行流无增广链，得到最大流。
标号过程: (1)给vs标号(,+∞)，vs成为已标号未检查的点，其余都是未标号点。 (2)取一个已标号未检查的点vi，对一切未标号点vj：若有非饱和边(vi,vj)，则vj标 号(vi,l(vj))，其中l(vj)＝min[l(vi),cij – fij]，vj成为已标号未检查的点；若有非零边 (vj,vi)，则vj标号(-vi,l(vj))，其中l(vj)＝min[l(vi), fji]，vj成为已标号未检查的点。vi成
可行流总是存在的，例如f={0}就是一个流量为0的可行流。 所谓最大流问题就是在容量网络中寻找流量最大的可行流。 一个流f={fij}，当fij=cij，则称f对边(vi, vj)是饱和的，否则称f对边(vi, vj)不饱和。对
于不饱和的，其间隙为δij=cij-fij 最大流问题实际上是一个线性规划问题。 但利用它与图的密切关系，可以利用图直观简便地求解。
最大流问题
Байду номын сангаас
基本概念
v2 3
4 v4 5
vs
1
1
3
vt
5
2
v1
2 v3
给定一个有向图G＝(V,E)，其中仅有一个点的入次为零称为发点（源），记为vs， 仅有一个点的出次为零称为收点（汇），记为vt，其余点称为中间点。
对于G中的每一条边(vi,vj)，相应地给一个数cij（cij≥0），称为边(vi,vj)的容 量。我们把这样的网络 G称为容量网络 ，记为G＝(V,E,C)。
v2 (4,3) (3,3)
vs (5,1)
(1,1) (1,1)
v1 (2,2)
v4 (5,3)
(3,0)
vt
(2,1)
v3
在图中给出的可行 流的基础上，求vs
到vt的最大流。
(-vv21,1)(4,3)
(3,3)
(v2,1)
v4 (5,3)
(,+∞)
vs
(5,1)
(1,1) (1,1)
(v3,1)
网络上的流，是指定义在边集E上的 函数f＝{f(vi,vj)}，并称f(vi,vj)为边
(vi,vj)上的流量，简记为fij。
v2 3,1
4,1 v4 5,2
vs
1,0
5,2 v1
1,0
3,1
vt
2,1
2,2 v3
标示方式：每条边上标示两个数字，第一个是容量，第二 是流量
可行流、可行流的流量、最大流。
可行流是指满足如下条件的流：
（1）容量限制条件：对G中每条边(vi,vj), 有
0 fij cij
（2）平衡条件：
对中间点，有：
fij fki
j
k
（即中间点vi的物资输入量等于输出量）
对收点vt与发f点sivs，有：f jt W
i
j
（即vs发出的物资总量等于vt接收的物资总量），W是网络的总流量。
为已标号已检查的点。 (3)重复步骤(2)，直到vt成为标号点或所有标号点都检查过。若vt成为标号点， 表明得到一条vs到vt的增广链，转入调整过程；若所有标号点都检查过，表明这
时的可行流就是最大流，算法结束。 调整过程：在增广链上，前向边流量增加l(vt)，后向边流量减少l(vt)。
下面用实例说明具体的操作方法：例
给定容量网络G＝(V,E,C)，若点集V被剖
分为两个非空集合V1和V2，使 vs∈V1 ，vt∈V2，
则把边集(V1,V2)称为（分离vs和vt的）割集。
v2 3
4 v4 5
vs
1
1
3
vt
5
2
v1
2 v3
显然，若把某一割集的边从网络中去掉，
则从vs到vt便不存在路。所以，直观上说，割 集是从vs到vt的必经之路。
v2 3
vs
1
5 v1
4 v4
5
1
3
vt
2
2 v3
在容量网络的所有割集中，割集容量最小的割集称为最小割集（最小割）。
对于可行流f＝{fij}，我们把网络中使fij＝cij的
边称为饱和边，使fij<cij的边称为非饱和边；把
使fij＝0的边称为零流边，使fij>0的边称为非零
流边。
若μ 是联结发点
vs
(4, 3) [, ∞] vs
(1, 0) (1, 0)
(5, 2)
v1
[vs, 3]
(2, 2)
[v2,v14 ]
(5, 5)
vs
[v5, 1]
(3,0)
vt
(2,1)
v1 (2,2)
v3
(vs,4)
(-v2,1)
(3,3) v2 (4,3)
(,+∞)
vs
(1,0) (1,0)
(5,2)
v1 (2,2)
(vs,3)
v4(5,3)
(3,0)
vt
(2,2)
v3
得增广链，标号结束， 进入调整过程
无增广链，标号结束，得 最大流。同时得最小割。
下图中已经标示出了一个可行流，求最大流
v2 3,1
1,0 5,2
4,1 1,0
v4 5,2
3,1
vs和收点vt的一条链，
我们规定链的方向是
2,1 vt 从vs到vt，则链上的
v1
2,2 v3
边被分成两类：前向
边、后向边。
设f是一个可行流，μ是从vs到vt的一条链，若μ 满足前向边都是非饱和边,后向边都是都是非零
流边,则称μ是（可行流f的）一条可增广链。
[vv2 s, 4] (4, 0)
(4, 0) [, ∞] vs
(1, 0) (1, 0)
[v2,
4]
v4
(3, 2)
(5, 2)
vs
[v4, 3]
(2, 0)
(5, 2)
v5
v1
[vs, 3]
(2, 2)
(4, 0)
v3
[-v4, 2]
如图已经得到增广链，然后进行调整。
调整后的可行流如下图：
[vv2s, 1] (4, 3)
对最大流问题有下列定理：
定理1 容量网络中任一可行流的流量 不超过其任一割集的容量。
定理2（最大流-最小割定理）任一容 量网络中，最大流的流量等于最小割集
的割量。
推论1 可行流f*＝{fij*}是最大流，当且 仅当G中不存在关于f*的增广链。
求最大流的标号法
标号法思想是：先找一个可行流。 对于一个可行流，经过标号过程得到 从发点vs到收点vt的增广链；经过调整 过程沿增广链增加可行流的流量，得 新的可行流。重复这一过程，直到可
v1
v2
vs
v3
vt
v4
边集（vs,v1），（v1,v3），（v2,v3），（v3,vt），（v4,vt）是G的割集。其顶点 分别属于两个互补不相交的点集。去掉这五条边，则图不连通，去掉这五条边中的任
意1-4条，图仍然连通。
割集的容量(简称割量) 最小割集
割集(V1, V2)中所有起点在V1，终点在V2的边的容量的和称为割集容量。例如下 图中所示割集的容量为5