专题03 填空压轴题之几何求值1．（2021•深圳）如图，在ABC ∆中，D ，E 分别为BC ，AC 上的点，将CDE ∆沿DE 折叠，得到FDE ∆，连接BF ，CF ，90BFC ∠=︒，若//EF AB ，43AB =，10EF =，则AE 的长为 ．【答案】1043-【详解】如图，延长ED 交FC 于G ，延长BA ，DE 交于点M ，将CDE ∆沿DE 折叠，得到FDE ∆，EF EC ∴=，DF DC =，FED CED ∠=∠，EG CF ∴⊥，又90BFC ∠=︒，//BF EG ∴，//AB EF ，∴四边形BFEM 是平行四边形，10BM EF ∴==，1043AM BM AB ∴=-=-，//AB EF ，M FED∴∠=∠，M CED AEM∴∠=∠=∠，1043 AE AM∴==-2．（2020•深圳）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O ，90ABC DAC∠=∠=︒，1tan2ACB∠=，43BOOD=，则ABDCBDSS∆∆=．【答案】332【详解】如图，过点D作//DM BC，交CA的延长线于点M，延长BA交DM于点N，//DM BC，ABC ANM∴∆∆∽，OBC ODM∆∆∽，∴1tan2AB ANACBBC NM==∠=，43BC OBDM OD==，又90ABC DAC∠=∠=︒，90BAC NAD∴∠+∠=︒，90BAC BCA∠+∠=︒，NAD BCA∴∠=∠，ABC DAN∴∆∆∽，∴12AB DNBC NA==，设4BC a=，由43BC OBDM OD==得，3DM a=，2AB a∴=，35DN a=，65AN a=，616255NB AB AN a a a∴=+=+=，∴22313521323225ABDBCDaAB DNSS BC NB a∆∆⋅===⋅．3．（2019•深圳）如图，在正方形ABCD 中，1BE =，将BC 沿CE 翻折，使B 点对应点刚好落在对角线AC 上，将AD 沿AF 翻折，使D 点对应点刚好落在对角线AC 上，求EF = ．【答案】6 【详解】如图，作FM AB ⊥于点M ．四边形ABCD 是正方形，45BAC CAD ∴∠=∠=︒．将BC 沿CE 翻折，B 点对应点刚好落在对角线AC 上的点X ，1EX EB AX ∴===，90EXC B ∠=∠=︒，222AE AX EX ∴=+=．将AD 沿AF 翻折，使D 点对应点刚好落在对角线AC 上的点Y ，1AM DF YF ∴===，∴正方形的边长21AB FM ==+，21EM =-，2222(21)(21)6EF EM FM ∴=+=-++=．4．（2018•深圳）在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AD 平分CAB ∠，BE 平分ABC ∠，AD 、BE 相交于点F ，且4AF =，2EF =，则AC = ．【答案】8105 【详解】如图，过点E 作EG AD ⊥于G ，连接CF ， AD ，BE 是分别是BAC ∠和ABC ∠的平分线， CAD BAD ∴∠=∠，CBE ABE ∠=∠，90ACB ∠=︒，2()90BAD ABE ∴∠+∠=︒，45BAD ABE ∴∠+∠=︒，45EFG BAD ABE ∴∠=∠+∠=︒，在Rt EFG ∆中，2EF =，1FG EG ∴==，4AF =，3AG AF FG ∴=-=，根据勾股定理得，2210AE AG EG =+=，AD 平分CAB ∠，BE 平分ABC ∠，CF ∴是ACB ∠的平分线，45ACF AFE ∴∠=︒=∠，CAF FAE ∠=∠，AEF AFC ∴∆∆∽，∴AE AF AF AC=， 216810510AF AC AE ∴===5．（2017•深圳）如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，3AB =，4BC =，Rt MPN ∆，90MPN ∠=︒，点P 在AC 上，PM 交AB 于点E ，PN 交BC 于点F ，当2PE PF =时，AP = ．【答案】3【详解】如图作PQ AB ⊥于Q ，PR BC ⊥于R ．90PQB QBR BRP ∠=∠=∠=︒，∴四边形PQBR 是矩形，90QPR MPN ∴∠=︒=∠，QPE RPF ∴∠=∠，QPE RPF ∴∆∆∽， ∴2PQ PE PR PF ==， 22PQ PR BQ ∴==，//PQ BC ，::::3:4:5AQ QP AP AB BC AC ∴==，设4PQ x =，则3AQ x =，5AP x =，2BQ x =， 233x x ∴+=，35x ∴=， 53AP x ∴==．6．（2021•深圳模拟）如图，在四边形ABCD 中，AE 平分BAD ∠交CD 于点E ，且AB AE =，12CBA D BAD ∠=∠+∠，过点E 作EG AB ⊥，垂足为G ．延长BC 和AE 交于点F ，若:2:1BF ED =，2EG =，三角形ABF 的面积为7，则AD = ．【答案】72 【详解】解法一： 如图，过A 作AM BF ⊥于M ，作AN CD ⊥于N ，过E 作EH AD ⊥于H ，90AMB ANE ∴∠=∠=︒，AE 平分BAD ∠交CD 于点E ，12BAE DAE BAD ∴∠=∠=∠， 12CEA DAE ADE BAD ADE ∠=∠+∠=∠+∠， 12CBA D BAD ∠=∠+∠， CEA CBA ∴∠=∠，AED ABM ∴∠=∠，AB AE =，()ABM AEN AAS ∴∆≅∆，AM AN ∴=，12ABF S BF AM ∆=⋅，12AED S DE AN ∆=⋅，且2BF ED =， 2ABF AED S S ∆∆∴=， 7ABF S ∆=，72AED S ∆∴=， AE 平分BAD ∠，EG AB ⊥，EH AD ⊥，2EH EG ∴==，1722AED S AD EH ∆∴=⋅=， 72AD ∴=； 解法二：过D 作DM AE ⊥于M ，过F 作FN AB ⊥，交AB 的延长线于N ， AE 平分BAD ∠交CD 于点E ，12BAE DAE BAD ∴∠=∠=∠， 12CEA DAE ADE BAD ADE ∠=∠+∠=∠+∠， 12CBA D BAD ∠=∠+∠， CEA CBA ∴∠=∠，AED FBN ∴∠=∠，90DME FNB ∠=∠=︒，DME FNB ∴∆∆∽，∴12ED DM BF FN ==， 2FN DM ∴=，112722ABF S AB FN AE DM ∆=⋅=⋅=， 7AE DM ∴⋅=，BAE DAE ∠=∠，90AGE AMD ∠=∠=︒，AGE AMD ∴∆∆∽，∴EG AE DM AD =， ∴2AE DM AD=，722DM AE AD ⋅∴==．7．（2021•龙岩模拟）将含30︒角且大小不等的两个三角板按如图摆放，使直角顶点重合，连接AE 、BD ，则AE BD = ．【答案】3【详解】EDC ∆与ACB ∆为两个直角三角形，且30DEC BAC ∠=∠=︒，90ACB ECD ∠=∠=︒， ACB DCA ECD DCA ∴∠+∠=∠+∠，DCB ECA ∴∠=∠，在Rt ACB ∆中，tan tan30BC CAB AC∠==︒， 在Rt ECD ∆中，tan tan30DC CED EC ∠==︒， ∴BC DC AC EC=， ∴在ECA ∆与DCB ∆中，DC BC EC AC=， DCB ECA ∠=∠，ECA DCB ∴∆∆∽，∴AE AC BD BC=，在Rt ACB ∆中，tan tan 603AC ABC BC =∠=︒= 8．（2021•南山区一模）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，BE ，AF 分别是ABC ∠，CAB ∠平分线，BE ，AF 交于点O ，OM AB ⊥，10AB =，8AC =，则OM = ．【答案】2【详解】过O 作OG AC ⊥于G ，OH BC ⊥于H ，连接OC ，AF 平分CAB ∠，BE 平分ABC ∠，OG OH OM ∴==，90C ∠=︒，10AB =，8AC =，221086BC ∴=-=11112222ABC S AC BC AB OM AC OG BC OH ∆∴=⋅=⨯⋅+⋅+⋅， ∴11118610862222OM OG OH ⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯， 2OM ∴=9．（2021•深圳模拟）如图，在ABC ∆中，45B ∠=︒，62AB =，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，连接DE ，在直线DE 和直线BC 上分别取点F 、G ，连接BF 、DG ．若3BF DG =，且直线BF 与直线DG 互相垂直，则BG 的长为 ．【答案】4或2【详解】如图，过点B 作BT BF ⊥交ED 的延长线于T ，过点B 作BH DT ⊥于H ．DG BF ⊥，BT BF ⊥，//DG BT ∴，AD DB =，AE EC =，//DE BC ∴，∴四边形DGBT 是平行四边形，BG DT ∴=，DG BT =，45BDH ABC ∠=∠=︒， 32AD DB ==， 3BH DH ∴==， 90TBF BHF ∠=∠=︒，90TBH FBH ∴∠+∠=︒，90FBH F ∠+∠=︒，TBH F ∴∠=∠，1tan tan 3BT DG F TBH BF BF ∴∠=∠===， ∴13TH BH =， 1TH ∴=，134DT TH DH ∴=+=+=，4BG ∴=．当点F 在ED 的延长线上时，同法可得312DT BG ==-=．10．（2021•福田区二模）如图，点M 是Rt ABC ∆斜边AB 的中点，过点M 作DM CM ⊥，交AC 于点D ，若2AD =，5BC =，则CD = ．【答案】29【详解】延长CM，使CM MN=，连接AN，点M是Rt ABC∆斜边AB的中点，AM BM∴=，在AMN∆和BMC∆中，AM BMAMN BMCMN CM=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AMN BMC SAS∴∆≅∆，5BC AN∴==，NAM B∠=∠，//AN BC∴，90BCA∠=︒，90NAD∴∠=︒，22225229DN AN AD∴=+=+=，DM CM⊥，CM MN=，29CD DN∴==．11．（2021•深圳模拟）如图，在Rt ABC∆中，90BAC∠=︒，D为BC的中点，过点D作DE DF⊥，交BA的延长线于点E，交AC的延长线于点F．若72CF=，4AC=，2AB=．则AE=．【答案】10【详解】延长FD 至G ，使GD FD =，连接BG ，如图所示： D 为BC 的中点，BD CD ∴=，在BDG ∆和CDF ∆中，BD CD BDG CDF GD FD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BDG CDF SAS ∴∆≅∆，72BG CF ∴==，G F ∠=∠， //BG CF ∴， BGH AFH ∴∆∆∽， ∴77271542GH BH BG FH AH AF ====+， ∴411DH FD =，15152211AH AB ==， 90BAC ∠=︒，152AF AC CF =+=， 221515755()()21122HF ∴=+=， 41051511DH FH ∴==， DE DF ⊥，90EDH BAC ∴∠=︒=∠，90E EHD F EHD ∴∠+∠=∠+∠=︒，E F ∴∠=∠，DHE AHF ∴∆∆∽，∴HE DH HF AH=，即10511157551122HE=，解得：12511HE=，12515101111AE HE AH∴=-=-=；12．（2021•宝安区二模）如图，在等腰Rt ABC∆中，90B∠=︒，BA BC=，D为BC上一点，且3BD=，E为AD上一点，连接CE，45CED∠=︒，2CE AE=，则CE的长为．【答案】1855【详解】过A作AN CE⊥的延长线于N，过C作CM AD⊥交AD延长线于M，2CE AE=，∴设AE a=，则2CE a=，3445∠=∠=︒，AN NE ∴=，45ECM ∠=︒，90B ∠=︒，BA BC =，45ACD ∴∠=︒，12∴∠=∠，AEN ∴∆，CEM ∆都是等腰直角三角形， 2CE a =，AE a =， CM EM a ∴==，22AN NE a ==， 12∠=∠，CDM CAN ∴∆∆∽，∴CM CD CN AC=， 22NE a =，2CE a =， 322NC a ∴=， 222213255222AC AN NC a a a a ∴=+=+==， ∴3252aCD a a =，103CD a ∴=， 1033BC a ∴=+， 在Rt ABC ∆中，45BAC ∠=︒，sin BC BAC AC∴∠=， sin45BC AC ∴=︒⋅，即1023532a a +=⨯， 9105a ∴=， 9101852255CE a ∴==⨯=． 13．（2021•宝安区期末）如图，在ABC ∆中，AB AC =，点D 、E 是BC 边上两点，连接AD ，以AD 为腰作等腰直角ADF ∆，90ADF ∠=︒，作FE BC ⊥于点E ，FE CE =，若2BD =，5CE =，则CDF S ∆=． 【答案】30 【详解】过点A 作AH BC ⊥于H ，90AHD ∴∠=︒，FE BC ⊥，90DEF ∴∠=︒，ADF ∆是等腰直角ADF ∆，AD DF ∴=，90ADF ADH EDF ∠=∠+∠=︒，90ADH DAH ∴∠+∠=︒，EDF DAH ∴∠=∠，在ADH ∆和DFE ∆中，DAH EDF AHD DEF AD FD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADH DFE AAS ∴∆≅∆，5CE =，5DH EF ∴==，7BH CH ∴==（三线合一）， ∴12CDF S DC EF ∆=⨯⨯11252=⨯⨯30=．14．（2021•罗湖区期末）如图，在ABC∆中，90ACB∠=︒，点D 是BC上的一点，AC DC=，AB AE⊥，且AE AB=，连接DE交AC的延长线于点F，32ACCF=，则BDCD=．【答案】43【详解】在DC上截取CG CF=，连接AG，32ACCF=，设3AC x=，2CF x=，AC DC=，3CD x∴=，CG CF=，2CG x∴=，90ACB∠=︒，在Rt ACG∆和Rt DCF∆中，AC CDACD DCFCG CF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACG DCF SAS∴∆≅∆，CAG CDF∴∠=∠，90AGB CAG∠=∠+︒，90EFA CDF∠=︒+∠，AGB EFA∴∠=∠，AB AE⊥，90EAB∴∠=︒，90ACD∠=︒，AC CD=，45CAD∴∠=︒，45EAF BAD ∴∠+∠=︒，45ADC ABC BAD ∠=︒=∠+∠，EAF ABC ∴∠=∠，在EAF ∆和ABG ∆中，EAF ABC EFA AGB AE AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()EAF ABG AAS ∴∆≅∆，5BG AF x ∴==，32GD x x x =-=，4BD x ∴=， ∴43BDCD =15．（2020•崇州市模拟）如果点P 是ABC ∆内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P 点叫ABC ∆的费马点．已经证明：在三个内角均小于120︒的ABC ∆中，当120APB APC BPC ∠=∠=∠=︒时，P 就是ABC ∆的费马点．若点P 是腰长为2的等腰直角三角形DEF 的费马点，则PD PE PF ++= ．【答案】31+【详解】如图：过点D 作DM EF ⊥于点M ，在BDE ∆内部过E 、F 分别作30MEP MFP ∠=∠=︒，则120EPF FPD EPD ∠=∠=∠=︒，点P 就是费马点， 在等腰Rt DEF ∆中，2DE DF ==，DM EF ⊥，22EF DE ∴==1EM DM ∴==， 故cos30EM PE ︒=， 解得：233PE =，则33PM =， 故313DP =-，同法可得233PF = 则233213133PD PE PF ++=⨯+-=+．16．（2021•深圳模拟）如图，在ABC ∆中，5AB AC ==，45BC =，D 为边AB 上一动点(B 点除外），以CD 为一边作正方形CDEF ，连接BE ，则BDE ∆面积的最大值为 ．【答案】8【详解】过点C 作CG BA ⊥于点G ，作EH AB ⊥于点H ，作AM BC ⊥于点M ． 5AB AC ==，45BC =，25BM CM ∴==，易证AMB CGB ∆∆∽，∴BM AB GB CB=， 即25545GB = 8GB ∴=，设BD x =，则8DG x =-，易证()EDH DCG AAS ∆≅∆，8EH DG x ∴==-，2111(8)(4)8222BDE S BD EH x x x ∆∴==-=--+， 当4x =时，BDE ∆面积的最大值为8．17．（2021•光明区二模）如图，扇形OPQ 可以绕着正六边形ABCDEF 的中心O 旋转，若120POQ ∠=︒，OP 等于正六边形ABCDEF 边心距的2倍，2AB =，则阴影部分的面积为 ．【答案】423π-【详解】连接OE ，OD ，OC ．设EF 交OP 于T ，CD 交OQ 于J ．120POQ EOC ∠=∠=︒，EOT COJ ∴∠=∠，OE OJ =，60OET OCJ ∠=∠=︒，()EOT COJ ASA ∴∆≅∆，2322234OTEDJ OEDC S S ∴==⨯⨯=五边形四边形， 2120(23)23423360OPQ OTEDJ S S S ππ⋅⋅∴=-=-=-阴扇形五边形 18．（2021•深圳二模）如图Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，3AB =，4AC =，点P 为BC 上任意一点，连接PA ，以PA ，PC 为邻边作平行四边形PAQC ，连接PQ ，则PQ 的最小值为．【答案】12 5【详解】90BAC∠=︒，3AB=，4AC=，225BC AC AB∴=+=，四边形APCQ是平行四边形，PO QO∴=，CO AO=，PQ最短也就是PO最短，∴过O作BC的垂线OP'，ACB P CO∠=∠'，90CP O CAB∠'=∠=︒，CAB∴∆∽△CP O'，∴CO OP BC AB'=，∴253OP' =，65 OP∴'=，∴则PQ的最小值为1225 OP'=，方法二：不用相似的方法，只利用等面积得，OC AB BC OP'=，求得OP'，而其他部分的步骤共用．19．（2020•九龙坡区校级月考）如图，Rt ABC∆中，AB BC⊥，6AB=，4BC=，点D是ABC∆内一个动点，且满足DAB DBC∠=∠，当线段CD取最小值时，记BCDα∠=，线段AB 上一动点E绕着点D顺时针旋转得到点F，且满足EDFα∠=，则AF的最小值 ．【答案】125 【详解】AB BC ⊥，6AB =、4BC =， 90DBC ABD ∴∠+∠=︒，DAB DBC ∠=∠，设DAB DBC β∠=∠=，90DAB ABD ∴∠+∠=︒，90ADB ∴∠=︒，∴点D 在以AB 为直径的圆上，设圆心为O ，半径为132AB =，则当O 、D 、C 三点共线时CD 最小，3OD OB OA ∴===，225OC OB BC ∴=+=，将DA 绕点D 逆时针旋转α，得到DG ，连接GE ，DG DA ∴=，GDA EDF α∠=∠=，GDE ADF ∴∠=∠，DE DF =，()GDE ADF SAS ∴∆≅∆，GE AF ∴=，∴当GE AB ⊥时，GE 最小，即AF 最小，过点D 作DM AB ⊥于M ，过点G 作GH DM ⊥，交DM 的延长线于点H ，//DM BC ∴，四边形GHME 为矩形．OMD OBC ∴∆∆∽，GE HM =，∴DM OM OD BC OB OC ==， ∴3435DM OM ==， 125DM ∴=，95OM =， 924355AM OM OA ∴=+=+=， DAB DBC β∠=∠=，OA OD =，ODA OAD β∴∠=∠=，2BOC ODA OAD β∴∠=∠+∠=．在Rt OBC ∆中，90OCB BOC ∠=︒-∠，902αβ∴=︒-，90MAD MDA ∠+∠=︒，90GDH βα∴++∠=︒，GDH DAM β∴∠==∠，90DHG AMD ∠=∠=︒，AD DG =，()GDH DAM AAS ∴∆≅∆．245DH AM ∴==， 125HM DH DM ∴=-=，即AF 的最小值为125． 20．（2021•南山区二模）矩形ABCD 中，4AB =，6BC =，点E 为BC 的中点，沿AE 将AEB ∆翻折得到AFE ∆，sin FCE ∠= ．【答案】45【详解】如图，过E 作EH CF ⊥于H ，由折叠的性质得：BE EF =，BEA FEA ∠=∠，点E 是BC 的中点，3CE BE ∴==，3EF CE ∴==，FEH CEH ∴∠=∠，90AEB CEH ∴∠+∠=︒，在矩形ABCD 中，90B ∠=︒，90BAE BEA ∴∠+∠=︒，BAE CEH ∴∠=∠，B EHC ∠=∠，ABE EHC ∴∆∆∽， ∴AB AE EH CE =， 22435AE =+=，125EH ∴=， 4sin 5EH ECF CE ∴∠==． 21．（2021•龙岗区二模）如图，已知在菱形ABCD ，9BC =，60ABC ∠=︒，点E 在BC 上，且6BE =，将ABE ∆沿AE 折叠得到△AB E '，其中B E '交CD 于点F ，则CF = ．【答案】95【详解】过点A 作AG BC ⊥交BC 于G ，取HG 使HG GE =，过H 作HM AE ⊥于H ，过F 作FN BC ⊥交BC 延长线于N ，四边形ABCD 是菱形，在Rt ABG ∆中，60B ∠=︒， 3sin sin 602AG B AB ∴=︒==， 39322AG AB ∴==， 1cos cos602BG B AB =︒==， 1922BG AB ∴==， 6BE =，922()2(6)32HE GE BE BG ∴==-=⨯-=， 在Rt AGE ∆中，222439633744AE AG GE =+=+==， 1122AHE S HE AG AE HM ∆=⨯⨯=⨯⨯， ∴131337222HM ⨯⨯=⨯⨯， 解得，92114HM =， HG GE =，AG HE ⊥，AHE ∴∆是等腰三角形，AH AE ∴=，AHE HEA ∠=∠，在Rt AHM ∆中，222229211064739763()1419614AM AH HM AE HM =-=-=-==， //AB CD ，60FCN B ∴∠=∠=︒，∴tan 603FN CN=︒=， 折叠，AEB HEA ∴∠'=∠，在Rt AHE ∆中，1801802HAE HEA AHE HEA ∠=︒-∠-∠=︒-∠，又1801802FEN HEA AEB HEA ∠=︒-∠-∠'=︒-∠，设CN x =，3FN x =， tan tan FN HM FEC HAM EN AM ∠=∠==，∴921314339714x x =+， ∴333313x x =+， 910x ∴=， 9931010CN FN ∴==， 22189105CF CN FN ∴=+==． 22．（2021•深圳模拟）如图，矩形ABCD 中，13AE AD =，将ABE ∆沿BE 折叠后得到GBE ∆，延长BG 交CD 于F 点，若3CF FD ==，则BC 的长为 ．【答案】66【详解】延长BF 交AD 的延长线于点H ，四边形ABCD 是矩形，AD BC ∴=，//AD BC ，90A BCF ∠=∠=︒， H CBF ∴∠=∠，在BCF ∆和HDF ∆中，CBF H BCF DFH CF DF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BCF HDF AAS ∴∆≅∆，将ABE ∆沿BE 折叠后得到GBE ∆，90A BGE ∴∠=∠=︒，AE EG =，90EGH ∴∠=︒， 13AE AD =， ∴设AE EG x ==，则3AD BC DH x ===， 2ED x ∴=，5EH ED DH x ∴=+=， 在Rt EGH ∆中，1sin 55EG x H EH x ∠===， 1sin 5CF CBF BF ∴∠==， ∴315BF =， 15BF ∴=，222215366BC BF CF ∴=-=-=23．（2021•葫芦岛二模）如图，在矩形ABCD 中，15AB =，8AD =，E 为AB 边上一点，将BEC ∆沿CE 翻折，点B 落在点F 处，当AEF ∆为直角三角形时，AE = ．【答案】7或515【详解】①如图，若90AEF ∠=︒，90B BCD AEF ∠=∠=︒=∠，∴四边形BCFE 是矩形，将BEC ∆沿着CE 翻折，∴四边形BCFE 是正方形，8BE BC AD ∴===，1587AE AB BE ∴=-=-=；②如图，若90AFE ∠=︒，将BEC ∆沿着CE 翻折，8CB CF ∴==，90B EFC ∠=∠=︒，BE EF =， 180AFE EFC ∠+∠=︒，∴点A ，点F ，点C 三点共线， 222215817AC AB BC ∴=+=+=，9AF AC CF ∴=-=，222AE AF EF =+，2281(15)AE AE ∴=+-，515AE ∴=， ③若90EAF ∠=︒，158CD CF BC =>==，∴点F 不可能落在直线AD 上，∴不存在90EAF ∠=︒，综上所述：7AE =或515． 24．（2020•青羊区校级期末）如图1，在矩形ABCD 中，8AB =，10BC =，P 是边AD 上一点，将ABP ∆沿着直线BP 翻折得到△A BP '．当8AP =时，A D '= ．如图2，连接A C '，当2AP =时，此时△A BC '的面积为 ．【答案】217；60017 【详解】如图1，当8AP =时，由折叠知AB AP =，APB BPA '∠=∠，ABP A BP '∠=∠，90A BA P '∠=∠=︒， ∴四边形ABA P '是正方形，8A P '∴=，2PD =，222282217A D A P PD ''∴=+=+=．如图2，当2AP =时，过点A '作//MN AB ，交AD 于点M ，交BC 于点N ，∴四边形ABNM 为矩形，8AB MN ∴==，AM BN =，90AMN BNM ∠=∠=︒， 设A M x '=，则8A N x '=-，设BN y =，则2PM y =-， 在Rt PMA '∆中，222PM A M PA ''+=，222(2)2y x ∴-+=①，在Rt BNA '∆中，222BN A N A B ''+=，222(8)8y x ∴+-=②，由①②可得，4y x =，把4y x =代入①得，222(42)2x x -+=， 解得，1617x =， 1612081717A N '∴=-=， 1112060010221717A BC S BC A N ''∴=⨯⨯=⨯⨯=． 25．（2021•坪山区二模）如图，在ABC ∆和ADE ∆中，90BAC DAE ∠=∠=︒，60C E ∠=∠=︒，点D 在BC 边上，AC 与DE 相交于点F ，3DF CF =，则AD BD= ．【答案】3【详解】连接EC ，如图，90BAC DAE ∠=∠=︒，60ACB AED ∠=∠=︒， AED ACB ∴∆∆∽，∴AE AD AC AB=， 即AE AC AD AB=， 90BAC DAE ∠=∠=︒，BAC CAD DAE CAD ∴∠-∠=∠-∠，EAC DAB ∴∠=∠，EAC DAB ∴∆∆∽，∴AD BD AE EC=，ACE ABD ADE ∠=∠=∠， 在Rt EAD ∆中，60AED ∠=︒，∴3AD AE=，∴3BD EC =， ∴33EC BD=，EFCAFD ∠=∠，ECF ADF ∠=∠， EFC AFD ∴∆∆∽，∴3AD DF EC CF==， ∴3333AD AD EC BD EC BD =⋅=⨯= 26．（2021•深圳模拟）如图所示的网格是正方形网格，则BAC DAE ∠-∠= ︒（点A ，B ，C ，D ，E 是网格线交点）．【答案】45【详解】如图，连接CG 、AG ，由勾股定理得：2222125AC AG ==+=，2221310CG =+=， 222AC AG CG ∴+=，90CAG ∴∠=︒，CAG ∴∆是等腰直角三角形，45ACG ∴∠=︒，//CF AB ，ACF BAC ∴∠=∠，在CFG ∆和ADE ∆中，90CF AD CFG ADE FG DE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，()CFG ADE SAS∴∆≅∆，FCG DAE∴∠=∠，45BAC DAE ACF FCG ACG∴∠-∠=∠-∠=∠=︒27．（2021•深圳模拟）如图，矩形ABCD中，E是AB上一点，连接DE，将ADE∆沿DE翻折，恰好使点A落在BC边的中点F处，在DF上取点O，以O为圆心，OF长为半径作半圆与CD相切于点G．若4AD=，则图中阴影部分的面积为．【答案】23 9【详解】连接OG，QG，将ADE∆沿DE翻折，恰好使点A落在BC边的中点F处，4AD DF∴==，2BF CF==，矩形ABCD中，90DCF∠=︒，30FDC∴∠=︒，60DFC∴∠=︒，O与CD相切于点G，OG CD∴⊥，BC CD⊥，//OG BC∴，DOG DFC∴∆∆∽，∴DO OG DF FC=，设OG OF x==，则442x x-=，解得：43x =，即O 的半径是43． 连接OQ ，作OH FQ ⊥， 60DFC ∠=︒，OF OQ =， OFQ ∴∆为等边三角形；同理OGQ ∆为等边三角形； 60GOQ FOQ ∴∠=∠=︒，32323OH OQ ==， 3232333QH ∴=⨯=， 23CQ ∴= 四边形OHCG 为矩形，233OH CG ∴==， 232311222339CGQ S S CQ CG ∆∴==⨯⨯=⨯⨯=阴影． 28．（2020•扬州）如图，在ABCD 中，60B ∠=︒，10AB =，8BC =，点E 为边AB 上的一个动点，连接ED 并延长至点F ，使得14DF DE =，以EC 、EF 为邻边构造EFGC ，连接EG ，则EG 的最小值为 ．【答案】93【详解】作CH AB ⊥于点H ，在ABCD 中，60B ∠=︒，8BC =，43CH ∴=，四边形ECGF 是平行四边形，//EF CG ∴，EOD GOC ∴∆∆∽，∴EO DO ED GO OC GC==，14DF DE =， ∴45DE EF =， ∴45ED GC =， ∴45EO GO =， ∴当EO 取得最小值时，EG 即可取得最小值，当EO CD ⊥时，EO 取得最小值，CH EO ∴=，43EO ∴=，53GO ∴=，EG ∴的最小值是9329．（2021•锡山区一模）如图，在平行四边形ABCD 中，60B ∠=︒，4BC =，点E 为边AB上的一个动点，连接ED 并延长至点F ，使得13DF DE =，以EC 、EF 为邻边构造平行四边形EFGC ，连接EG ，则EG 的最小值为 ．【答案】1433【详解】作CH AB ⊥于点H ，在ABCD 中，60B ∠=︒，4BC =，23CH ∴=，四边形ECGF 是平行四边形，//EF CG ∴，EOD GOC ∴∆∆∽， ∴EO DO ED GO CO GC ==， 13DF DE =， ∴34DE EF =， ∴34ED GC =， ∴34EO GO =， ∴当EO 取得最小值时，EG 即可取得最小值，当EO CD ⊥时，EO 取得最小值，CH EO ∴=，23EO ∴=，833GO ∴=， EG ∴的最小值是814233333+=30．（2021•龙岗区校级一模）如图，在矩形ABCD 中，5AC =，AE 平分DAC ∠交CD 于E ，CF 平分ACD ∠交AE 于点F ，且:1:2EF AF =，则CF = ．【答案】10【详解】作FG AC ⊥于点G ，作FM CD ⊥于点M ，作FN AD ⊥于点N ， CF 平分ACD ∠交AE 于点F ，且:1:2EF AF =，:1:2CE CA ∴=，5AC =， 52CE ∴=， AE 平分DAC ∠，CF 平分ACD ∠， FG FM FN ∴==， FM CD ⊥，AD CD ⊥，:1:2EF AF =， EMF EDA ∴∆∆∽，∴13MF EF DA EA ==， 设FM x =，则3AD x =，同理可得，ANF AED ∆∆∽，则32DE x =， 5322CD x ∴=+， 90D ∠=︒，3AD x =，5AC =， 22253()(3)522x x ∴++=， 解得11x =，253x =-（舍去）， 1FM ∴=，5311322CM =+⨯-=， 又90CMF ∠=︒，221310CF ∴=+=，故答案为：10．。