Yi = Vi − bi I
X1 X2 X = M Xn
r1 r2 R= M rn
X i = (−bi p1 ,L,−bi pi −1 ,(1 − bi ) pi ,−bi pi +1 ,L,−bi pn )
• 再改写成如下形式： 再改写成如下形式
& W = ZB + Ν
W1 W2 W = M Wn
n
（2）
Z Z & Z = O Z
b1 b2 B = M bn
Z = I − ∑ p j rj
j =1
Wi = Vi − pi ri
需求函数的0 ⑷ 需求函数的0阶齐次性条件 • 当收入、价格、其它商品的价格等都增长倍时， 当收入、价格、其它商品的价格等都增长倍时， 对商品的需求量没有影响。 对商品的需求量没有影响。即
, , f (λ I,λ p1,Lλ pi ,Lλ pn) =λ f (I, p1,L pi ,L pn) , ,
⒉ 对数线性需求函数模型
ln q i = α +
∑β
j =1
n
j
ln p j + γ ln I + µ
• 经验中比较普遍存在 • 参数有明确的经济意义 每个参数的经济意义和数值范围？ 每个参数的经济意义和数值范围？ • 可否用0阶齐次性条件检验？ 可否用0阶齐次性条件检验？ • OLS估计 OLS估计
⑵ 需求的自价格弹性
∆q i ε ii = qi
∆pi ∆ →0 ∂ q i → ∂ pi pi
pi qi
•生活必须品的需求自价格弹性？ 生活必须品的需求自价格弹性？ 生活必须品的需求自价格弹性 •高档消费品的需求自价格弹性？ 高档消费品的需求自价格弹性？ 高档消费品的需求自价格弹性 •“吉芬品” 的的需求收入弹性？ “吉芬品” 的的需求收入弹性？
i = 1,2,L, n
i≠ j
∑b ( p q
i =1 j i
n
i
− pi ri ) = ∑ bi ( p j q j − p j r j )
i =1
n
b j ∑ ( pi qi − pi ri ) = ( p j q j − p j rj )∑bi
i =1 i =1
n
n
p j q j = p j rj + b j ∑ ( pi qi − pi ri )
§7.2需求函数(Demand 7.2需求函数(Demand 需求函数 Function,D.F.)
•几个重要概念 几个重要概念 •几种重要的单方程需求函数模型及其参数估计 几种重要的单方程需求函数模型及其参数估计 •线性支出系统需求函数模型及其参数估计 线性支出系统需求函数模型及其参数估计 •几种需求函数模型系统 几种需求函数模型系统 •建立与应用需求函数模型中的几个问题 建立与应用需求函数模型中的几个问题
⒉ 扩展的线性支出系统需求函数模型
(ELES, Expend Linear Expenditure System) ⑴ 模型的扩展 • 1973年 Liuch 年 bi q i = ri + ( I − ∑ p j r j ) pi j • 两点扩展 • 扩展后参数的经济意义发生了什么变化？ 扩展后参数的经济意义发生了什么变化？ • 为什么扩展后的模型可以估计？ 为什么扩展后的模型可以估计？
i = 1, 2 , L , n
• 对于前 个方程，消去λ可得 对于前n个方程，消去λ 个方程
pi bi q j − r j = ⋅ p j b j qi − ri
i , j = 1,2 , L , n
b j ( pi q i − pi ri ) = bi ( p j q j − p j r j )
• 预算约束为： 预算约束为：
∑q
i =1
n
i
pi = I
• 在预算约束下使效用最大，即得到需求函数模型。 在预算约束下使效用最大，即得到需求函数模型。
构造如下的拉格朗日函数： 构造如下的拉格朗日函数：
L ( q1 , q 2 ,L , q n , λ ) = u ( q 1 , q 2 , L , q n )
i =1
n
p j q j = p j r j + b j (V − ∑ ( pi ri ))
i =1
n
bi qi = ri + (V − ∑ p j rj ) pi j
• 函数的经济意义 • 参数的经济意义
i = 1,2,L , n
• LES是一个联立方程模型系统 是一个联立方程模型系统
• 模型系统估计的困难是什么？ 模型系统估计的困难是什么？
bi rj p j bi p j rj ∂ qi p j ε ij = ⋅ =− ⋅ =− ∂ p j qi pi qi pi qi
j ≠i
η i + ε ii + ∑ε ij =
j ≠i
pi ri + bi ( I ຫໍສະໝຸດ ∑ p j rj )j =1
n
pi qi
−1 = 0
⒊ 扩展的线性支出系统需求函数模型的估计 方法
⑶ 需求函数模型系统来源于效用函数 • 由效用函数在效用最大化下导出，符合需求行为 由效用函数在效用最大化下导出， 理论 • 只包括收入和价格 • 参数有明确的经济意义
⒉ 从效用函数到需求函数 ⑴ 从直接效用函数到需求函数
• 直接效用函数为： 直接效用函数为：
U = u ( q 1 , q 2 ,L , q n )
n
∑q p
i =1 i
i
=V
• 导出需求函数
• 拉格朗日方程
L(q1 , q 2 ,L, q n , λ ) =
∑ b ln(q
i =1 i
n
i
− ri )
+ λ (V − ∑ q i pi )
i =1
n
• 极值条件
bi ∂ L ∂ q = q − r − λ ⋅ pi = 0 i i i ∂L n = ∑ qi pi − V = 0 ∂λ i =1
i = 1,2,L , n
扩展的线性支出系统的0阶齐次性证明 ⑵ 扩展的线性支出系统的 阶齐次性证明
∂ qi I bi I ⋅ = ηi = ∂ I qi pi q i n p r ∂ qi pi bi I pi (1 − bi ) pi ri j j −1 ε ii = ⋅ = (− 2 + bi ∑ 2 ) ⋅ = ∂ pi qi qi pi pi qi j =1 pi
0
•需求函数模型的重要特征 需求函数模型的重要特征 •模型的检验 模型的检验
二、几种重要的单方程需求函数 模型及其参数估计
⒈ 线性需求函数模型
qi = α + ∑ β j p j + γ ⋅ I + µ
j =1 n
• 经验中存在 • 缺少合理的经济解释 • 不满足0阶齐次性条件 不满足0 • OLS估计 OLS估计
+ λ ( I − ∑ q i pi )
极值的一阶条件： 极值的一阶条件：
∂ ∂ ∂ ∂ L ∂ u = − λ pi = 0 ∂ qi qi n L = I − ∑ qi pi = 0
i =1
n
λ
i=1
求解即得到需求函数模型。 求解即得到需求函数模型。
⑵ 从间接效用函数到需求函数 • 间接效用函数为： 间接效用函数为：
• 迭代过程 给定一组边际消费倾向b的初始值； 给定一组边际消费倾向b的初始值； 计算(1)中 的样本观测值； 计算(1)中X的样本观测值； (1) 采用OLS估计(1)，得到基本需求量r的第一次估计值； 采用OLS估计(1)，得到基本需求量r的第一次估计值； OLS估计(1) 代入(2)中 计算Z 代入(2)中，计算Z和W的样本观测值； (2) 的样本观测值； 采用OLS估计(2)，得到b的第一次估计值； 采用OLS估计(2)，得到b的第一次估计值； OLS估计(2) 重复该过程， 重复该过程，直至两次迭代得到的参数估计值满足 收敛条件为止。即完成了模型的估计。 收敛条件为止。即完成了模型的估计。
⑴ 迭代法
qi pi = ri pi + bi ( I − ∑ p j r j ) + µi
j
Vi = ri p i + bi ( I − ∑ p j r j ) + µi
j
i = 1,2,L, n
• 首先改写成如下形式： 首先改写成如下形式：
Y = XR + Ν
其中
（1 ）
Y1 Y2 Y = M Yn
三、线性支出系统需求函数模型 及其参数估计
(LES， (LES，Linear Expenditure System)
⒈ 线性支出系统需求函数模型
• Klein、Rubin 1947年 直接效用函数 、 年
U =
∑u
i =1
n
i
(qi ) =
∑b
i =1
n
i
ln( q i − ri )
该效用函数的含义？ 该效用函数的含义？ • R.Stone、1954年 在预算约束 R.Stone、1954年
• 常用于估计的模型形式
qt = β0 + β1 pt + β2 I t + β3St −1 + µt
• 直接估计。 直接估计。 • 参数估计量的经济意义不明确 。 • 必须反过来求得原模型中的每个参数估计量，才有 必须反过来求得原模型中的每个参数估计量， 明确的经济意义。 明确的经济意义。 • 由4个参数估计量求原模型的 个参数估计量，必须 个参数估计量求原模型的5个参数估计量 个参数估计量求原模型的 个参数估计量， 外生给定δ 外生给定δ。