数学期望等于被测量的真值。
分析： i xi A
n
n
i xi nA
i 1
i 1
n
n
i xi nA
i 1
i 1
根据随机误差的抵偿特性，当 n 时
n
i =0，即
i 1
n
n
xi
nA
A
1 n
xi
i 1
i 1
n
nA 1
所以，当测量次数 n 时，测
第二章 测量误差和数据处理
第一节 测量误差的来源 第二节 随机误差分析 第三节 系统误差分析 第四节 误差的合成、间接测量的误差
传递与分配 第五节 测量数据的处理
难点重点
❖ 正态分布的标准差、近似标准差（贝塞 尔公式）
❖ 直接测量的数学表达式 ❖ 误差的合成 ❖ 间接测量误差的传递
第一节 测量误差的来源
f()
问题
测量总是存在误差，而且误差究竟 等于多少难以确定，那么，从测量 值如何得到真实值呢？
例如，测量室温，6次测量结果分别为 19.2℃,19.3℃,19.0℃,19.0℃,22.3℃, 19.5℃,那么室温究竟是多少呢？
x=A±，置信概率为p
x的真值落在[A-， A+]区间内的概率为p。
A和如何确定呢？
、 vi2；
4）给出最终测量结果表达式：
x 3ˆ 置信概率0.9973 x
x 2ˆ 置信概率0.9545 x
x ˆ
置信概率0.6827
x
第三节 系统误差分析
一、分类：
恒定系统误差
x
变化系统误差
A
恒定系统误差
累进系统误差
x A
N(t) x A
N(t)
N(t)
周期性系统误差
二、系统误差的判断
抵偿性 当测量次数n→∞时，误差总和
为零
有界性 误差落[-3, 3]的概率为
0.9973 3也称为极限误差或者误差限
3．贝塞尔公式
标准差（标准误差，均方根误差）：
n
lim
1 n
2 i
n i1
❖ 采用残差代替随机误差 ❖ 有限次测量标准误差的最佳估计值
（近似标准误差）
ˆ
n
1 1
n i 1
vi2
一．测量值的数学期望和标准差
1．数学期望 对被测量x进行等精度n次测量，得到n 个测量值x1，x2，x3，…，xn。则n个 测得值的算术平均值为：
n
x
1 n
xi
i 1
当测量次数 n 时，样本平均值的
极限定义为测得值的数学期望。
lim E x
1 n
n
xi
n
i 1
? ❖当测量次数 n 时，测量值的
1．仪器误差 2．人员误差 3．环境误差 4．方法误差
只有随机误差
x A
x A
恒定系统误差
累进系统误差
x A
N(t)
N(t)
x
A
N(t)
N(t)
周期性系统误差
第二节 随机误差分析
就单次测量而言，随机误差没有规律， 但当测量次数足够多时，则服从正态分 布规律，随机误差的特点为对称性、有 界性、单峰性、抵偿性。
二．随机误差的正态分布分析
1．正态分布
高斯于1809年推导出描述随机误差统 计特性的解析方程式，称高斯分布规律。
f ( )
1
2
e 2 2
2
随机误差
f(δ)
标准误差
δ
曲线下面的面积对应误差在不同区间 出现的概率。
f(δ)
例如：
f ( )d p( ) f bb
ba a
f(()d)df ()dpp((a
贝塞尔公式
算术平均值的标准差
m
m ( x j ), j1
x
x
n
平均值标准误差的最佳估计值
（近似平均值标准误差）
ˆˆxx
ˆˆ /
n
n
(n
1(1n)n11i)n1nvii2n1
vi2
三．有限次测量下测量结果表达式
步骤：
1）列出测量数据表；
2）计算算术平均值 x
3）计算
ˆ
和
ˆ ； x
、 vi
ii i111
所以可得剩余误差得代数和为0。
3. 方差
lim lim 2
n
1 n
n i 1
(xi
Ex )2
n
1 n
n
2 i
i1
4．标准差（标准误差，均方根误差） 对方差开平方。
n
lim
1 n
2 i
n i1
σ反映了测量的精密度，σ小表示精密 度高，测得值集中，σ大，表示精密度 底，测得值分散。
量值的数学期望等于被测量的真值。
2．剩余误差（残差）
当进行有限次测量时，测得值与算术平 均值之差。
数学表达式： vi xi x
对上式两边求和得：
nn n
nn n
nn n
nn n
vvii i
xxii innxx
xxii inn11nn
1 n
xxii i00
ii i111
ii i111
ii i111
1．理论分析法，可通过对测量方法的定 性分析发现测量方法或测量原理引入的 系统误差。
2．校准和比对法：测量仪器定期进行校 准或检定并在检定书中给出修正值。
3．改变测量条件法：根据在不同的测量 条件下测得的数据进行比较，可能发现 系统误差。
4．剩余误差观察法：根据测量数据列剩 余误差的大小及符号变化规律可判断有 无系统误差及误差类型，这种方法不能 发现定值系统误差。
pa(b)b
)
)
δ68.3%
a
a
b
f ( )d p( ) 1
f ( )d p( ) 68.3%
f(δ)
δ 从正态分布曲线可看出： ①δ绝对值越小，f ( ) 愈大，说明绝对
值小的误差出现的概率大。 ②大小相等符号相反的误差出现的概率
相等。
σ =1
σ =2
③σ愈小，正态分布曲线愈尖锐，σ愈 大，正态分布曲线愈平缓。说明σ反映 了测量的精密度。
四．削弱系统误差的方法
1．零示法:
2．替代法（置换法）：在测量条件不变 的情况下，用一标准已知量替代待测量， 通过调整标准量使仪器示值不变，于是 标准量的值等于被测量。
2．极限误差Δ 3
3
f ( )d p(3 3 ) 99.7%
3
从上式可见，随机误差绝对值大于3σ 的概率很小，只有0.3%，出现的可能性 很小。因此定义：
3
随机误差的特点
单峰性 误差绝对值越小，出现密度越
大，误差绝对值越大，出现密度越小
对称性 绝对值相同，符号相反的误差
出现的概率相等
三．消除系统误差产生的根源
要减少系统误差要注意以下几个方面。
1．采用的测量方法及原理正确。 2．选用的仪器仪表的类型正确，准确
度满足要求。
3．测量仪器应定期校准、检定，测量 前要调零，应按照操作规程正确使用仪 器。对于精密测量必要时要采取稳压、 恒温、电磁屏蔽等措施。
4．条件许可，尽量采用数显仪器。 5．提高操作人员的操作水平及技能。