第2章 解析函数2.1 解析函数的概念及C-R 条件复数作为复数域的向量，是一维向量，或复数是复数域上的一维线性空间.2-1 ()f z 在000i z x y =+点可导的充分必要条件是（ ）. （A ）在00(,)x y 点,u v 可导，且满足C-R 条件，即,u v u v x y y x∂∂∂∂==-∂∂∂∂在00(,)x y 成立 （B ）()f z 在00(,)x y 点的一个邻域内可导 （C ）在00(,)x y 点,u v 可微，且满足C-R 条件（D ）在00(,)x y 点,u v 具有连续的偏导数，且满足C-R 条件解 由上题的推导过程知，若()f z 在0z 点可导，则,u v 在00(,)x y 可微，且,.u vu v a b x yy x∂∂∂∂==-==∂∂∂∂ 在00(,)x y 点成立.反之，若,u v 在00(,)x y 可微，且满足C-R 条件，则()i f z u vz z∆∆+∆=∆∆ i()(||)(i )i(i )(||)(i )(||)x y x y x x x x x u x u y v x v y o z z zu x y v x v y o z z zu v z o z z z ∆+∆+∆+∆∆=+∆∆∆+∆+∆+∆∆=+∆∆+∆∆=+∆∆故 0()lim x x z f z u iv z∆→∆=+∆ 选（C ）.2-2 若22222,0(,),(,),()i 0,0xy x y x y u x y v x y xy f z u v x y 2⎧+≠⎪+===+⎨⎪+=⎩，则函数()f z （ ）.（A ）仅在原点可导 （B ）处处不可导 （C ）除原点外处处可导 （D ）处处可微解 (,)u x y 在原点虽有0y v x y∂∂==∂∂但不可微；而除原点外,u v 可微但不满足C-R 条件，因此，()f z 处处不可导. 选（B ）.()f z z =如此简单一个函数却处处连续但不可导！2-3 若22()()i(32)f z x y ax by cxy x y =-+++++处处解析，则(,,)a b c =（ ）.（A ）(3,2,2) （B ）(2,3,2)-- （C ）（(2,3,2)- （D ）(2,3,2)-解 由C-R 条件及2,2,3, 2.u u v vx a y b cy cx x y x y∂∂∂∂=+=-+=+=+∂∂∂∂故2,2, 3.c a b ===- 2-3 若22()i f z xy x y =+则()f z （ ）.（A ）令在直线y x =上可导 （B ）仅在直线y x =-上可导（C ）仅在（0，0）点解析 （D ）仅在（0，0）点可导解 22,2,2,x y x y u y u xy v xy v x ====，要满足C-R 条件，要求22y x =及22xy xy =-，只有（0，0）点能满足此条件. 选（D ）.要记住在极坐标下的C-R 条件.i i ~e e z ri r θθθ∆∆+∆中“~”表示等价（无穷小）的意思(0).z ∆→这里由于是极坐标故(,)(,);u u r r u r θθθ∆=+∆+∆-(,)(,)v v r r v r θθθ∆=+∆+∆-而i()i ()e e z r r r θθθ+∆∆=+∆-当i 0,e z r θθ∆=∆=∆令i 0,e (sin 1isin )r z r θθ∆=∆=∆-+∆i ~e i (0)r θθθ∆∆→“～”是等价无穷小的等价符号.2-4 导出在极坐标下的C-R 条件.解 即i e ,(,(,),()(,)i (,),()z r u u r v v r f z u r v r f z θθθθθ==),==+在(,)r θ处可导的C-R 条件，分两种解法.1.用坐标变换法22,u u x u y u u y u x x r r r y r r r θθ∂∂∂-∂∂∂=⋅+⋅=⋅+⋅∂∂∂∂∂∂ ,u vx y∂∂∂∂的变化与之一样，故由C-R 条件 得 22u x y u v y x vr r r r r r θθ∂∂∂∂-=+∂∂∂∂ 及 22u y x u v x y vr r r r r r θθ∂∂∂∂+=-+∂∂∂∂ (2)(1)(2)(1)vu r x y r u vy x r r θθ∂∂⎧=-⎪⨯-⨯⎪∂∂⎨∂∂⨯+⨯⎪=⎪∂∂⎩得 这便是在极坐标下C-R 条件.2.直接用定义()()(,)(,)i f z z f z u r r u r v θθθ+∆-=+∆+∆-+∆ i u v =∆+∆ 而 i()i ()e e z r r r θθθ+∆∆=+∆-∆i i i()e (e1)r re θθθθ∆+∆-+∆当 0,0r θ∆→∆→时，i i ~i e e z r r θθθ∆∆+∆ 故 0i ()limz u vf z z∆→∆+∆'=∆存在，令0θ∆=有i 0(0)(,)(,)()lim e z u r r u r f z r θθθθ∆→∆=+∆-'=∆i 0(0)(,)(,)i lim e r v r r u r r θθθθ∆→∆=+∆-+∆=i 1(i )e u vr r θ∂∂+∂∂ 令0,0r θ∆=∆→亦有0(0)(,)(,)()lime x u r u rf z ri θθθθθθ∆→∆=+∆-'=∆i 0(0)(,)(,)lim e r v r v r r θθθθθθ∆→∆=+∆-+∆i 111()e v u i r r θθθ∂∂=-∂∂ 比较上面等式得 11u ur r v u rr θθ∂∂⎧=⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪=-⎪∂∂⎩与解1所得结果一致.2-5 研究下列函数的可导性与解析性 （1）2()i f z x y =- （2）33()23i f z x y =+ （3）()e cos ie sin xxf z y y =- （4）()sin ch cos sh f z x y i x y =+ 解 （1）2,0;0, 1.u u v v x x y x x ∂∂∂∂====-∂∂∂∂仅当12x =-时C-R 条件成立，故此函数在直线12x =-上处处可导.而在复平面上处处不解析. （2）226,0;0,9u u v v x y x y x x∂∂∂∂====∂∂∂∂，因此，()f z 仅在两相交直线2223x y =上处处可导，在全平面处处不解析.（3）e cos ,e sin ;e sin ,e cos .x x x x u u v v y y y y x y x y∂∂∂∂==-==∂∂∂∂C-R 条件处处成立，且,u v 偏导数处处连续，因而处处可微，即()f z 处处解析.（4）cos ch ,sin sh ;sin sh ,cos ch .u u v v x y x y x y x y x y x y∂∂∂∂===-=∂∂∂∂ ,u v 的偏导数处处连续，且C-R 条件成立，故()f z 处处解析.2-6 若u iv +是区域D 内的解析函数，那么，v iu +在D 内是否也是解析函数？ 解 只有当()i f z u v =+在D 内为常数时，v iu +才在D 内解析，否则v iu +不解析.由C-R 条件，,u v u v x y y x ∂∂∂∂==-∂∂∂∂，若i v u +也解析，则有,.v u v u x y y x∂∂∂∂==-∂∂∂∂于是,v v v v x x y y ∂∂∂∂=-=-∂∂∂∂，故0,v v v x yβ∂∂==≡∂∂为常数，从而u α=也是常数. 结论，若i u v +是D 内不为常数值的解析函数，则i v u +在D 内不解析.2-7 如果()f z u iv =+是解析函数，证明222(|()|)(|()|)|()|.f z f z f z x y∂∂'+=∂∂证|()|f z =|()||()|uu vv f z f z x y +∂∂==∂∂ 由C-R条件得|()|f z y ∂=∂故 2222222222()()(|()|)(|()|)x x u v u u v v f x f z x y u v +++∂∂+=∂∂+222|()|.x x u v f z '=+= 2-8 如果()i f z u v =+是解析函数，证明222222()|()|4|()|f z f z x y∂∂'+=∂∂ 证 222|()|f z u v =+故2|()|2()x x f z uu vv x∂=+∂ 22222|()|2()x x xx xx f z u v uu vv x ∂=+++∂ （1） 同样 22222|()|2()y y yy yy f z u v uu vv x∂=+++∂ （2） 由C-R 条件，知()i .x y y y f z u iv v u '=+=-22222|()|x y y yf z u v u v '=+=+ 及 0xx yy xx yy u u v v +=+= 将（1）、（2）两式相加得222222()|()|4|()|.f z f z x y∂∂'+=∂∂2-9 如果()f z 与()f z 均在D 内解析，证明()f z 是常数. 证 设()f z u iv =+，则().f z u iv =-由C-R 条件,.u v v u v v x y y y x x∂∂∂∂∂∂==-=-=∂∂∂∂∂∂得0,v v x y ∂∂==∂∂从而0,u uu x yα∂∂===∂∂是实常数，v β=是实常数，()i f z αβ=+是常数.2-10 设()f z 在z 点可导(0)z ≠，证明 ()(i )r u vf z z r r∂∂'=+∂∂，其中e i z r θ= 证 在极坐标下i i 1111()(i )(i )e e r u v v uf z r r r θθθθ∂∂∂∂'=+=-∂∂∂∂（后面的式子是顺便写出来的）故()(i )r u vf z z r r ∂∂'=+∂∂也可写作 1()(i ).v uf z z θθ∂∂'=-∂∂2.2 初等函数及其解析性复变量的指数函数具有周期性.2-11 若12e e zz=，则（ ）.（A ）12z z = （B ）122(z z k k π=+为任意整数） （C ）12i z z k π=+ （D ）122i z z k π=- 解 由于e z 的周期为2i π，故有122πi z z m -=（取,m k k =-为任意整数）得 122πi.z z k =-要注意Ln z 与ln z 的联系与区别.2-12 关于复数的对数函数，下面公式正确的是（ ）.（A ）1212Ln()Ln Ln z z z z =+ （B ）1212ln()ln ln z z z z =+（C ）2Ln 2Ln z z = （D ）2ln 2ln z z = 解 由定义121212Ln()Ln ||iArg()z z z z z z =+1122Ln ||iArg Ln ||iArg z z z z =+++12Ln Ln .z z =+（B ）不正确在于121212Ln()Ln ||iArg()z z z z z z =+而当12arg arg π,z z +>或12arg arg πz z +≤-时， 1212arg()arg arg z z z z ≠+，故（B ）不成立.2-13 Ln(1)-和它的主值分别是（ ）.（A ）1Ln(1)()πi,(2k k -=+为整数）主值ln(1)0-=（B ）Ln(1)(21)πi,k -=-主值ln(1)πi -= （C ）Ln(1)(21)πi,k -=-主值ln(1)πi -=-（D ）Ln(1)ln1iA rg(1)-=+-，主值ln(1)πi -=解 Ln(1)ln1iArg(1)i(21)π.m -=+-=+，取1(m k m =-为整数，k 也是整数）得 Ln(1)i(21)π,ln(1)πi.k -=--= 选（B ）.注意复变量的三角函数与实变量三角函数的联系与差别.2-14 设k 为整数，则方程sin 0z =的根是（ ）.（A ）πi z k = （B ）2πz k = （C ）πz k = （D ）2πz k =解 即i i e e 02iz z--=，即2i e 1.z =设2i 2i ,e e (cos 2isin 2)1z y z x y x x -=+=+=，故0,cos 21,π.y x x k === 选（C ）2-15 证明对数函数的下列性质.（1）1212Ln()Ln Ln z z z z =+ （2）1122Ln Ln Ln z z z z =- 并说明以上性质对于函数ln z 未必成立.证 （1）121212Ln()Ln ||Arg()z z z z i z z =+ 1122Ln ||iArg Ln ||iArg z z z z =+++ 12Ln Ln z z =+ （2）可用（1）的结果：1112222Ln Ln()Ln Ln .z zz z z z z =⋅=+ 故 1122Ln=Ln Ln .z z z z - 以上等式成立的意思是说12Arg()z z 与12Arg +Arg z z 是相同的集合.而对于主值：121212ln()ln ||i arg(),z z z z z z =+111ln ln ||i arg z z z =+ 222ln ln ||i arg .z z z =+不一定总有1212arg arg arg().z z z z += 如121i,i,z z =--=-则121i z z =-+121233arg()π,arg ,arg()424z z z z ππ=-=-= 12125arg arg πarg().4z z z z +=-≠故 12ln ln z z +一般不一定与12ln z z 相等，但当12arg arg z z ππ<+≤时，公式成立，如 ππln(1)ln(i i)i()i π22-=⋅=+=不成立.z z ln 2ln 2≠这是复函数与实函数不同之处，值得注意。