n
n
n
n
A． 4n B。 3 4 n
4n C。 1
3
4n 1
D.
3
例 2．（1）求 (1 2x)7 的展开式的第四项的系数；
（2）求 (x 1 )9 的展开式中 x3的系数及二项式系数新疆 王奎新屯敞 x
1
三、二项展开式系数的性质：
①对称性：在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即
其中b 为除数， r 为余数， r 0, b ，利用二项式定理展开变形后，若剩余部分是负数，
要注意转换成正数
例题：求 201363 除以 7 所得的余数
例题： 若 n 为奇数，则 7n C1 7n1 C 2 7n2 Cn1 7 被 9 除得的余数是 （ ）
n
n
n
A．0 B。2 C。7 D.8
②用二项式定理处理整除问题，通常把幂的底数写成除数的倍数与某数k 的和或差的形式， 再利用二项式定理展开，这里的k 通常为 1，若 k 为其他数，则需对幂的底数k 再次构造
和或差的形式再展开，只考虑后面（或者是某项）一、二项就可以了
③要注意余数的范围，对给定的整数a,b(b 0) ，有确定的一对整数 q 和 r ，满足a bq r ，
C 0 Cn ,C1 Cn1 ,C 2 Cn2 , Ck Cnk ,
n
nn
n
n
n
n
n
②增减性与最大值：在二项式展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值。
n
如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大，即n 偶数：
Ck n max
Cn2 ；
n1
n1
如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并最大，即
（4）要注意二项式定理的双向功能：一方面可将二项式a bn 展开，得到一个多项式；
另一方面，也可将展开式合并成二项式a bn
二、二项展开式的通项：T k 1
Ck ankbk n
二项展开式的通项Tk1 Cnk ankbk (k 0,1,2,3 n) 是二项展开式的第 k 1 项，它体现了
二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些 特 定项（如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等）及其系数等方面 有广 泛应用
n
n
n
n
例题：写出(x y)11 的展开式中：
1 二项式系数最大的项； 2 项的系数绝对值最大的项； 3 项的系数最大的项和系数最小的项； 4 二项式系数的和； 5 各项系数的和
四、多项式的展开式及展开式中的特定项
（1）求多项式(a a a )n 的展开式，可以把其中几项结合转化为二项式，再利用
Ck n max
Cn 2 Cn 2
③二项展开式的各系数的和等于 2n ，令 a 1， b 1即 C0 C1 Cn (11)n 2n ；
nቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
n
n
④ 奇 数 项 的 二 项 式 系 数 和 与 偶 数 项 的 二 项 式 系 数 和 相 等 ， 令 a 1 ， b 1 即
C 0 C 2 C1 C 3 2n1
二项式定理
一、二项式定理：
a b n C n0a n Cn1an1 b Cnk ank kb C nnb n（ n N ） 等号右边的多项式叫做
a bn 的二项展开式，其中各项的系数C nk(k 0,1,2,3 n) 叫做二项式系数。
对二项式定理的理解：
1 二项展开式有n 1项 2字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减 1 到 0；字母b 按升幂排列，从 第
0
1
2
7
（1） a1 a2 L a7 ； （2） a1 a3 a5 a7 ； （3）| a0 | | a1| L | a7 | .
六、二项式定理的应用：
1、二项式定理还应用与以下几方面： 1 进行近似计算 2 证明某些整除性问题或求余数
3证明有关的等式和不等式。如证明： 2n 2nn 3, n N 取 2n 1 1n 的展开式 中
一项开始，次数由 0 逐项加 1 到 n 3二项式定理表示一个恒等式，对于任意的实数 a, b ，等式都成立，通过对a, b 取不同 的 特 殊 值 ， 可 为 某 些 问 题 的 解 决 带 来 方 便 。 在 定 理 中 假 设 a 1，b x ， 则
1 x n Cn0 xn Cn1 x Cnk x nk Cnnx n（ n N ）
24x
有理项。
（2）求
x
1 x
3 2 的展开式的常数项。
【思维点拨】 求展开式中某一特定的项的问题时，常用通项公式，用待定系数法确定k
五、展开式的系数和
求展开式的系数和关键是给字母赋值，赋值的选择则根据所求的展开式系数和特征来定
例题：已知(1 2x)7 a a x a x2 L a x7 ，求：
例题：当 n N 且 n >1，求证2 (1 1 )n 3 n
【思维点拨】这类是二项式定理的应用问题，它的取舍根据题目而定
4
综合测 一、选择题：本大题共 12 个小题，每试小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只
的四项即可。 2、各种问题的常用处理方法
3
（1）近似计算的处理方法
当 n 不是很大，| x |比较小时可以用展开式的前几项求(1 x)n 的近似值。
例题： (1.05)6 的计算结果精确到 0.01 的近似值是
A．1.23
B．1.24
C．1.33
D．1.34
（）
（2）整除性问题或求余数的处理方法 ①解决这类问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式
12
n
二项式定理展开。
例题：求多项式(x2
1 x2
2)3
的展开式
（2）求二项式之间四则运算所组成的式子展开式中的特定项，可以先写出各个二项式的 通 项再分析。
例题：求 (1 x)2 (1 x)5 的展开式中 x3 的系数
2
例题：（1）如果在
x
1
n
的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的
对通项Tk1 Cnk ankbk (k 0,1,2,3n) 的理解：
1 字母b 的次数和组合数的上标相同
2 a 与 b 的次数之和为n
3 在通项公式中共含有a, b, n, k,Tk 1 这 5 个元素，知道 4 个元素便可求第 5 个元素
例 1． C1 3C 2 9C 3 3n1Cn 等于 （ ）