1.（2023.营口24题）在平行四边形ABCD中，∠ADB=90°,点E在CD 上，点G在AB上，点F在BD的延长线上，连接EF，DG, ∠FED=∠
ADG，AD
BD =DG EF
=k.
（1）如图1，当k=1时，请用等式表示线段AG与线段DF的数量关系________；
（2）如图2，当k=√(3)时，写出线段AD，DE和DF之间的数量关系,并说明理由；
（3）在（2）的条件下，当点G是AB的中点时，连接BE，求tan∠EBF的值
2.（202
3.本溪铁岭辽阳25题）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，点O为AB的中点，点D在直线AB上（不与点A，B重合），连接CD，线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，过点B作直线l⊥BC，过点E作EF⊥l，垂足为点F，直线EF交直线OC于点G.
（1）如图1，当点D与点O重合时，请直接写出线段AD与线段EF 的数量关系；
（2）如图2，当点D在线段AB上时，求证：CG+BD=√2BC；
（3）连接DE，△CDE的面积记为S1，△ABC的面积记为S2，当EF:BC=1:3时，请直接写出S1
S2
的值.
3.(2023.大连25题)综合与实践
问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片探究折叠的性质。

已知AB=AC，∠A>90°，点E为AC上一动点，将△ABE以BE为对称轴翻折，同学们经过思考后进行如下探究：独立思考：小明：“当点D落在BC上时，∠EDC=2∠ACB.”
小红：“若点E为AC中点，给出AC与DC的长，就可求出BE的长.”补足探究：奋进小组的同学们经过探究后提出问题1，请你回答：
问题1：在等腰△ABC中，AB=AC，∠A>90°，△BDE由△ABE翻折得到.
（1）如图1，当点D落在BC上时，求证：∠EDC=2∠ACB；
（2）如图2，若点E为AC中点，AC=4，CD=3，求BE的长.
问题解决：小明经过探究发现：若将问题1中的等腰三角形换成∠A<90°的等腰三角形，可以问题进一步拓展.
问题2：如图3，在等腰△ABC中，∠A<90°，AB=AC=BD=4，2∠D=∠ABD.若CD=1，则求BC的长.
4.(2023.牡丹江26题)平行四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，连接DE，将ED绕点E逆时针旋转90°，得到EF，连接BF.
（1）当点E在线段BC上，∠ABC=45°时，如图1，求证：AE+EC=BF；（2）当点E在线段BC延长线上，∠ABC=45°时，如图2，当点E在线段CB延长线上，∠ABC=135°时，如图3，请猜想并直接写出线段AE，EC,BF的数量关系；
（3）在（1）、（2）的条件下，若BE=3，DE=5，则CE=______.
5.（2023.贵州省25题）如图1，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，在等腰直角三角形ABC中，CA=CB,∠C=90°,过点B作射线BD⊥AB，垂足为B，点P在CB上.
（1）【动手操作】
如图2，若点P在线段CB上，画出射线PA，并将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD交于点E,根据题意在图中画出图形，图中∠PBE的度数为______度；
（2）【问题探究】
根据（1）所画图形，探究线段PA与PE的数量关系，并说明理由；
（3）【拓展延伸】
如图3，若点P在射线CB上移动，将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD将于点E，探究线段BA，BP，BE之间的数量关系，并说明理由.
6.(2023.沈阳24题)如图1.在平行四边形纸片中，AB=10，AD=6，∠DAB=60°，点E为BC边上的一点（点E不与点C重合），连接AE，将平行四边形ABCD纸片沿AE所在直线折叠，点C，D的对应点分别为C`，D`，射线C`E与射线AD将于点F.
（1）求证：AF=EF；
（2）如图2，当EF⊥AF时，DF的长为______;
（3）如图3，当CE=2时，过点F作FM⊥AE，垂足为点M，延长FM 交C`D`于点N，连接AN，EN，求△ANE的面积。

7.(2023.扬州市27题)【问题情境】
在综合实践活动课上，李老师让同桌两位同学用相同的两块含30°的三角板开展数学探究活动，两块三角板分别记作△ADB和△A`D`C，∠ADB=∠A`D`C`=90°，∠B=∠C=30°，设AB=2.
【操作探究】
如图1，先将△ADB和△A`D`C的边AD、A`D`重合，再将△A`D`C绕着点A按顺时针方向旋转，旋转角为α（0°≤α≤360°），旋转过程中△ADB保持不动，连接BC.
（1）当α=60°时，BC=______；当BC=2√2时，α=_____°；（2）当α=90°时，画出图形，并求两块三角板重叠部分图形的面积；（3）如图2，取BC的中点F，将△A`D`C绕着点A旋转一周，点F 的运动路径长为____.
8.(2023.安徽22题)在Rt△ABC中，M是斜边AB的中点，将线段MA 绕点M旋转至MD位置，点D在直线AB外，连接AD，BD.
（1）如图1，求△ADB的大小；
（2）已知点D和边AC上的点E满足ME△AD，DE△AB.
①如图2，连接CD，求证：BD=CD；
②如图3，连接BE，若AC=8，BC=6，求tan△ABE的值.
9.(2023.湖北黄冈市23题)【问题呈现】
△CAB和△CDE都是直角三角形，△ACB=△DCE=90°，BC=mCA，CE=mCD，连接AD，BE，探究AD，BE的位置关系.
（1）如图1，当m=1时，直接写出AD，BE的位置关系：________；（2）如图2，当m≠1时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由.
【拓展应用】
（3）当m=√3，AB=4√7，DE=4时，将△CDE绕点C旋转，使A, D，E 三点恰好在同一直线上，求BE的长.
10.(2023.锦州市24题)【问题情境】如图，在△ABC中，AB=AC，∠ACB=α，点D在边BC上.将线段DB绕点D顺时钱旋转得到线段DE （旋转角小于180°），连接BE，CE，以CE为底边在其上方作等腰三角形FEC，使∠FCE=α，连接AF.
【尝试探究】
（1）如图1，当α=60°时，易知AF=BE;
如图2，当α=45°时，则AF与BE的数量关系为______;
（2）如图3，写出AF与BE的数量关系（用含α的三角函数表示），并说明理由；
【拓展应用】
（3）如图4，当α=30°，且点B，E，F三点共线时，若BC=4√7，
BD=1
BC，请直接写出AF的长.
5
11.(2023.锦州市25题)正方形ABCD中，点E在边BC，CD上运动（不与正方形顶点重合），作射线AE，将射线AE绕点A逆时针旋转45°，交射线CD于点F。

（1）如图，点E在边BC上，BE=DF，则图中与线段AE相等的线段是______;
（2）过点E作EG⊥AF，垂足为G，连接DG，求∠GDC的度数；（3）在（2）的条件下，当点F在边CD延长线上且DF=DG时，求FG
的
AG 值。

12.(2023.北京27题)在△ABC中，∠B=∠C=α（0°<α<45°），AM ⊥BC于点M，D是线段MC上的动点（不与点M，C重合），将线段DM绕点D顺时针旋转2α得到线段DE.
（1）如图1.当点E在线段AC上时，求证：D是MC的中点；
（2）如图2，若在线段BM上存在点F（不与点B，M重合）满足DF=DC，
连接AE，EF，直接写出∠AEF的大小，并证明.
13.（2023.山东省东营市24题）（1）用数学的眼光观察.
如图，在四边形ABCD中，AD=BC，P是对角线BD的中点，M是AB 的中点，N是DC的中点，求证：∠PMN=∠PNM.
（2）用数学的思维思考.
如图，延长图中的线段AD交MN的延长线于点E，延长线段BC交MN的延长线于点F，求证：∠AEM=∠F.
（3）用数学的语言表达.
如图，在△ABC中，AC<AB，点D在AC上，AD=BC，M是AB的中点，N是DC的中点，连接MN并延长，与BC的延长线交于点G，连接GD，若∠ANM=60°，试判断△CGD的形状，并进行证明.
14.(2023.山东省日照市21题）在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆，请应用此结论，解决以下问题：
如图1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（60°<α<180°）.点D是BC
边上的一动点（点D不与B，C重合），将线段AD绕点A顺时针旋转α到线段AE，连接BE.
（1）求证：A，E，B，D四点共圆；
（2）如图2，当AD=CD时，圆O是四边形AEBD的外接圆，求证：AC是圆O的切线；
（3）已知α=120°，BC=6，点M是边BC的中点，此时圆P是四边形AEBD的外接圆，直接写出圆心P与点M距离的最小值.。