小专题(三)全等三角形性质与判定的综合应用
全等三角形是证明线段相等和角相等的常用方法,在解题中要注意寻找全等三角形,探索三角形全等的条件是三角形的重点,又是进一步学习平面几何的基础.在具体应用三角形全等的判定方法时,要认真分析已知条件,仔细观察图形,弄清已具备了哪些条件,从中找出已知条件和所要说明的结论之间的内在联系,从而选择适当的说明方法.有些题目中既要用到证全等,又要用到全等的性质,二者相互联合应用.在解决问题时,要注意题目的特点,选择合适的方法和解题思路.
类型1全等三角形的判定
1.如图,在方格纸中,以AB为一边作△ABP,使之与△ABC全等,则P1,P2,P3,P4四个点中符合条件的点P有(C)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
2.在△ADB和△ADC中,下列条件:①BD=DC,AB=AC;②∠B=∠C,∠BAD=∠CAD;③∠B=∠C,BD=DC;④∠ADB=∠ADC,BD=DC.能得出△ABD≌△ACD的是①②④.(只填序号)
类型2四种判定全等方法的综合应用
3.两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”,如图,四边形ABCD是一个筝形,其中
AD=CD,AB=CB,詹姆斯在探究筝形的性质时,得到如下结论:①AC⊥BD;②AO=CO=1
AC;③
2
△ABD≌△CBD.其中正确的结论有(D)
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
类型3全等三角形判定的实际应用
4.有一块长方形的土地ABCD,分别被甲、乙两户承包,一条公路GEFH穿过这块地.为发展经济,决定将这条公路尽量修直,为不影响甲、乙两户土地面积,请你设计一种方案,来解决这个问题.
解:如图,取EF的中点M,连接GM并延长交FH于点N,GN就是修直后的道路.
类型4全等三角形性质与判定的综合应用
5.如图,在△ABC中,AB=AC=10 cm,∠B=∠C,BC=8 cm,D为AB的中点.如果点P在线段BC上以3 cm/s的速度由B点向C点运动,同时,点Q在线段CA上由C点向A点运动.
(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,经过1 s后,△BPD与△CQP是否全等,请说明理由.
(2)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多少时,能够使△BPD 与△CQP全等?
解:(1)△BPD≌△CQP.
理由:因为t=1 s,所以BP=CQ=3×1=3(cm),
因为AB=10 cm,D为AB的中点,所以BD=5 cm.
又因为PC=BC-BP=8-3=5(cm),所以PC=BD.
又因为∠B=∠C,所以△BPD≌△CQP(SAS).
(2)因为v P≠v Q,所以BP≠CQ,
又因为△BPD与△CPQ全等,∠B=∠C,
所以BP=PC=4 cm,CQ=BD=5 cm,
所以点P,点Q运动的时间t=BP
3=4
3
(s),
所以v Q=CQ
t =54
3
=15
4
(cm/s).
答:当点Q的运动速度为15
4
cm/s时,△BPD与△CQP全等.。