2015年四川省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1．（5分）设集合A={x |（x +1）（x ﹣2）＜0}，集合B={x |1＜x ＜3}，则A ∪B=（ ）A ．{x |﹣1＜x ＜3}B ．{x |﹣1＜x ＜1}C ．{x |1＜x ＜2}D ．{x |2＜x ＜3} 2．（5分）设i 是虚数单位，则复数i 3﹣2i=（ ） A ．﹣i B ．﹣3i C ．iD ．3i3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出s 的值为（ ）A ．﹣√32B ．√32 C ．﹣12 D ．124．（5分）下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（ ）A ．y=cos （2x +π2）B ．y=sin （2x +π2）C ．y=sin2x +cos2xD ．y=sinx +cosx5．（5分）过双曲线x 2﹣y 23=1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A 、B 两点，则|AB |=（ ）A ．4√33B ．2√3C ．6D ．4√36．（5分）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（ ）A ．144个B ．120个C ．96个D ．72个7．（5分）设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|=6，|AD →|=4，若点M 、N 满足BM →=3MC →，DN →=2NC →，则AM →⋅NM →=（ ） A ．20 B ．15 C ．9D ．68．（5分）设a 、b 都是不等于1的正数，则“3a ＞3b ＞3”是“log a 3＜log b 3”的（ ） A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件9．（5分）如果函数f （x ）=12（m ﹣2）x 2+（n ﹣8）x +1（m ≥0，n ≥0）在区间[12，2]上单调递减，那么mn 的最大值为（ ） A ．16 B ．18 C ．25 D ．81210．（5分）设直线l 与抛物线y 2=4x 相交于A 、B 两点，与圆（x ﹣5）2+y 2=r 2（r ＞0）相切于点M ，且M 为线段AB 的中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（ ）A ．（1，3）B ．（1，4）C ．（2，3）D ．（2，4）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

11．（5分）在（2x ﹣1）5的展开式中，含x 2的项的系数是 （用数字填写答案）．12．（5分）sin15°+sin75°的值是 ．13．（5分）某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储藏温度x （单位：℃）满足函数关系y=e kx +b （e=2.718…为自然对数的底数，k 、b 为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是 小时．14．（5分）如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，他们所在的平面互相垂直，动点M 在线段PQ 上，E 、F 分别为AB 、BC 的中点，设异面直线EM 与AF 所成的角为θ，则cosθ的最大值为 ．15．（5分）已知函数f（x）=2x，g（x）=x2+ax（其中a∈R）．对于不相等的实数x1、x2，设m=f(x1)−f(x2)x1−x2，n=g(x1)−g(x2)x1−x2．现有如下命题：①对于任意不相等的实数x1、x2，都有m＞0；②对于任意的a及任意不相等的实数x1、x2，都有n＞0；③对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=n；④对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=﹣n．其中的真命题有（写出所有真命题的序号）．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．（12分）设数列{a n}（n=1，2，3，…）的前n项和S n满足S n=2a n﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记数列{1a n}的前n项和为T n，求使得|T n﹣1|＜11000成立的n的最小值．17．（12分）某市A、B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队．（Ⅰ）求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；（Ⅱ）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列和数学期望．18．（12分）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．在正方体中，设BC的中点为M、GH的中点为N．（Ⅰ）请将字母F、G、H标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）；（Ⅱ）证明：直线MN ∥平面BDH ； （Ⅲ）求二面角A ﹣EG ﹣M 的余弦值．19．（12分）如图，A 、B 、C 、D 为平面四边形ABCD 的四个内角．（Ⅰ）证明：tan A 2=1−cosA sinA；（Ⅱ）若A +C=180°，AB=6，BC=3，CD=4，AD=5，求tan A 2+tan B 2+tan C 2+tan D2的值．20．（13分）如图，椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率是√22，过点P （0，1）的动直线l 与椭圆相交于A 、B 两点，当直线l 平行于x 轴时，直线l 被椭圆E截得的线段长为2√2． （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得|QA||QB|=|PA||PB|恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．21．（14分）已知函数f （x ）=﹣2（x +a ）lnx +x 2﹣2ax ﹣2a 2+a ，其中a ＞0． （Ⅰ）设g （x ）是f （x ）的导函数，讨论g （x ）的单调性；（Ⅱ）证明：存在a ∈（0，1），使得f （x ）≥0在区间（1，+∞）内恒成立，且f （x ）=0在区间（1，+∞）内有唯一解．2015年四川省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1．（5分）设集合A={x |（x +1）（x ﹣2）＜0}，集合B={x |1＜x ＜3}，则A ∪B=（ ）A ．{x |﹣1＜x ＜3}B ．{x |﹣1＜x ＜1}C ．{x |1＜x ＜2}D ．{x |2＜x ＜3} 【解答】解：∵集合A={x |（x +1）（x ﹣2）＜0}，集合B={x |1＜x ＜3}， ∴集合A={x |﹣1＜x ＜2}， ∵A ∪B={x |﹣1＜x ＜3}， 故选：A2．（5分）设i 是虚数单位，则复数i 3﹣2i=（ ）A ．﹣iB ．﹣3iC ．iD ．3i【解答】解：∵i 是虚数单位，则复数i 3﹣2i， ∴i 4−2i =1−2i =−1i =i ，故选；C3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出s 的值为（ ）A ．﹣√32B ．√32 C ．﹣12 D ．12【解答】解：模拟执行程序框图，可得k=1 k=2不满足条件k ＞4，k=3 不满足条件k ＞4，k=4 不满足条件k ＞4，k=5满足条件k ＞4，S=sin 5π6=12，输出S 的值为12．故选：D ．4．（5分）下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（ ） A ．y=cos （2x +π2） B ．y=sin （2x +π2）C ．y=sin2x +cos2xD ．y=sinx +cosx【解答】解：y=cos （2x +π2）=﹣sin2x ，是奇函数，函数的周期为：π，满足题意，所以A 正确y=sin （2x +π2）=cos2x ，函数是偶函数，周期为：π，不满足题意，所以B 不正确；y=sin2x +cos2x=√2sin （2x +π4），函数是非奇非偶函数，周期为π，所以C 不正确；y=sinx +cosx=√2sin （x +π4），函数是非奇非偶函数，周期为2π，所以D 不正确；故选：A ．5．（5分）过双曲线x 2﹣y 23=1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A 、B 两点，则|AB |=（ ）A ．4√33B ．2√3C ．6D ．4√3【解答】解：双曲线x 2﹣y 23=1的右焦点（2，0），渐近线方程为y=±√3x ，过双曲线x 2﹣y 23=1的右焦点且与x 轴垂直的直线，x=2，可得y A =2√3，y B =﹣2√3， ∴|AB |=4√3． 故选：D ．6．（5分）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（ ）A ．144个B ．120个C ．96个D ．72个【解答】解：根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4中其中1个； 分两种情况讨论：①首位数字为5时，末位数字有3种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有A 43=24种情况，此时有3×24=72个，②首位数字为4时，末位数字有2种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有A 43=24种情况，此时有2×24=48个， 共有72+48=120个． 故选：B7．（5分）设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|=6，|AD →|=4，若点M 、N 满足BM →=3MC →，DN →=2NC →，则AM →⋅NM →=（ ） A ．20 B ．15 C ．9D ．6【解答】解：∵四边形ABCD 为平行四边形，点M 、N 满足BM →=3MC →，DN →=2NC →，∴根据图形可得：AM →=AB →+34BC →=AB →+34AD →，AN →=AD →+23DC →=AD →+23AB →，∴NM →=AM →−AN →， ∵AM →⋅NM →=AM →•（AM→−AN →）=AM →2﹣AM →⋅AN →，AM →2=AB →2+32AB→⋅AD →+916AD →2，AM →⋅AN →=23AB →2+34AD →2+32AB→⋅AD →，|AB →|=6，|AD →|=4， ∴AM →⋅NM →=13AB →2−316AD →2=12﹣3=9 故选：C8．（5分）设a 、b 都是不等于1的正数，则“3a ＞3b ＞3”是“log a 3＜log b 3”的（ ） A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 【解答】解：a 、b 都是不等于1的正数， ∵3a ＞3b ＞3， ∴a ＞b ＞1， ∵log a 3＜log b 3，∴1lga ＜1lgb ， 即lgb−lga lgalgb＜0，{lgb −lga ＜0lgalgb ＞0或{lgb −lga ＞0lgalgb ＜0求解得出：a ＞b ＞1或1＞a ＞b ＞0或b ＞1，0＜a ＜1根据充分必要条件定义得出：“3a ＞3b ＞3”是“log a 3＜log b 3”的充分条不必要件， 故选：B ．9．（5分）如果函数f （x ）=12（m ﹣2）x 2+（n ﹣8）x +1（m ≥0，n ≥0）在区间[12，2]上单调递减，那么mn 的最大值为（ ） A ．16 B ．18 C ．25 D ．812【解答】解：∵函数f （x ）=12（m ﹣2）x 2+（n ﹣8）x +1（m ≥0，n ≥0）在区间[12，2]上单调递减， ∴f′（x ）≤0，故（m ﹣2）x +n ﹣8≤0在[12，2]上恒成立．而（m ﹣2）x +n ﹣8是一次函数，在[12，2]上的图象是一条线段．故只须在两个端点处f′（12）≤0，f′（2）≤0即可．即{12(m −2)+n −8≤0(1)2(m −2)+n −8≤0(2)由（2）得m ≤12（12﹣n ），∴mn ≤12n （12﹣n ）≤12(n+12−n 2)2=18，当且仅当m=3，n=6时取得最大值，经检验m=3，n=6满足（1）和（2）． 故选：B ．解法二：∵函数f （x ）=12（m ﹣2）x 2+（n ﹣8）x +1（m ≥0，n ≥0）在区间[12，2]上单调递减，∴①m=2，n ＜8 对称轴x=﹣n−8m−2，②{m −2＞0−n−8m−2≥2即{m ＞22m +n −12≤0③{m −2＜0−n−8m−2≤12即{m ＜22n +m −18≤0设{x ＞22x +y −12≤0或{x ＜22y +x −18≤0或{x =2y ＜8设y=kx，y′=−kx 2，当切点为（x 0，y 0），k 取最大值．①﹣kx 02=﹣2．k=2x 02，∴y 0=﹣2x 0+12，y 0=2x 02x 0=2x 0，可得x 0=3，y 0=6，∵x=3＞2∴k 的最大值为3×6=18②﹣k x 02=﹣12．，k=12x 02，y0=12x0x0=12x0，2y0+x0﹣18=0，解得：x0=9，y0=9 2∵x0＜2∴不符合题意．③m=2，n=8，k=mn=16综合得出：m=3，n=6时k最大值k=mn=18，故选；B10．（5分）设直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点，与圆（x﹣5）2+y2=r2（r ＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（）A．（1，3） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4）【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），斜率存在时，设斜率为k，则y12=4x1，y22=4x2，则{y12=4x1y22=4x2，相减，得（y1+y2）（y1﹣y2）=4（x1﹣x2），当l的斜率存在时，利用点差法可得ky0=2，因为直线与圆相切，所以y0x0−5=﹣1k，所以x0=3，即M的轨迹是直线x=3．将x=3代入y2=4x，得y2=12，∴﹣2√3＜y0＜2√3，∵M在圆上，∴（x0﹣5）2+y02=r2，∴r2=y02+4＜12+4=16，∵直线l恰有4条，∴y0≠0，∴4＜r2＜16，故2＜r＜4时，直线l有2条；斜率不存在时，直线l有2条；所以直线l恰有4条，2＜r＜4，故选：D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。