二项式展开定理一、 定理及基本概念1. *)()(110N n n C b a C b a C a C b a n n n r r n r n n n n n n ∈+++++=+--ΛΛ;2. 项数:一共项;3. 通项:;一定注意两点:1) 涉及“第几项”得时候,一定严格按照通项公式;2) 注意项数与系数得关系。
4. 二项式系数与各项系数之间得联系与区别。
二、 性质1. 二项式系数得对称性:;2. 二项式系数与:;3. 奇数项二项式系数与=偶数项二项式系数之与=;4. 二项式系数最大项:1) 当就是偶数时,此时项数就是奇数,中间项得二项式系数最大;2) 当就是奇数时,此时项数就是偶数,中间两项得二项式系数=最大。
5. 系数最大项:注意系数最大与二项式系数最大得区别。
基本题型解题思路及步骤一、 利用通项公式求某项系数1. 写出通项公式得时候注意:1) 所有得系数写在最前面,包括符号;2) 所有根式都写出分数次数形式;3)明白什么就是有理项;4)注意得取值范围。
2.只有一个式子:写出通项公式,根据系数关系,确定满足条件得项。
3.有两个式子相乘:1)分别用通项公式打开,组合后瞧满足条件得项;2)只打开一个,观察另一个得形式,判断满足条件得项;一定注意系数;3)有多个得,注意各自得取值范围与相互之间得关系。
二、赋值求系数与1.常用得赋值就是令,具体要通过所求得式子来判断赋值;2.所有系数之与:令;二项式系数之与:;3.所有系数绝对值之与:令;变换原来式子里得符号,边为相加;再令;4.求导与积分得形式。
三、对二项式定理得理解:组合项、整除1.二项式定理得理解:都表示一个整体;2.根据所求得问题,对前面得进行重新组合。
例题讲解一、求某项得系数1.求展开式中第几项为常数项,并求常数项得值。
解:直接用通项公式打开:;(注意系数都放一起)常数项即得次数为0,也即:;所以常数项为第4项;且常数项为:2.在二项式得展开式中,第四项得系数为56,求得系数。
解:第四项得系数为56:注意:项数与展开式中得取值得关系。
此时:。
=56,解得:;再利用通项公式:;要求得系数,所以:;故前得系数为:3.求二项式展开式中常数项得值。
解: ,所以;常数项得值为:。
(一定严格按步骤来,注意系数得符号)4.求二项式展开式中有理项得系数与。
解:什么就是有理项？,当时为有理项;用通项公式打开:;要满足有理项,即:且,所以:或当时,;当时,;故:有理项得系数与为。
5.求多项式展开后常数项。
解:因为这里有两个式子,可以用两个展开式,所取得得取值范围;展开:;展开:所以:展开后:()所以:,所以:或或;当时,;当时,;当时,;所以常数项为:。
6.求展开式中,得系数。
解:展开:;展开:;所以:展开:,其中:;所以:或或;故系数为:7.已知()得展开式中没有常数项,则得值为。
解: 展开:;由题意可知,展开式中没有常数项。
则,所以:,所以:。
8.求中,得系数。
9.求得展开式中,前得系数为？10.求得展开中得系数。
二、系数最值1.在得展开式中,二项式系数最大得项就是第几项。
解:展开式式中一共有:项。
所以中间项为:第项。
一定要时刻注意项数与次数得关系。
2.在得展开式中,只有第4项得二项式系数最大,则展开式中得常数项为？解:只有第4项二项式系数最大,所以一共有7项,所以:。
通项公式:,常数项,所以:。
3.已知,若展开式中第5,第6与第7项二项式系数为等差数列,求展开式中二项式系数最大项得系数就是多少？解:通项公式为:;二项式系数为等差数列,所以:,解得或;当时,二项式系数最大就是第4项与第5项,故:,;当,二项式系数最大就是第8项,故:。
注意题目得问题:就是二项式系数最大项得系数！4.求得展开式中系数最大得项？解:通项公式为:,各项系数得通项为:则:解得:;所以系数最大项为第6项;。
5.求得展开式中系数最小得项就是第几项？三、赋值1.若得展开式中偶数项系数与为,求得值。
解:令,得所有项得系数与;故。
注意“各项系数与”与“二项系数与”得联系与区别;注意“减号”与“加号”得联系与区别。
2.若得展开式中所有奇数项得系数与为,求它得中间项。
解:由题可知所有奇数项得系数与即为所有奇数项得二项式系数与为;所以:,所以中间项第6,7项;所以:,。
3.在得二项式展开中,记含得奇次幂得项之与为,当时,求？解:令,则;令得偶次幂得项之与为;令,则;则:。
题目如果改为:时,得值呢？还就是要注意:奇次幂与偶次幂,对于取相反数得时候得影响。
4. 若二项式中所有项得系数与为,所有项得系数得绝对值之与为,则得最小值为(B ) 解:所有项得系数与即令,所以;所有项绝对值得与就就是要把系数就是负得变成正得,令,所以:;所以:。
注意。
5. 若展开式中各项系数绝对值之与为,则展开式中得一次项系数为？解:由上一题可知,尝试令,发现不可行,原式没有意义;发现与展开式中各项系数得绝对值相等;故得绝对值之与等价于得各项系数与;所以:令,;展开得通项公式:;故得一次项系数为:。
上述两个例题就就是求各项系数绝对值之与得两个思想。
6. 得展开式中不含得项得系数与为？解:不含得项,可令;则题目等价于得各项系数与;令,则。
要消除,可以令。
7. 设多项式展开:141313114095)1()1()1()23()1(a x a x a x a x x +++++++=+-Λ,则( D)A. B 、 C 、 D 、解:观察右边得形式:可令,则;此时,离目标多了一个;再令,则;所以:。
8. 若,则得值为？解:观察所求得形式:令,则;再令,则;所以:。
9. 已知就是函数图象得一条对称轴,,则得为？解:由题意可知:;令,则;令,则;所以:。
10. 若,则得值。
解:发现要求得就是得奇数次幂得系数与;令,则;令,则;所以:。
11. 设,求得值。
解:))(()()(43210432102312420a a a a a a a a a a a a a a a +-+-++++=+-++;即:12. 若,则得值。
解:发现所求得式子分母中都有,所以:令,则:;令,则;所以:;又;所以:。
13. 已知,则( D)A. B 、 C 、 D 、解:发现求得形式,用常规得思想不好解,令不行;令也不行;再观察发现前面得系数,正好就是对应得得次数;所以两边都时求导,即:78217882210882)21(16)'(]')21[(x a x a a x x a x a x a a x +++=--⇒++++=-ΛΛ 此时,令,则:。
14. 若,则求得值。
解:由上一题得解法,发现每个要求得前得系数正好就是对应得次数加1; 联想到可求积分,即: ;220142014210201420141020152)(C x a x a x a x a x a a ++++=+++⎰ΛΛ; 则:;令,则;令,则;所以:。
四、组合、整除1.已知,则( )A.B、C、D、解:二项式展开中得仅仅就是字母得表示,可以代表一个整体; 观察右边得形式,可以发现应该就是中得一个;;所以。
也可根据次数,直接定位出得值。
2.已知,则得值。
解:由题意发现,得值与无关;且应该就是中得一个;所以:;所以。
3.将表示为,则=？解:由题意可知:应该就是中得一个;所以:;所以:。
4.展开式中得常数项为(C )A.B、C、D、解法一:由展开式得原理可知:要出现常数项,要么都就是常数,要么得次数与为0; 所以:。
解法二:把三项中得两项瞧成一个整体,再利用二项式展开定理进行展开; ,所以通项为:;又展开得通项为:所以:得展开式为:()所以常数项可能得情况为:或;故常数项为:;解法三:;故展开式得通项为:;所以常数项为;。
5. 得展开式中,项得系数为？解:由上题解法一思想:在9个括号中,分别去取项;则得系数为:。
6. 求得值。
(用含有得式子来表示)解:观察形势,发现与二项式展开得形式比较接近,但就是得次数不匹配; 所以)1666(61662210121-++++=+++-n n n n n n n n n n n C C C C C C C ΛΛ; 则可发现肯定就是中得一个;所以:;也即:。
7.证明:能被整除。
解:要证明能被64整数,希望原来得式子化简完后每个因式都能被64整除; 结合二项式展开定理得形式,希望中得一个为或得某个因子;;则;所以:;所以:;所以能被64整除。
课后练习1.求展开式中得系数。
2.求二项式得展开式中第几项为常数项,并求出常数项得值。
第四项,3.若得展开式中,第5项为常数项,求得值。
64.展开式中各项系数绝对值之与。
5.求展开式中得系数。
6.在展开式中,只有第6项得二项式系数最大,则展开式中常数项为？7.已知函数,,则展开式中常数项就是( C)A.第7项B、第8项C、第9项D、第10项8.若,则？109.已知,求？10.求。
11.求得展开式中得一次项系数。
12.求得常数项。
13.设二项式得展开式中各项系数与为,二项式系数与,若,则得值为？14.求证:。
15.求被除得余数。
16.求得展开式中得常数项为？17.求证:18.求证:。