二项式定理1．二项式定理：011()()n n n r n r r n nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈ ，2．基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做()na b +的二项展开式。

②二项式系数:展开式中各项的系数rnC (0,1,2,,)r n =⋅⋅⋅.③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项r n r rn C a b -叫做二项式展开式的通项。

用1r n r r r nT C a b -+=表示。

3．注意关键点：①项数：展开式中总共有(1)n +项。

②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。

()n a b +与()nb a +是不同的。

③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。

b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。

各项的次数和等于n .④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.rnn n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数）。

4．常用的结论： 令1,,ab x == 0122(1)()n r r n nn n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()nr r n n nn n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+-+++-∈5．性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0n n nC C =， (1)k k n n C C -= ②二项式系数和：令1ab ==,则二项式系数的和为0122r nn n n n n n C C C C C ++++++= ，变形式1221r nn nn n n C C C C +++++=- 。

③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和： 在二项式定理中，令1,1a b ==-，则0123(1)(11)0n n n n n n n n C C C C C -+-++-=-= ，从而得到：0242132111222r r nn nn n n n n n C C C C C C C +-++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=++++⋅⋅⋅=⨯= ④奇数项的系数和与偶数项的系数和：0011222012012001122202121001230123()()1, (1)1,(1)n n n n n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a x C a x C a x C a x C a x a a x a x a x x a C a x C ax C a x C a x a x a x a x a x a a a a a a x a a a a a a ----+=++++=+++++=++++=++++=++++=+---------=--+-++=----- 令则①令则024135(1)(1),()2(1)(1),()2n n n n nn a a a a a a a a a a a a ----++-++++=+---+++= ②①②得奇数项的系数和①②得偶数项的系数和⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n 是偶数时，则中间一项的二项式系数2n nC 取得最大值。

如果二项式的幂指数n 是奇数时，则中间两项的二项式系数12n n C-,12n nC+同时取得最大值。

⑥系数的最大项：求()na bx +展开式中最大的项，一般采用待定系数法。

设展开式中各项系数分别为121,,,n A A A +⋅⋅⋅，设第1r +项系数最大，应有112r rr r A A A A +++≥⎧⎨≥⎩，从而解出r 来。

6．二项式定理的十一种考题的解法： 题型一：二项式定理的逆用； 例：12321666 .n n nn n n C C C C -+⋅+⋅++⋅=解：012233(16)6666nnn n n n n n C C C C C +=+⋅+⋅+⋅++⋅ 与已知的有一些差距，123211221666(666)6nn nn n n n n n n n C C C C C C C -∴+⋅+⋅++⋅=⋅+⋅++⋅ 0122111(6661)[(16)1](71)666n n nn n n n n C C C C =+⋅+⋅++⋅-=+-=-练：1231393 .n n nn n n C C C C -++++= 解：设1231393n nnn n n nS C C C C -=++++ ，则122330122333333333331(13)1n n n nn n n n n n n n n n n S C C C C C C C C C =++++=+++++-=+- (13)14133n n n S +--∴==题型二：利用通项公式求nx 的系数；例：在二项式3241()nx x+的展开式中倒数第3项的系数为45，求含有3x 的项的系数？ 解：由条件知245n nC -=，即245n C =，2900n n ∴--=，解得9()10n n =-=舍去或，由2102110343411010()()r r r rrr r T C x x C x--+--+==，由题意1023,643r r r --+==解得， 则含有3x 的项是第7项6336110210T C x x +==,系数为210。

练：求291()2xx-展开式中9x 的系数？ 解：291821831999111()()()()222r rr r r r r r r r r T C x C x x C x x ----+=-=-=-，令1839r -=,则3r =故9x 的系数为339121()22C -=-。

题型三：利用通项公式求常数项； 例：求二项式2101()2xx+的展开式中的常数项？解：52021021101011()()()22r rrrrr r T C x C xx--+==，令52002r -=，得8r =，所以88910145()2256T C == 练：求二项式61(2)2x x-的展开式中的常数项？ 解：666216611(2)(1)()(1)2()22r r r r r r r r r r T C x C x x ---+=-=-，令620r -=，得3r =，所以3346(1)20T C =-=- 练：若21()n x x +的二项展开式中第5项为常数项，则____.n =解：4244421251()()n n n n T C x C x x--==，令2120n -=，得6n =. 题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项； 例：求二项式93()x x -展开式中的有理项？解：12719362199()()(1)r r rrrr r T C x x C x--+=-=-，令276rZ -∈,(09r ≤≤)得39r r ==或， 所以当3r=时，2746r -=，334449(1)84T C x x =-=-， 当9r =时，2736r -=，3933109(1)T C x x =-=-。

题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和； 例：若2321()n x x -展开式中偶数项系数和为256-，求n .解：设2321()n x x -展开式中各项系数依次设为01,,,n a a a ⋅⋅⋅1x=-令,则有010,n a a a ++⋅⋅⋅=①，1x =令,则有0123(1)2,n n n a a a a a -+-+⋅⋅⋅+-=②将①-②得：1352()2,n a a a +++⋅⋅⋅=-11352,n a a a -∴+++⋅⋅⋅=-有题意得，1822562n --=-=-，9n ∴=。

练：若35211()nx x+的展开式中，所有的奇数项的系数和为1024，求它的中间项。

解：0242132112r r n nn n n n n n C C C C C C C +-++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=++++⋅⋅⋅= ，121024n -∴=，解得11n =所以中间两个项分别为6,7n n ==，56543551211()()462nT C x x x-+==⋅，611561462T x -+=⋅题型六：最大系数，最大项； 例：已知1(2)2n x +，若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数是多少？ 解：46522,21980,nn n C C C n n +=∴-+= 解出714n n ==或，当7n =时，展开式中二项式系数最大的项是45T T 和34347135()2,22T C ∴==的系数，434571()270,2T C ==的系数当14n =时，展开式中二项式系数最大的项是8T ，7778141C ()234322T ∴==的系数。

练：在2()na b +的展开式中，二项式系数最大的项是多少？解：二项式的幂指数是偶数2n ，则中间一项的二项式系数最大，即2112nn T T ++=，也就是第1n +项。

练：在31()2nx x-的展开式中，只有第5项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少？ 解：只有第5项的二项式最大，则152n +=，即8n =,所以展开式中常数项为第七项等于6281()72C = 例：写出在7()a b -的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？解：因为二项式的幂指数7是奇数，所以中间两项(4,5第项)的二项式系数相等，且同时取得最大值，从而有34347T C a b=-的系数最小，43457T C a b =系数最大。

例：若展开式前三项的二项式系数和等于79，求1(2)2n x +的展开式中系数最大的项？ 解：由01279,n n n C C C ++=解出12n =,假设1r T +项最大，12121211(2)()(14)22x x +=+1111212111212124444r r r r r r r r r r r r A A C C A A C C --+++++⎧≥≥⎧⎪∴=⎨⎨≥≥⎪⎩⎩，化简得到9.410.4r ≤≤，又012r ≤≤ ，10r ∴=，展开式中系数最大的项为11T ,有121010101011121()4168962T C x x ==练：在10(12)x +的展开式中系数最大的项是多少？ 解：假设1r T +项最大，1102r r r r T C x +=⋅111010111121010222(11)12(10)22,r r r r r r r r r r r r C C A A r r A A r r C C --+++++⎧≥≥-≥⎧⎧⎪∴=⎨⎨⎨≥+≥-≥⎩⎪⎩⎩解得，化简得到6.37.3k ≤≤，又010r ≤≤ ，7r ∴=，展开式中系数最大的项为7777810215360.T C x x ==题型七：含有三项变两项； 例：求当25(32)x x ++的展开式中x 的一次项的系数？解法①：2525(32)[(2)3]xx x x ++=++，2515(2)(3)rr r r T C x x -+=+，当且仅当1r =时，1r T +的展开式中才有x 的一次项，此时124125(2)3r T T C x x +==+，所以x 得一次项为1445423C C x 它的系数为1445423240C C =。