高中数学不等式的恒成立问题高三数学备课组 肖英文 2011-11-23不等式恒成立的问题既含参数又含变量，往往与函数、数列、方程、几何有机结合起来，具有形式灵活、思维性强、不同知识交汇等特点. 考题通常有两种设计方式：一是证明某个不等式恒成立，二是已知某个不等式恒成立，求其中的参数的取值范围.解决这类问题的方法关键是转化化归，通过等价转化可以把问题顺利解决，下面我就结合自己教学谈谈不等式的恒成立问题的处理方法。

题型一：构造函数法（利用一次函数的性质）在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，即构造函数法，然后利用相关函数的图象和性质解决问题，同时注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更加面目更加清晰明了，一般来说，已知存在范围的量视为变量，而待求范围的量视为参数.例如; 类型1：对于一次函数],[,)(n m x b kx x f ∈+=有：()0f x >⇔恒成立(ⅰ)⎩⎨⎧>>0)(0m f a ，或(ⅱ)⎩⎨⎧><0)(0n f a ；亦可合并定成⎩⎨⎧>>0)(0)(n f m f ；()0()0()0f m f x f n <⎧<⇔⎨<⎩恒成立 例1.对于满足|a|≤2的所有实数a,求使不等式x 2+ax+1>2a+x 恒成立的x 的取值范围。

分析：在不等式中出现了两个字母：x 及a,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。

显然可将a 视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于a 的一次函数大于0恒成立的问题。

解：原不等式转化为(x-1)a+x 2-2x+1>0,设f(a)= (x-1)a+x 2-2x+1,则f(a)在[-2,2]上恒大于0，故有：⎩⎨⎧>>-)2(0)2(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧>->+-0103422x x x 解得：⎩⎨⎧-<><>1113x x x x 或或 ∴x<-1或x>3.引申：在不等式中出现3个字母：m 、x 、a已知函数()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，且(1)1f =，若[],1,1a b ∈-，0a b +≠，有()()0f a f b a b+>+，（1）证明()f x 在[]1,1-上的单调性；（2）若2()21f x m am ≤-+对所有[]1,1a ∈-恒成立，求m 的取值范围。

分析：第一问是利用定义来证明函数的单调性，第二问中出现了3个字母，最终求的是m 的范围，所以根据上式将m 当作变量，a 作为常量，而x 则根据函数的单调性求出()f x 的最大值即可。

（1） 简证：任取[]12,1,1x x ∈-且12x x <，则[]21,1x -∈-1212()()0f x f x x x +>- ()()1212()()0x x f x f x ∴-+-> 又()f x 是奇函数()()1212()()0x x f x f x ∴--> ()f x ∴在[]1,1-上单调递增。

（2） 解：2()21f x m am ≤-+对所有[]1,1x ∈-，[]1,1a ∈-恒成立，即2max 21m am f -+≥，max (1)1f f == 2221120m am m am ∴-+≥∴-≥即2()20g a am m =-+≥在[]1,1-上恒成立。

(1)120(1)120g a g a -=+≥⎧∴⎨=-≥⎩ 1212a a ⎧≤-⎪⎪∴⎨⎪≤⎪⎩1122a ∴-≤≤。

例2.已知不等式对任意的都成立，求的取值范围.解：由移项得:.不等式左侧与二次函数非常相似，于是我们可以设则不等式对满足的一切实数恒成立对恒成立.当时，即解得故的取值范围是.评注：此类问题常因思维定势，学生易把它看成关于的不等式讨论，从而因计算繁琐出错或者中途夭折；若转换一下思路，把待求的x 为参数，以为变量，令则问题转化为求一次函数（或常数函数）的值在内恒为负的问题，再来求解参数应满足的条件这样问题就轻而易举的得到解决了。

题型二：分离参数法类型1：αα>⇔∈>min )()(x f I x x f 恒成立对一切()f x x I α<∈对一切恒成立.max ()f x α⇔<类型2：)()(x g x f >对于任意的],[b a x ∈恒成立⇔min max ()()f x g x >，或)(x f 在],[b a x ∈上的图像始终在)(x g 的上方.（通常移项，使0)()()(min >-=x g x f x h 即可； 若)(x h 的最值无法求出，则考虑数形结合，只需在],[b a x ∈上)(x f 的图像始终在)(x g 的上方即可.）在不等式中求含参数范围过程中，当不等式中的参数（或关于参数的代数式）能够与其它变量完全分离出来并，且分离后不等式其中一边的函数（或代数式）的最值或范围可求时，常用分离参数法.例3.设奇函数]1,1[)(-在x f 上是增函数，且(1)1,f -=-若函数12)(2+-≤at t x f 对所有的]1,1[-∈x 都成立，当]1,1[-∈a 时，则t 的取值范围是( D )A ．22≤≤-tB ．2121≤≤-tC ．022=-≤≥t t t 或或D ．02121=-≤≥t t t 或或例 4.已知函数（为常数）是实数集上的奇函数，函数在区间上是减函数.（Ⅰ）若对（Ⅰ）中的任意实数都有在上恒成立，求实数的取值范围.解析：由题意知，函数在区间上是减函数. 在上恒成立注：此类问题可把要求的参变量分离出来，单独放在不等式的一侧，将另一侧看成新函数，于是将问题转化成新函数的最值问题：若对于取值范围内的任一个数都有恒成立，则；若对于取值范围内的任一个数都有恒成立，则.题型三：数形结合法如果不等式中涉及的函数、代数式对应的图象、图形较易画出时，可通过图象、图形的位置关系建立不等式求得参数范围.例5.已知函数若不等式恒成立，则实数的取值范围是 .解：在同一个平面直角坐标系中分别作出函数及的图象，由于不等式恒成立，所以函数的图象应总在函数的图象下方，因此，当时，所以故的取值范围是注：解决不等式问题经常要结合函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个函数，利用函数图像的上、下位置关系来确定参数的范围.利用数形结合解决不等式问题关键是构造函数，准确做出函数的图象.如：不等式，在时恒成立，求的取值范围.此不等式为超越不等式，求解时一般使用数形结合法，设然后在同一坐标系下准确做出这两个函数的图象，借助图象观察便可求解. 题型四：最值法当不等式一边的函数（或代数式）的最值较易求出时，可直接求出这个最值（最值可能含有参数），然后建立关于参数的不等式求解. 例6. 已知函数（Ⅰ）当时，求的单调区间；（Ⅱ）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 解（Ⅱ）当时，不等式即恒成立.由于，，亦即，所以.令，则，由得.且当时，；当时，，即在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，也就是函数在定义域上的最大值.因此要使恒成立，需要，所以的取值范围为.例7.对于任意实数x ，不等式│x+1│+│x-2│＞a 恒成立，求实数a 的取值范围分析①：把左边看作x 的函数关系，就可利用函数最值求解.解法1：设f （x ）=│x+1│+│x-2│=-2x+1,（x ≤1）3，（-1＜x ≤2）2x-1,（x ＞2） ∴f （x ）min =3. ∴a ＜3.分析②：利用绝对值不等式│a │-│b │＜│a ±b │＜│a │+│b │求解f （x ）=│x+1│+│x-2│的最小值.解法2：设f （x ）=│x+1│+│x-2│， ∵│x+1│+│x-2│≥│（x+1）-（x-2）│=3， ∴f （x ）min =3. ∴a ＜3.分析③：利用绝对值的几何意义求解.解法3：设x 、-1、2在数轴上的对应点分别是P 、A 、B ，则│x+1│+│x-2│=│PA │+│PB │，当点P 在线段AB 上时，│PA │+│PB │=│AB │=3，当点P 不在线段AB 上时，│PA │+│PB │＞3，因此不论点P 在何处，总有│PA │+│PB │≥3，而当a ＜3时，│PA │+│PB │＞a 恒成立，即对任意实数x ，不等式│x+1│+│x-2│＞a 恒成立.∴实数a 的取值范围为（-∞，3）.点评：求“恒成立问题”中参数范围，利用函数最值方便自然，利用二次不等式恒为正（负）的充要条件要分情况讨论，利用图象法直观形象.从图象上直观得到0＜m ＜1后，还需考查区间（0，）右端点x=处的函数值的大小，这一点往往被忽视.题型五：利用一元二次函数的判别式 类型1：设)0()(2≠++=a c bx ax x f（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ； （2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a .类型2：设)0()(2≠++=a c bx ax x f（1）当0>a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立222()00()0b b ba a af f ααββαβ⎧⎧⎧-<-->⎪⎪⎪⇔⎨⎨⎨⎪⎪⎪>∆<>⎩⎩⎩≤≤或或， ],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⎩⎨⎧<<⇔0)(0)(βαf f（2）当0<a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立⎩⎨⎧>>⇔0)(0)(βαf f],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立222()00()0b b ba aa f f ααββαβ⎧⎧⎧-<-->⎪⎪⎪⇔⎨⎨⎨⎪⎪⎪>∆<<⎩⎩⎩≤≤或或 例8.已知函数2()3f x x ax a =++-，在R 上()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围。

分析：()y f x =的函数图像都在X 轴上方，即与X 轴没有交点。

略解：()22434120a a a a ∆=--=+-≤62a ∴-≤≤变式1：若[]2,2x ∈-时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围。

解：22()324a a f x x a ⎛⎫=+--+ ⎪⎝⎭，令()f x 在[]2,2-上的最小值为()g a 。

⑴当22a -<-，即4a >时，()(2)730g a f a =-=-≥ 73a ∴≤ 又4a >a ∴不存在。