一个简正模式是所有质点共同参与的振动，且振 动频率相同，是一种集体运动模式；
一个质点的运动是它参与的所有简正模的叠加； 简正模式之间是彼此相互独立的； 若质点系统的自由度为N，则有N个简正模和N个
相应的简正频率。
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2020/11/1
* 简谐近似和简正坐标
考虑由N个原子组成的晶体
)0
0,V0
0
则系统的势能函数
V1 3N ( 2V
2i, j1 ij
)0ij
系统的动能函数
T
1 2
3N i1
mi (i )2
系统的哈密顿量 H T V1 23 iNm i(i)21 2i,3 jN 1( i2 Vj)0 i j
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* 简谐近似和简正坐标
两个耦合质点的振动问题可化为两个独立变量q1和q2的振 动方程，描述了耦合振子系统的两种独立的运动，即简正模。
0
简正频率：
k
m
k
2K
m m
它们对应的频率为简正频率，这两个独立变量q1和q2称为
简正坐标。
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* 简正坐标和简正频率
简正模式
第n个原子的平衡位置的位置矢量 R n
设它偏离平衡位置的位移矢量 n(t)
( Rn l1a1 l2 a2 l3a3 )
则原子的位置矢量
R
'n
R n

n (t)
N个原子的位移矢量共有3N个分量 i (i 1, 2, 3, ..., 3 N )
N个原子体系的势能函数在平衡位置按泰勒级数展开
V(R'1,R'2,...,R'N)V(1,2,...,N)V(1,2,3...,3N) V 03 i N 1( V i)0i1 2i,3 jN 1( i2 Vj)0i j 高 阶 项
)q2
qq12
A1cos(0t 1) A2 cos(t 2)
0
k, m
m k 2m K
xa xb
12A1cos(0t1)12A2cos(t2) 12A1cos(0t1)12A2cos(t2)
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* 简正坐标和简正频率
简正模和简正频率
简正坐标：qq12xxaaxxbbA A12ccooss((0tt21))
为了使系统的势能函数和动能函数具有简单的形式，即化为 平方项而无交叉项，使哈密顿方程得到简化，引入简正坐标，
光滑桌面
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* 简正坐标和简正频率
设两轻质弹簧的模量分别为k和K，则耦合振动的两质点运动
方程：
m mxxba
kxa kxb
K(xb xa) K(xb xa)
由这两个方程可看出，每个振子的加速度都与另一振子的
位置有关，它们的运动彼此相关联，即两振子之间存在着耦合
北京航空航天大学研究生课程
高等固体物理
Advanced Solid State Physics
11/1/2020
授课人：
前言
1907年，爱因斯坦发表了题为“普朗克辐射理论与比热的理论 ”，第一次提出比热的理论。更重要的，第一次提出经典力学 的点阵振动和量子力学的谐振子能级可以对应。 1912年，彼得·德拜认识到，爱因斯坦提出的比热公式在极低 温下与实验不符合，是因为没有考虑到晶体中的原子振动频率 不是单一的。后来德拜通过谐振理论求得近似的原子振动的频 率分布，得到与实验更加符合的比热公式。 1912年，波恩和卡门发表了题为“论空间点阵的振动的论文” 。提出晶体中原子振动应该是以点阵波的形式存在，是点阵动 力学的奠基之作。 1920-1950年，点阵动力学被应用到晶体的热力学性质、热传导 、电导、介电、光学和X射线衍射等诸多方面。比较完整地总结 在波恩和黄昆的书“晶格动力学理论”中（1954年出版）。 1950年前后，发展了测量点阵动力学性质的实验：中子散射。
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* 简谐近似和简正坐标
N个原子体系的势能函数在平衡位置按泰勒级数展开
V V 0 3 i N 1( V i)0i 1 2 i,3 jN 1 ( i2 V j)0i j 高 阶 项
忽略高阶项,作为简谐近似处理，
即在平衡位置( V i
。分别把上述两微分方程相加和相减，得:
d2(xdat2 xb) mk (xa xb)
d2(xa dt2
xb
)
( k m
2K m )(xa
xb
)
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* 简正坐标和简正频率
d 2 q1 dt 2
k m
q1
d
2
q
2
dt 2
( k m
2K m
晶格振动是研究固体宏观性质和微观过程的重要基
础。
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经典力学中，将力学体系自平衡位置产生微小偏移 后发生的运动称为小振动问题。 晶格振动就是典型的多质点小振动问题。
处理小振动问题可以采用简谐近似（忽略能量三阶 以上的微分项）。
经典力学中，对于多质点振动问题，在简谐近似下 引入简正坐标，可以将其转化为单质点振动问题。
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* 简正坐标和简正频率
从经典力学的观点，晶格振动是典型的小振动问题，凡是 力学体系自平衡位置发生微小偏移时，该力学体系的运动都是 小振动。这里以平面耦合振动推导晶格振动物质波在简正空间 的运动方程，作为晶格振动在这部分的理论基础。
耦合振动问题
目录（contents）
晶格振动与晶体的热学性质
1、简谐近似与简正坐标 2、一维单原子链 3、一维双原子链 4、确定晶格振动的实验方法 5、晶格的热传导
§5。1 简谐近似与简正坐标
知识铺垫
晶体中的格点表示原子的平衡位置。 晶格振动就是指原子在格点附近的振动。
晶格振动与晶体的热学性质、电学性质、光学性质、 超导电性、磁性、结构相变有密切关系。
高等固体物理
教学要求与目的：掌握一维链的振动（单原子链 、双原子链）、声学支、光学支、色散关系；掌 握格波、简正坐标、声子、声子振动态密度、长 波近似等概念；；熟练掌握固体热容：爱因斯坦 模型、德拜模型的推导过程及其物理涵义。
课程教材及主要参考书：
1、黄昆原著，韩汝琦改编 ,《固体物理》，高教出版社，1988