分析：零存整取储蓄业务规定每次存入的钱不计复利， 分析：零存整取储蓄业务规定每次存入的钱不计复利，即 按单利计息：利息=本金×利率× 按单利计息：利息=本金×利率×存期 解：（1）根据题意,第1个月存入的x元,到期利息为x•r•n 根据题意, 个月存入的x 到期利息为x 元; 第2个月存入的x元,到期利息为x•r•（n-1）元…… 个月存入的x 到期利息为x 第n个月存入的x元,到期利息为xr元. 个月存入的x 到期利息为xr元 xr 不难看出,这是一个等差数列求和的问题. 不难看出,这是一个等差数列求和的问题.各月利息之和为
(2)根据上式， (2)根据上式，5年后本利和为 根据上式 =1× a5=1×(1+0.027 9)5 ≈1.148(万元). ≈1.148(万元). 万元 答：5年后得本利和约为1.148万元. 年后得本利和约为1.148万元. 1.148万元
分期付款的有关规定 1.分期付款分若干次付款,每次付款额相同, 1.分期付款分若干次付款,每次付款额相同,各次付款的 分期付款分若干次付款 时间间隔相同. 时间间隔相同. 2.分期付款中双方的每月( 2.分期付款中双方的每月(年)利息均按复利计算,即上月 分期付款中双方的每月 利息均按复利计算, (年)的利息要计入本金. 的利息要计入本金. 3.各期所付的款额连同到最后一次付款时所产生的利息 3.各期所付的款额连同到最后一次付款时所产生的利息 和,等于商品售价及从购买到最后一次付款的利息和,这 等于商品售价及从购买到最后一次付款的利息和, 在市场经济中是相对公平的. 在市场经济中是相对公平的.
把上期末的本利和作为下一期的本金, 复利 把上期末的本利和作为下一期的本金,在计算时每 一期本金的数额是不同的. 一期本金的数额是不同的.复利的计算公式是 S=P(1+r)n .
例1.零存整取模型 银行有一种叫作零存整取的储蓄业务,即每 1.零存整取模型 银行有一种叫作零存整取的储蓄业务, 月定时存入一笔相同数目的现金,这是零存;到约定日期, 月定时存入一笔相同数目的现金,这是零存;到约定日期,可以 取出全部本利和,这是整取.规定每次存入的钱不计复利( 取出全部本利和,这是整取.规定每次存入的钱不计复利(暂不 考虑利息税). 考虑利息税). (1)若每月存入金额为x元,月利率r保持不变,存期为n个月,试推 (1)若每月存入金额为x 若每月存入金额为 月利率r保持不变,存期为n个月, 导出到期整取时本利和的公式； 导出到期整取时本利和的公式； (2)若每月初存入500元 月利率为0.3%,到第36个月末整取时的 (2)若每月初存入500元,月利率为0.3%,到第36个月末整取时的 若每月初存入500 0.3%,到第36 本利和是多少? 本利和是多少? (3)若每月初存入一定金额,月利率是0.3%,希望到第12个月末 (3)若每月初存入一定金额,月利率是0.3%,希望到第12个月末 若每月初存入一定金额 0.3%,希望到第12 整取时取得本利和2 000元 那么每月初应存入的金额是多少? 整取时取得本利和2 000元.那么每月初应存入的金额是多少?
解:设小华每期还款 本利和为
x (1 + 0.008 )
10
元.
购买4个月后第2次付款 购买4个月后第2 本利和为 x …
(1 + 0.008)
元到8 x 元,此 x元到8个月后
8
元.
购买12个月后第6次付款 x 元,此 x 元当月的 购买12个月后第6 12个月后第 本利和为 x
(1 + 0.008 )
例3.分期付款模型 小华准备购买一台售价为5 000元的 3.分期付款模型 小华准备购买一台售价为5 000元的 电脑,采用分期付款方式,并在一年内将款全部付清. 电脑,采用分期付款方式,并在一年内将款全部付清.商场 提出的付款方式为:购买后2个月第1次付款,再过2个月第2 提出的付款方式为:购买后2个月第1次付款,再过2个月第2 次付款……购买后12个月第6次付款,每次付款金额相同, ……购买后12个月第 次付款……购买后12个月第6次付款,每次付款金额相同, 约定月利率为0.8%,每月利息按复利计算. 0.8%,每月利息按复利计算 约定月利率为0.8%,每月利息按复利计算.求小华每期付的 金额是多少? 金额是多少? 分析1:考虑小华每次还款后,还欠商场的金额. 分析1:考虑小华每次还款后,还欠商场的金额. 1:考虑小华每次还款后 解：设小华每期还款x元,第k个月末还款后的本利欠款 设小华每期还款x 数为A 数为Ak元,则
6
L
A12 = A10 (1 + 0.008 ) − x
2
= 5 000 × (1 + 0.008 ) − 1.00810 x − 1.0088 x
12
−1.0086 x − 1.0084 x − 1.0082 x − x;
由题意年底还清, 由题意年底还清,所以 A12 = 0. 解得: 解得:
5 000 ×1.00812 x= 1 + 1.0082 + 1.0084 + L + 1.00810 ≈ 880.8(元)
答：每月应存入163.48元. 每月应存入163.48元 163.48
例2.定期自动转存模型 2.定期自动转存模型
银行有另一种储蓄业务为定期存
款自动转存.例如,储户某日存入一笔1年期定期存款,1年后, 款自动转存.例如,储户某日存入一笔1年期定期存款,1年后, ,1年后 如果储户不取出本利和.则银行自动办理转存业务, 如果储户不取出本利和.则银行自动办理转存业务,第2年的 本金就是第1年的本利和. 本金就是第1年的本利和.按照定期存款自动转存的储蓄业 务(暂不考虑利息税),我们来讨论以下问题: 暂不考虑利息税),我们来讨论以下问题: ),我们来讨论以下问题 (1)如果储户存入定期为1年的P元存款,定期年利率为r, (1)如果储户存入定期为1年的P元存款,定期年利率为r, 如果储户存入定期为 连存n年后,再取出本利和.试求出储户n 连存n年后,再取出本利和.试求出储户n年后所得本利和 的公式; 的公式; (2)如果存入1万元定期存款,存期为1 (2)如果存入1万元定期存款,存期为1年,年利率为2.79%, 如果存入 年利率为2.79%, 那么5年后共得本利和多少万元(精确到0.001)? 那么5年后共得本利和多少万元(精确到0.001)?
单利
单利的计算是仅在原有本金上计算利息, 单利的计算是仅在原有本金上计算利息,对本金
所产生的利息不再计算利息. 所产生的利息不再计算利息.其公式为 利息=本金×利率× 利息=本金×利率×存期 以符号P代表本金,n代表存期,r代表利率,S代表 以符号P代表本金,n代表存期,r代表利率,S代表 ,n代表存期,r代表利率,S 本金与利息和(以下简称本利和),则有 本金与利息和(以下简称本利和),则有 本利和), S=P(1+nr).
答:小华每期付款的金额为880.8元. 小华每期付款的金额为880.8元 880.8
分析2:小华在12月中共付款6 分析2:小华在12月中共付款6次,它们在12个月后的本 2:小华在12月中共付款 它们在12个月后的本 12 利和的累加与一年后付款总额相等. 利和的累加与一年后付款总额相等.
x 元,则 购买2个月后第1 元到10 10个月后 购买2个月后第1次付款 x元,此 x元到10个月后
0
元.
又小华一年后应还给商场的总金额增值为: 又小华一年后应还给商场的总金额增值为:
5 000 × (1 + 0.008 ) 元
12
∴ x (1 + 1.0082 + 1.0084 + L + 1.00810 ) = 5 000 ×1.00812
5 000 × (1.008 ) x= 1 + 1.0082 + 1.0084 + L + 1.00810 ≈ 880.8(元)
§4
数列在日常经济生活中的应用
1.了解银行存款的种类及存款计息方式； 1.了解银行存款的种类及存款计息方式； 了解银行存款的种类及存款计息方式 2.体会“零存整取”、“定期自动转存”等日常经济 2.体会“零存整取” 体会 定期自动转存” 生活中的实际问题； 生活中的实际问题； 3.了解“教育储蓄” 3.了解“教育储蓄”. 了解
12
答：小华每期付款的金额为880.8元. 小华每期付款的金额为880.8元 880.8
“教育储蓄”,是一种零存整取的定期储蓄存款方式,是国家 教育储蓄” 是一种零存整取的定期储蓄存款方式, 为了鼓励城乡居民以储蓄存款方式, 为了鼓励城乡居民以储蓄存款方式,为子女接受非义务教育 积蓄资金,从而促进教育事业发展而开办的. 积蓄资金,从而促进教育事业发展而开办的.某同学依教育储 蓄方式从2004 11月 日开始,每月按时存入250 2004年 250元 连续存6 蓄方式从2004年11月1日开始,每月按时存入250元,连续存6 月利率为0 到期一次可支取本利共多少元? 年,月利率为0.3﹪.到期一次可支取本利共多少元? 解：由例3到期一次可支取本利和公式可知 由例3
n(n + 1)r x(元), 而本金为nx nx元 而本金为nx元,这样就得到本利和公式 y = nx + 2 n(n + 1)r 即y = x[n + ](元)(n ∈ N + ); ① 2
xr (1 + 2 + L + n) = n(n + 1)r x(元), 2
（2）每月存入500元,月利率为0.3﹪,根据①式,本利和为 每月存入500元 月利率为0.3﹪ 根据① 500 0.3
36 × 37 y = 500 × (36 + × 0.3%) = 18 999(元); 2
（3）依题意,在①式中,y=2 000，r=0.3%,n=12, 依题意, 式中,y=2 000，
y 2 000 x= = n(n + 1) 12 + 6 பைடு நூலகம்13 × 0.3% n+ r 2 ≈ 163.48(元)，