例析线性回归直线方程的求法
山东 杨道叶
一、求回归直线方程的步骤: 第一步：列表i
x ,i
y ,i i
x y ；
第二步：计算x ，y ，21
n i
i x =∑，21
n i
i y =∑，1
n
i i
i x y =∑；
第三步:代入公式计算b ，a 的值； 第四步：写出直线方程。

二、范例剖析
例1 测地某地10对父子身高(单位：英寸）如下:
如果x 与y 之间具有线性相关关系,求回归直线方程;如果父亲的身高为78英寸，试估计儿子的身高。

分析：对于两个变量，在确定具有线性相关关系后，可以利用“最小二乘法”来求回归直线方程。

为了使计算更加有条理,我们通过制
作表格来先计算出1
n
i i x =∑，1n
i i y =∑，2
1n
i
i x =∑，21n
i
i y =∑和1n
i i i x y =∑；再计算出11n
i i x x n ==∑，
2
1
1n i i y y n ==∑，再利用公式12
21
n
i i
i n
i
i x y nx y
b x
nx
==-=
-∑∑和a y bx =-来计算回归系数，最后写
出回归直线方程y bx a =+。

解析：先将两个变量的数字在表中计算出来，如下表所示：
由上表可得
66866.8
10
x ==，
670.167.01
10
y ==，10
21
44794
i
i x
==∑，
10
2144941.93i
i y
==∑,10
1
44842.4i i i x y ==∑。

代入公式得2
44842.41066.867.010.4646447941066.8b -⨯⨯=≈-⨯，
67.010.464666.835.975a =-⨯≈,
故所求回归直线方程为0.464635.945y x =+。

当78x =时，0.46467835.97572.2138y =⨯+=，
所以当父亲的身高为78英寸时,估计儿子的身高约为72.2138英寸。

评注：注意回归直线方程中一次项系数为b ，常数项为a ，这与一次函数的习惯表示不同。

例2 有一台机床可以按各种不同的速度运转，其加工的零件有一些是二级品,每小时生产的二级品零件的数量随机床运转的速度
而变化。

下面是实验的步骤：
128
149
1611
（1)作出散点图；
（2)求出机床运转的速度x与每小时生产二级品数量y的回归直线方程；
（3)若实际生产中所允许的二级品不超过10个，那么机床的运转速度不得超过多少转/秒？
分析:散点图形象地反映了各对数据的密切程度，通常在尚未判断两个变量之间是否具有线性相关关系的情况下，应先进行相关性检验，在确认具有线性相关关系后，再求其回归直线方程。

解析：（1）散点图如下图所示：
（2）易求得12.5
y=，b＝0。

7286，a＝－0.8571,
x=，8.25
∴所求回归直线方程为0.72860.8571
=-。

y x
（3）依题意，要使10
y≤，只要0。

7286x－0.8571≤10，解得x≤14。

9013，即机床的运转速度不能超过14。

9013转/秒.
评注：利用最小二乘法求线性回归直线方程有着广泛的应用，请同学们联系实际,熟练掌握.
三、知能展示
1．为了研究三月下旬的平均气温(x）与四月二十号前棉花害虫化蛹高峰日（y）的关系，某地区观察了1996年至2001年的情况，得到下面的数据：
据气象预测，该地区在2002年三月下旬平均气温为027C，试估计2002年四月化蛹高峰日为哪天。

2．某地区第一年到第六年的用电量y与年次x的统计数据如下表：
用电单位：亿度
（1）y与x是否具有线性相关关系？
（2）如果y与x具有线性相关关系,求回归直线方程。

答案：
1．提示：估计该地区2002年4月12日或13日为化蛹高峰日。

2．（1）线性相关；（2） 1.049.66
=+
y x。