由 2()12 sin(1qa)
m
2
1
得
波格传播的速度是波长的函数，波长不同的
波格传播速度不同。通常称 与q的关系称为色
散关系。
12
格波的波矢量q 的取值范围？对于指数函数
unA exp[i(tnqa)]
如果 qa 改变 2 值，结果并没有什么不同，因为
A e x p { i [ t n ( q a 2 π ) ] } A e x p [ i ( t n q a ) }
eiqNa1 q2l,l为 整 数
2
Na
Na
q
o 14
这说明q只能取一系列不连续的值，在q空间，一个q值
与一个点对应，这些点在空间均匀分布，相邻q点的
“距离”为 大小为 2
a
2 Na
，而q的取值在第一布里渊区，它的
,所以允许的q的总数为
2 a N 2 Na
重要结论：上式说明晶格振动的波矢数目等于晶格
3、试探解
u2n Aei(qnat)
unBBeiq(nab)t Bei(qnat) 18
把u2n、u2n+1代入以上两个运动方程
关于A、B的
两个方程
A、B非零解，系数行列式为0
12M2
第 n 个原子的运动方程
Mdd2tu2n (un1un12un)
每个原子对应一个方程，如果原子链有 N 个原子则有 N 个方程，上式实际上就是 N 个联 立的齐次方程组
8
3、玻恩-卡门条件（周期性边界条件）：
设想在实际晶体外，仍然有无限多个相同的晶体 相联结，各晶体中相对应的原子的运动情况都一样。
所以 qa 可以取在 – 与 之间，已涵盖该指数函
数的所有独立值
πqaπ 或
π q π aa
此即一维单原子链的第一布里渊区 13
3、波矢q的个数，模式数
由于晶体的体积是很有限的，因而格波波矢的取值不 能是任意的，必然受到边界条件的限制，设晶体包含
N个原子，由边界条件的周期性有： unN un
带入位移的表达式可得到
原胞数目，由色散关系式知给定一个q总有一个
与之对应。给定一组 ，q 就表示原子的一种振动形
式，我们称之为振动模式。
15
3.2 一维双原子链晶格的振动
一、一维双原子链晶格的振动
16
❖第 2n号原子,由虎克定律 2n-1
2n 2n+1
2n+2
2n
F2n-1
F2n+1
2
1
2
F2n1 1 u2n1u2n
3
3.1 一维晶格的振动 一、一维简单格子
a
n2 n 1 n n 1 n2
u n 1 aun1un
设晶格常量为 a ，原子 n 偏离平衡位置的位移为 un，只考虑最近邻的相互作用，晶格振动时相邻两原子 在t时刻的距离
run1aun
4
1、一维简单格子的互作用力
晶格作小幅度振动，即 |d |<<a ，则相邻两原子
N+1
12
n
N N+2 N+n
Nn
n
9
上述方程具有波动形式的解 un Aeinaq-t
其中A为振幅， 是圆频率，q是波矢。
➢ 对于确定的n：第n个原子的位移随时间作简谐振动
➢ 对于确定时刻t：不同的原子有不同的振动位相
q的物理意义：沿波的传播方向（即沿q的方向）上，单 位距离两点间的振动位相差。
即 2 m ( e i q a e i q a 2 ) 2 ( c o s q a 1 )
2 2(1cosqa)
m
由上式可以看出频率是波矢q的周期函数，周期
为 2 a ，正好为一维链的倒格矢，即格波频率具有
倒格子周期性,式中q换成-q时，频率也不变，频率 具有反演对称性。
11
设波包的传播速度为v，则 v q
ra
该近似称为简谐近似，在该近似下，原子间的相互作用力
是弹性恢复力，式中 是弹性恢复力常数
6
第 n 个原子的所受作用力为
F n u U n(unun 1)(un 1un)fn,n 1fn,n 1 (un 1un 12un)
f n,n1
f n,n1
u n1
aun1un
7
2、一维单原子链的运动方程与解
F U rr a d d U rr a d d 2 r U 2r a(r a ) 1 2 d d 3 r U 3r a(r a )2 为相邻原子间的作用力
5
忽略高阶项，只保留到2阶项，则
FddU r radd2rU 2 ra(ra)
令 = 2U r 2
,
则 F （ r a ) （ u n 1 u n )
格波解：晶体中所有原子共同参与的一种频率相同的振
动，不同原子间有振动位相差，这种振动以波
的形式在整个晶体中传播，称为格波。
10
把该解代入运动方程
( i) 2 m u e x p [ i ( t n q a ) ] u e x p [ i ( t n q a ) ] ( e i q a e i q a 2 )
F2n1 2 u2n u2n1
2n号原子的运动方程
d 2
m d t2u 2 n1u2 n 1 u2 n2u 2 n u 2 n 1 17
同理，2n+1号原子的运动方程为
F 2n
F2n+2
m d d t2 2u 2 n 1 2u 2 n 2 u 2 n 11u 2 n 1 u 2 n
第三章 晶格振动与晶体热学性质
❖材料的热学性能?
材料的热学性能主要有热容、热膨胀、热传导、热 稳定性等。
❖有什么用？
为选材、用材、改善材料热学性能、探索新材料和 新工艺等打下物理理论基础。
❖材料的热学性能和材料中什么东西有 联系？
原子振动，电子运动
1
整体概述
概况一
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概况二
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概况三
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2
晶格振动与格波
实际晶体中的原子并非完全固定不动， 原子是不断运动的，具有动能，但是通常情 况下原子又不能远离格点，被束缚在格点附 近做周期性振动
由于晶体具有周期性结构，原子振动相 互关联，在晶体中形成格波。
的相互作用能可以展开为
U ( r ) U ( a ) d d U rr a r a 2 1 !d d 2 r U 2r a ( r a ) 2 3 1 ！ d d 3 r U 3r a ( r a ) 3
其中 U(a) 为相邻两原子在间距等于晶格常量时的相互 作用能，一般可取为0，而
