一 爱因斯坦求和约定1.1指标变量的集合：n n y y y x x x ,...,,,...,,2121表示为：n j y n i x j i ...,3,2,1,,...,3,2,1,==写在字符右下角的 指标，例如xi 中的i 称为下标。

写在字符右上角的指标，例如yj 中的j 称为上标；使用上标或下标的涵义是不同的。

用作下标或上标的拉丁字母或希腊字母，除非作了说明，一般取从1到n 的所有整数，其中n 称为指标的范围。

1.2求和约定若在一项中，同一个指标字母在上标和下标中重复出现，则表示要对这个指标遍历其范围1，2，3，…n 求和。

这是一个约定，称为求和约定。

例如：333323213123232221211313212111bx A x A x A b x A x A x A bx A x A x A =++=++=++筒写为：ijijbx A =ｊ——哑指标ｉ——自由指标，在每一项中只出现一次，一个公式中必须相同遍历指标的范围求和的重复指标称为“哑标”或“伪标”。

不求和的指标称为自由指标。

1.3 Kronecker-δ符号（克罗内克符号）和置换符号Kronecker-δ符号定义j i ji ij ji ≠=⎩⎨⎧==当当01δδ置换符号ijkijk e e =定义为:⎪⎩⎪⎨⎧-==的任意二个指标任意k j,i,当021)(213,132,3的奇置换3，2，1是k j,i,当112)(123,231,3的偶置换3，2，1是k j,i,当1ijk ijke ei,j,k 的这些排列分别叫做循环排列、逆循环排列和非循环排列。

置换符号主要可用来展开三阶行列式：231231331221233211231231133221332211333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++==因此有：ijmjimii i i jijAA aa a a a ==++=δδδδδ332211kijjkiijkkjiikjjikijkee e e e e e ==-=-=-=同时有：ijjijij iiiijijijkj ikilkljkijjjiiijijijkjikiie e aa aa a a a aa δδδδδδδδδδδδδδδδδδδ=⋅=++=========++=332211332211331001010100131211232221333231321333222111321321321-=====δδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδe e k j i k j i k j i k k k j j j i i i ijk333222111321321321r q p r q p r q p k k k j j j i i i pqr ijke e δδδδδδδδδδδδδδδδδδ⋅=ipp i p i p i p i δδδδδδδδδ==++11332211krkqkpjrjqjpiriqippqrijke e δδδδδδδδδ=jqirjriqjrjqiriqkqrijke e kp δδδδδδδδ-===321321322311332112312213322113312312332211333231232221131211k j i ijkkjiijkaa a e a a a e aa a a a a a a a a a a a a a a a a aaaa a aaa a A ==---++==Kronecker-δ和置换符号符号的关系为：itjsjtiskstkije e δδδδ-=二 张量代数2.1张量的加法(减法)两个同阶、同变异(结构) 的张量可以相加(或相减)。

张量相加(或相减)是相加(或相减)其同名的分量。

设i jk i jk B A ,是张量，则i jki jki jki jk i jk i jk BA CB A A +=+=ˆ也是张量。

可以证明，张量相加(减)的结果是一个同阶同变异张量。

()()()()()()()()()[]()x C yx y x x y x A x A yx y x x y y B y A y Cy x y x x y x B y B y x y x x y x A y Al mn k n j m l i lmnl mn kn j m l i i jki jki jkknj m l i l mni jk k n j m l i l mni jk∂∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂∂=+=∂∂∂∂∂∂=∂∂∂∂∂∂=ˆˆˆˆˆ2.2对称张量、斜对称张量1）对称张量若张量满足如下的关系式：ji ij A A =这样的张量称为二阶对称张量。

例如，基本度量张量和相伴度量张量 都是对称张量。

2）斜对称张量若张量满足以下关系式：ji ij A A -=则称为二阶斜对称张量。

斜对称张量也称为反对称张量。

3）二阶张量的分解任何一个一般二阶张量 都可以分解成一个对称张量和一个反对称张量之和，即：()()()jiij ji ij jiji ij ijij B C C C C B A C C A B A C ji ij ij ij -=--=-==+=+=2121214）高阶张量的对称和反对称高阶张量可以是关于一对下标(或上标)对称或反对称。

例如置换张量，它关于任一对下标是反对称的：kji ijk ikj ijk jik ijk ∈-=∈∈-=∈∈-=∈,,2.3张量的乘法两个张量的外积是将它们的分量相乘。

这样的运算产生一个新张量，其阶数是相乘两张量的阶数之和。

设 ij A 、k B 是张量，则外积()()jn im mn ij kij kij yx y x x A y A B A C ∂∂∂∂==ˆ ()()()()x B x A yx y x x y y B y A l mn j n i m l k kij ∂∂∂∂∂∂=ˆˆ ()()x C y x y x x y y C k ij jn i m l k k ij ∂∂∂∂∂∂=ˆ 张量乘法的性质：张量的乘法是不可交换的。

由几个张量连乘的乘积，则乘积张量中指标排列的次序由连乘张量的排列次序确定。

k ij kij B A C =ij k ij k A B C =张量k ij C 与张量ij k C 不相等。

若 ij A 是对称张量，ij B 是斜对称张量，可以很容易证明，它们的乘积等于0，即:0=ij ij B A由于置换张量是关于任一对指标的反对称张 量，因此它与任何一个二阶对称张量的乘积等于0。

2.4张量的缩并、内积在混合张量中，使一个上标和一个下标相等，然后按求和约定求和，这样的运算，称为缩并。

每一缩并，得到一个新张量，比原张量降两阶。

设i jkl A 是一个四阶混合张量。

作缩并运算，则:jk jik i B A =()()x A y x y x y x x y y A qrs p l s k r j q p i jkl i∂∂∂∂∂∂∂∂=ˆ 若令指标i 与k 相等，可得：()()()x A y x y x x A y x y x y x x y y A qrs p l s j q r p qrs p l s i r j q p i jil i∂∂∂∂=∂∂∂∂∂∂∂∂=δˆ 缩并运算可以应用于任意阶混合张量。

还可将乘法和缩并结合起来形成新张量，这种运算称为两张量的内乘法，得到的张量称为该两张量的内积。

如：ij i ij i B A C =三 张量的扩展3.1基矢量的偏导数与克里斯托弗(Christoffel)符号求一个矢量的导数，必须对它的各个分量与基矢量乘积之和求导：()()k k ji i j i ii i j k i k j ji i jj i i i j i ji i j x x z x z xv v v v v v xi i g g g g g g g V2,,,,,,,∂∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=+==+==∂∂可以看出基矢量i g 对于坐标jx 的偏导数也是矢量，它也可以分成沿对偶基矢量或基矢量方向的分量：kk ij k ijk j i g g g ,Γ=Γ=式中:ijkΓ是沿 kg 方向的分量；称为第一种克里斯托弗符号；ij k Γ是沿kg 方向的分量; 称为第二种克里斯托弗符号。

ijk l k ijl k l ijl k j i ΓΓg g Γg g ,==⋅=⋅δkijk l l ij l ij j i k l k ΓΓg g Γg g ,==⋅=⋅δ 3.2 Hamilton 算子记由于可知算子服从向量的定义。

设为三维区域中的标量场，关于的左右梯度为，其中，下标中的逗号表示对其后坐标的微商，。

从上述两式可以看出标量的左右梯度相等。

设为三维区域中的向量场，关于的左右散度为，从上面两式可以看出向量的左右散度相等。

关于向量场的左右旋度为，对于的左右旋度，有关系式。

标量场的Laplace算子为，向量场的Gauss公式为其中为区域的边界曲面，，为上的单位外法向量。

向量场的Stokes公式为这里为任意曲面，为的边界曲线，在边界上积分的环向与的外法向依右手定向规则：指向观察者，从观察者来看，曲线沿反时针为正。

第二部分张量的简单运用张量分析在许多领域有着广泛的应用，现在所学的弹塑性力学就有简单的运用介绍，而且张量分析在岩石流变中的应用也非常有意义。

岩石流变本构方程在小变形情况下有：如上所述，岩石流变在引进了张量分析后，其表达变得很简便，便于计算和学习。

第三部分张量分析的展望首先，感谢张志镇老师的教导，让我深刻学习了张量分析。

张量分析在开始阶段，学习困难，入门不易，但是我相信我以后可以通过继续学习打到预期的学习目标。

张量分析在实际运用中可以减少计算，并且可以大大减少表达方式，从而使表达更为清楚，张量分析的学习为我们以后科研工作中的理论分析打下了坚实的基础，我相信以后通过张量分析可以更好的写好自己的论文。