2）9x2-5=3 （3）(x+6)2-9=0【课堂练习】：知识运用1、用直接开平方法解下列方程：（1）3(x-1)2-6=0 （2）x2-4x+4=5 （3）9x2+6x+1=4（4）36x2-1=0 （5）4x2=81 （6）(x+5)2=25归纳小结应用直接开平方法解形如，那么可得达到降次转化之目的．【课后巩固】一、选择题1．若x2-4x+p=（x+q）2，那么p、q的值分别是（）．A．p=4，q=2 B．p=4，q=-2 C．p=-4，q=2 D．p=-4，q=-2 2．方程3x2+9=0的根为（）．A．3 B．-3 C．±3 D．无实数根3．用配方法解方程x2-23x+1=0正确的解法是（）．A．（x-13）2=89，x=13B．（x-13）2=-89，原方程无解C．（x-23）2=59，x1=23+3x2=23D．（x-23）2=1，x1=53，x2=-13二、填空题1．若8x2-16=0，则x的值是_________．2．如果方程2（x-3）2=72，那么，这个一元二次方程的两根是________．3．如果a、b2-12b+36=0，那么ab的值是_______．4．用直接开平方法解下列方程：（1）（2-x）2＝4 （2）（2-x）2-81＝05．解关于x的方程（x+m）2=n．6、某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m），•另三边用木栏围成，木栏长40m．（1）鸡场的面积能达到180m2吗？能达到200m吗？（2）鸡场的面积能达到210m2吗？7．在一次手工制作中，某同学准备了一根长4米的铁丝，由于需要，现在要制成一个矩形方框，并且要使面积尽可能大，你能帮助这名同学制成方框，•并说明你制作的理由吗？22.2.2配方法解一元二次方程（1）重点：讲清“直接降次有困难”，如x2+6x-16=0的一元二次方程的解题步骤．难点：不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧．【课前预习】导学过程阅读教材第31页至第34页的部分，完成以下问题解下列方程（1）3x2-1=5 （2）4（x-1）2-9=0 （3）4x2+16x+16=9填空：（1）x2+6x+______=（x+______）2；（2）x2-x+_____=（x-_____）2（3）4x2+4x+_____=（2x+______）2．（4）x2-x+_____=（x-_____）2问题：要使一块长方形场地的长比宽多6cm，并且面积为16cm2,场地的长和宽应各是多少？思考？1、以上解法中，为什么在方程x2+6x=16两边加9？加其他数行吗？2、什么叫配方法？3、配方法的目的是什么？这也是配方法的基本4、配方法的关键是什么？用配方法解下列关于x的方程（1）x2-4x+2=0 （2）2x2-4x-8=0总结：用配方法解一元二次方程的步骤：【课堂活动】例1用配方法解下列关于x的方程：（1）x2-8x+1=0 （2）2x2+1=3x （3）3x2-6x+4=0练习：（1）x2+10x+9=0 （3）3x2+6x-4=0（3）4x 2-6x-3=0 （4）x(x+4)=8x+12【课堂练习】：1. 填空：（1）x 2+10x+______=（x+______）2；（2）x 2-12x+_____=（x-_____）2（3）x 2+5x+_____=（x+______）2．（4）x 2-32x+_____=（x-_____）22．用配方法解下列关于x 的方程（1） x 2-36x+70=0． （2）2x 2-4x-1=0 （3）x 2x归纳小结：用配方法解一元二次方程的步骤：【课后巩固】一、选择题1．将二次三项式x 2-4x+1配方后得（ ）．A ．（x-2）2+3B ．（x-2）2-3C ．（x+2）2+3D ．（x+2）2-32．已知x 2-8x+15=0，左边化成含有x 的完全平方形式，其中正确的是（ ）．A ．x 2-8x+（-4）2=31B ．x 2-8x+（-4）2=1C ．x 2+8x+42=1D ．x 2-4x+4=-113．如果mx 2+2（3-2m ）x+3m-2=0（m ≠0）的左边是一个关于x 的完全平方式，则m 等于（）．A ．1B ．-1C ．1或9D ．-1或9二、填空题1．（1）x 2-8x+______=（x-______）2；（2）9x 2+12x+_____=（3x+_____）2（3）x 2+px+_____=（x+______）2．2、方程x 2+4x-5=0的解是________．三、解方程：（1）x 2+10x+16=0 （2）3x 2+6x-5=0 （3）4x 2-x-9=0四、综合提高题1．已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x 2-4x+3=0的解，求这个三角形的周长．2．如果x 2-4x+y 2，求（xy ）z 的值．22.2.3用公式法解一元二次方程重点：求根公式的推导和公式法的应用．难点：一元二次方程求根公式法的推导．【课前预习】阅读教材第34页至第37页的部分，完成以下问题1、用配方法解下列方程 （1）6x 2-7x+1=0 （2）4x 2-3x=52总结用配方法解一元二次方程的步骤：2、如果这个一元二次方程是一般形式ax 2+bx+c=0（a ≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根？问题：已知ax 2+bx+c=0（a ≠0）试推导它的两个根x 1 x 2 分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a 、b 、c•也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．解：移项，得： ，二次项系数化为1，得配方，得： 即∵a ≠0，∴4a 2>0，式子b 2-4ac 的值有以下三种情况：（1） b 2-4ac ＞0，则2244b ac a -＞0直接开平方，得： 即x=2b a-± ∴x 1= ，x 2=（2） b 2-4ac=0，则2244b ac a -=0此时方程的根为 即一元二次程 ax 2+bx+c=0（a ≠0）有两个 的实根。