2020年高考数学临门一卷（理科）（6月份）一、选择题（共12小题）.1．已知全集U＝{﹣1，0，1，2，3，4}，集合A，B满足∁U A＝{0，2，4}，∁U B＝（﹣1，0，1，3}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1，2，3，4}B．{﹣1，1，2，3，4}C．{0}D．∅2．若a﹣2i＝（1+i）（1+bi）（a，b∈R，i为虚数单位），则复数a+bi在复平面内对应的点位干（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知a＝0.30.4，b＝40.3，c＝log0.24，则（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．b＜c＜a4．已知椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0）．过点F1的直线与C交于A，B两点．若△ABF2的周长为8，则椭圆C的标准方程为（）A．＝1B．＝1C．＝1D．＝15．已知正项等比数列{a n}的首项a1＝1，前n项和为S n，且S1，S2，S3﹣2成等差数列，则a4＝（）A．8B．C．16D．6．执行如图所示的程序框图，若输出S的值为105，那么判断框中应填入的关于k的判断条件是（）A．k＜4？B．k＜5？C．k＞4？D．k＞5？7．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休．在数学的学习和研究中．常用函数的图象研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征．如函数y＝﹣2sin2x+cos x+1，x∈（﹣π，π）的图象大致为（）A．B．C．D．8．已知圆锥的顶点为P，母线PA，PB所成角的余弦值为，PA与圆锥底面所成角为60°，若△PAB的面积为，则该圆锥的体积为（）A．B．C．D．9．已知函数，若存在x1，x2∈R，且x1≠x2，使得f（x1）＝f（x2），则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，4）B．C．（﹣∞，3）D．（﹣∞，8）10．将函数f（x）＝3sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象，若对满足|f（x1）﹣g（x2）|＝6的x1，x2，有|x1﹣x2|min＝，则φ＝（）A．B．C．D．11．已知双曲线Γ：4x2﹣＝1的左右焦点分别为F1，F2，离心率e＝2，若动点P满足＝，则直线PF1的倾斜角θ的取值范围为（）A．[0，）∪（，π）B．[，）∪（，π）C．[0，]∪[，π）D．[，）∪（，]12．已知函数f（x）的定义域为R，且f′（x）＜f（x）恒成立，若f（e+1）＝1（其中e 是自然对数的底数），则不等式f（lnx+x）﹣e lnx+x﹣e﹣1＜0的解集为（）A．（0，e）B．（e，+∞）C．（0，e+1）D．（e+1，+∞）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知甲、乙两位同学8次数学单元测试的成绩（百分制）可用如图所示的茎叶图表示，且甲同学成绩的平均数比乙同学成绩的平均数小2，则m＝．14．已知，是两个非零向量，且||＝||＝|﹣|，则与2﹣的夹角为．15．已知α是锐角，且cos（α+）＝，则cos（2α+）＝．16．已知四边形ABCD是边长为5的菱形，对角线BD＝8（如图1），现以AC为折痕将菱形折起，使点B达到点P的位置，棱AC，PD的中点分为E，F，且四面体PACD的外接球球心落在四面体内部（如图2），则线段EF长度的取值范围为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，sin A＝，B＝2A，b＝4．（1）求a的值；（2）若D为BC中点，求AD的长．18．如图，直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，AA1＝AC＝2BD＝4，点F，Q是棱BB1，DD1的中点，E，P是棱AA1，CC1上的点，且AE＝C1P＝1．（1）求证：EF∥平面BPQ；（2）求直线BP与平面PQE所成角的正弦值．19．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F到直线x﹣y+1＝0的距离为．（1）求抛物线C的方程；（2）过点F的直线l与C交于A，B两点，交y轴交于点P．若，求直线l的方程．20．已知函数f（x）＝（x+1）lnx﹣（k+1）x+a+1，其中k，a∈R．（1）若k＝0，求函数f（x）的单调区间；（2）若对任意x∈[1，e]，a∈[1，e]，不等式f（x）≥0恒成立，求k的取值范围．21．2020元旦联欢晚会上，A，B两班各设计了一个摸球表演节目的游戏：A班在一个纸盒中装有1个红球，1个黄球，1个白球，这些球除颜色外完全相同，记事件A n：同学们有放回地每次摸出1个球，重复n次，n次摸球中既有红球，也有黄球，还有白球；B 班在一个纸盒中装有1个蓝球，1个黑球，这些球除颜色外完全相同，记事件B n：同学们有放回地每次摸出1个球，重复n次，n次摸球中既有蓝球，也有黑球，事件A n发生的概率为P（A n），事件B n发生的概率为P（B n）．（1）求概率P（A3），P（A4）及P（B3），P（B4）；（2）已知P（A n）＝aP（A n﹣1）+b n﹣1P（B n﹣1），其中a，b为常数，求P（A n）．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．直线l1的极坐标方程为．（1）求曲线C的普通方程和直线l1的直角坐标方程；（2）若射线l2的极坐标方程为，设l2与C相交于点A．l2与l1相交于点B，求|AB|．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a，b，c都是正数．求证：（1）≥a+b+c；（2）．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U＝{﹣1，0，1，2，3，4}，集合A，B满足∁U A＝{0，2，4}，∁U B＝（﹣1，0，1，3}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1，2，3，4}B．{﹣1，1，2，3，4}C．{0}D．∅【分析】先求出A，B进而求得结论．解：因为全集U＝{﹣1，0，1，2，3，4}，集合A，B满足∁U A＝{0，2，4}，∁U B＝（﹣1，0，1，3}，则A＝{﹣1，1，3}；B＝{2，4}；故A∩B＝∅；故选：D．2．若a﹣2i＝（1+i）（1+bi）（a，b∈R，i为虚数单位），则复数a+bi在复平面内对应的点位干（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求解a，b的值，则答案可求．解：∵a﹣2i＝（1+i）（1+bi）＝（1﹣b）+（1+b）i，∴，解得a＝4，b＝﹣3．∴复数a+bi在复平面内对应的点的坐标为（4，﹣3），位于第四象限．故选：D．3．已知a＝0.30.4，b＝40.3，c＝log0.24，则（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．b＜c＜a【分析】利用指对数函数单调性判断出a，b，c与0和1的大小关系，进而得到a，b，c大小．解：由题可知：a＝0.30.4＜0.30＝1，b＝40.3＞40＝1，c＝log0.24＜log0.21＝0，又a＞0，∴c＜a＜b故选：B．4．已知椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0）．过点F1的直线与C交于A，B两点．若△ABF2的周长为8，则椭圆C的标准方程为（）A．＝1B．＝1C．＝1D．＝1【分析】根据题意，由椭圆的焦点坐标分析可得椭圆的焦点在x轴上，且c＝1，结合椭圆的性质可得△ABF2的周长为4a，则有4a＝8，即可得a的值，计算可得b的值，将a、b的值代入椭圆的方程即可得答案．解：根据题意，椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），即椭圆的焦点在x轴上，且c＝1；又由△ABF2的周长为8，则有|AB|+|AF2|+|BF2|＝|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|＝|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|＝4a＝8，变形可得a＝2，则b＝＝＝；故要求椭圆的方程为+＝1；故选：C．5．已知正项等比数列{a n}的首项a1＝1，前n项和为S n，且S1，S2，S3﹣2成等差数列，则a4＝（）A．8B．C．16D．【分析】将a1，a2，a3都用公比q表示出来，然后根据S1，S2，S3﹣2成等差数列列出q 的方程，求出q，则问题可解．解：由题意设：，（q＞0）．由已知得2S2＝S1+S3﹣2，所以2（1+q）＝1+1+q+q2﹣2，即q2﹣q﹣2＝0．解得q＝2或q＝﹣1（舍）．所以，故．故选：A．6．执行如图所示的程序框图，若输出S的值为105，那么判断框中应填入的关于k的判断条件是（）A．k＜4？B．k＜5？C．k＞4？D．k＞5？【分析】按照程序框图依次执行，直到S＝105，进一步确定判断框内的条件即可．解：模拟程序的运行，可得k＝8，S＝不满足判断框内的条件，执行循环体，S＝，k＝7不满足判断框内的条件，执行循环体，S＝，k＝6不满足判断框内的条件，执行循环体，S＝21，k＝5不满足判断框内的条件，执行循环体，S＝105，k＝4由题意，此时，应该满足判断框内的条件，退出循环，输出S的值为105，可得判断框中应填入的关于k的判断条件是k＜5？故选：B．7．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休．在数学的学习和研究中．常用函数的图象研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征．如函数y＝﹣2sin2x+cos x+1，x∈（﹣π，π）的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】取x＝0排除CD，再求出函数的最值得到答案．解：由函数y＝f（x）＝﹣2sin2x+cos x+1，x∈（﹣π，π）；可得：f（﹣x）＝﹣2sin2（﹣x）+cos（﹣x）+1＝﹣2sin2x+cos x+1，x∈（﹣π，π）；为偶函数；且x＝0时，y＝2排除CD；又因为：f（x）＝﹣2sin2x+cos x+1═﹣2（1﹣cos2x）+cos x+1＝2cos2x+cos x﹣1＝2（cos x+）2﹣；最小值为﹣，排除A；故选：B．8．已知圆锥的顶点为P，母线PA，PB所成角的余弦值为，PA与圆锥底面所成角为60°，若△PAB的面积为，则该圆锥的体积为（）A．B．C．D．【分析】利用已知条件求出圆锥的母线长，利用直线与平面所成角求解底面半径，然后求解圆锥的体积．解：圆锥的顶点为P，母线PA，PB所成角的余弦值为，可得sin∠APB＝＝．由△PAB的面积为，得•PA2•sin∠APB＝•PA2•＝，即PA＝2．PA与圆锥底面所成角为60°，可得圆锥的底面半径为：•sin30°＝，∴高为．则该圆锥的体积为：π×．故选：C．9．已知函数，若存在x1，x2∈R，且x1≠x2，使得f（x1）＝f（x2），则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，4）B．C．（﹣∞，3）D．（﹣∞，8）【分析】根据分段函数的解析式，讨论a的取值范围，结合二次函数的图象及性质，即可求得a的取值范围．解：由题意知，y＝﹣x2+ax的对称轴为，当，即a＜4时，根据二次函数的性质可知，一定存在x1，x2∈R，使得f（x1）＝f （x2）；当，即a≥4时，由题意知，﹣22+2a＞4a﹣5，解得，不合题意；综上，实数a的取值范围为（﹣∞，4）．故选：A．10．将函数f（x）＝3sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象，若对满足|f（x1）﹣g（x2）|＝6的x1，x2，有|x1﹣x2|min＝，则φ＝（）A．B．C．D．【分析】首先利用三角函数关系式的平移变换的应用和正弦型函数的性质的应用求出结果．解：由于函数f（x）＝3sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）＝3sin（2x﹣2φ）的图象，所以|f（x1）﹣g（x2）|＝3|sin2x1﹣sin（2x2﹣2φ）|＝6，由于﹣1≤sin2x1≤1，﹣1≤sin（2x2﹣2φ）≤1．所以sin2x1和sin（2x2﹣2φ）的值中，一个为1，一个为﹣1．不妨设sin2x1＝1，sin（2x2﹣2ϕ）＝﹣1，则，2x2﹣2φ＝（k1，k2∈Z）．所以2x1﹣2x2+2φ＝2（k1﹣k2）π+π（k1﹣k2∈Z），得到：，由于，所以．故当k1﹣k2＝0时，，解得φ＝．故选：B．11．已知双曲线Γ：4x2﹣＝1的左右焦点分别为F1，F2，离心率e＝2，若动点P满足＝，则直线PF1的倾斜角θ的取值范围为（）A．[0，）∪（，π）B．[，）∪（，π）C．[0，]∪[，π）D．[，）∪（，]【分析】将双曲线的方程化为标准方程，运用离心率公式，可得焦点的坐标为F1（﹣1，0），F2（1，0），设P（x，y），运用两点的距离公式，化简整理可得P的轨迹方程，再由直线和圆相切的条件：d＝r，解得切线的斜率，进而得到倾斜角的范围．解：双曲线Γ：4x2﹣＝1即为﹣＝1，由离心率e＝＝2，解得a2＝，即有焦点的坐标为F1（﹣1，0），F2（1，0），设P（x，y），由＝，可得（x+1）2+y2＝2[（x﹣1）2+y2]，化简可得x2+y2﹣6x+1＝0，即为（x﹣3）2+y2＝8，P的轨迹为圆心为（3，0），半径为2，设过F1的切线的方程为y＝k（x+1），由直线和圆相切的条件可得，d＝＝2，解得k＝±1，即有切线的倾斜角为或，可得直线PF1的倾斜角θ的取值范围为[0，]∪[，π）．故选：C．12．已知函数f（x）的定义域为R，且f′（x）＜f（x）恒成立，若f（e+1）＝1（其中e 是自然对数的底数），则不等式f（lnx+x）﹣e lnx+x﹣e﹣1＜0的解集为（）A．（0，e）B．（e，+∞）C．（0，e+1）D．（e+1，+∞）【分析】将原不等式变形为﹣e﹣e﹣1＜0，构造辅助函数，g（x）＝﹣e﹣e﹣1，（x＞0），求得根据已知条件求得g′（x）＜0，g（x）单调递减，由g（e）＝0，g（x）＜g（e），根据函数单调性，即可求得不等式的解集解：将所求不等式变形为﹣e﹣e﹣1＜0，令g（x）＝﹣e﹣e﹣1，（x＞0）则g′（x）＝，＝，∵f′（x）＜f（x）恒成立，∴f′（lnx+x）﹣f（lnx+x）＜0，即g′（x）＜0．∴g（x）为其定义域上的减函数．又g（e）＝﹣e﹣e﹣1＝0，∴g（x）＜g（e），∴不等式的解集为：（e，+∞），故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知甲、乙两位同学8次数学单元测试的成绩（百分制）可用如图所示的茎叶图表示，且甲同学成绩的平均数比乙同学成绩的平均数小2，则m＝4．【分析】求出甲的平均数以及乙的平均数，从而求出m的值．解：甲的平均数是：（71+80+81+84+85+85+87+99）＝84，∴乙的平均数是（74+82+80+m+86+87+88+92+95）＝86，解得：m＝4，故答案为：4．14．已知，是两个非零向量，且||＝||＝|﹣|，则与2﹣的夹角为．【分析】可设与的夹角为θ，而根据即可得出，从而可得出，这样即可求出，从而得出θ的值．解：设与的夹角为θ，由得，，∴，＝，，∴，且θ∈[0，π]，∴．故答案为：．15．已知α是锐角，且cos（α+）＝，则cos（2α+）＝．【分析】由题意可得sin（α+），进而由二倍角公式可得sin（2α+）和cos（2α+），代入cos（2α+）＝cos[（2α+）﹣]＝cos（2α+）+sin（2α+）化简可得．解：∵α是锐角，且cos（α+）＝，∴sin（α+）＝＝，∴sin（2α+）＝2××＝，cos（2α+）＝（）2﹣（）2＝﹣，∴cos（2α+）＝cos[（2α+）﹣]＝cos（2α+）+sin（2α+）＝+＝故答案为：．16．已知四边形ABCD是边长为5的菱形，对角线BD＝8（如图1），现以AC为折痕将菱形折起，使点B达到点P的位置，棱AC，PD的中点分为E，F，且四面体PACD的外接球球心落在四面体内部（如图2），则线段EF长度的取值范围为（，4）．【分析】由题意可知△APC的外心O1在中线PE上，设过点O1的直线l1⊥平面APC，△ADC的外心O2在中线DE上，设过点O2的直线l2⊥平面ADC，由对称性知直线l1，l2的交点O在直线EF上，则点O为四面体APCD的外接球的球心．由题意得EA＝3，PE＝4，由勾股定理及O1A+O1E＝PE＝4求得．令∠PEF＝θ，得EF＝PE cosθ＝4cosθ＜4．再由cosθ＝，得OE•EF＝O1E•PE＝，结合OE＜EF，求得EF＞．从而得到线段EF长度的取值范围．解：如图，由题意可知△APC的外心O1在中线PE上，设过点O1的直线l1⊥平面APC，可知l1⊂平面PED，同理△ADC的外心O2在中线DE上，设过点O2的直线l2⊥平面ADC，则l2⊂平面PED，由对称性知直线l1，l2的交点O在直线EF上．根据外接球的性质，点O为四面体APCD的外接球的球心．由题意得EA＝3，PE＝4，而，O1A+O1E＝PE＝4，∴．令∠PEF＝θ，显然0＜θ＜，∴EF＝PE cosθ＝4cosθ＜4．∵cosθ＝，∴OE•EF＝O1E•PE＝，又OE＜EF，∴EF2＞，即EF＞．综上所述，＜EF＜4．∴线段EF长度的取值范围为（，4）．故答案为：（，4）．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，sin A＝，B＝2A，b＝4．（1）求a的值；（2）若D为BC中点，求AD的长．【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求cos A的值，利用二倍角的正弦函数公式可求sin B的值，进而根据正弦定理可得a的值．（2）利用二倍角的余弦函数公式可求cos B，进而根据两角和的余弦函数公式可求cos C 的值，在△ACD中，由余弦定理可得AD的值．解：（1）∵sin A＝，B＝2A，b＝4，∴A为锐角，可得cos A＝＝，∴sin B＝sin2A＝2sin A cos A＝，∴由正弦定理，可得a＝＝3．（2）∵cos B＝cos2A＝2cos2A﹣1＝﹣，∴cos C＝﹣cos（A+B）＝sin A sin B﹣cos A cos B＝，∵由（1）可得a＝3，b＝4，∴在△ACD中，由余弦定理可得AD2＝AC2+CD2﹣2AC•CD•cos C＝b2+（）2﹣2×cos C＝42+（）2﹣2×4××＝，∴可得AD＝．18．如图，直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，AA1＝AC＝2BD＝4，点F，Q是棱BB1，DD1的中点，E，P是棱AA1，CC1上的点，且AE＝C1P＝1．（1）求证：EF∥平面BPQ；（2）求直线BP与平面PQE所成角的正弦值．【分析】（1）取AA1的中点M，DD1上一点N，D1N＝1，连接PN，NM，MF，得PF∥NM，且PF＝NM，再证明NM∥EQ，且NM＝EQ，得到PF∥EQ且PF＝EQ，得四边形PQEF为平行四边形，得EF∥PQ．再由直线与平面平行的判定可得EF∥平面BPQ；（2）设AC∩BD＝O，由ABCD是菱形，得OA⊥OB，以O为坐标原点，分别以OA，OB所在直线为x，y轴，以过O且垂直底面的直线为z轴建立如图所示空间直角坐标系．求出平面PQE的一个法向量与的坐标，再由两向量所成角的余弦值可得直线BP与平面PQE所成角的正弦值．【解答】（1）证明：取AA1的中点M，DD1上一点N，D1N＝1，连接PN，NM，MF，则四边形PNMF为平行四边形，得PF∥NM，且PF＝NM，由ME∥NQ，且ME＝NQ，可得四边形MEQN为平行四边形，则NM∥EQ，且NM＝EQ，则PF∥EQ且PF＝EQ，得四边形PQEF为平行四边形，得EF∥PQ．而EF⊄平面PBQ，PQ⊂平面PBQ，∴EF∥平面BPQ；（2）解：设AC∩BD＝O，∵ABCD是菱形，∴OA⊥OB，以O为坐标原点，分别以OA，OB所在直线为x，y轴，以过O且垂直底面的直线为z 轴建立如图所示空间直角坐标系．则B（0，1，0），P（﹣2，0，3），Q（0，﹣1，2），E（2，0，1），，，．设平面PQE的一个法向量为，由，取x＝1，得．设直线BP与平面PQE所成角为θ，则sinθ＝|cos＜＞|＝＝．∴直线BP与平面PQE所成角的正弦值为．19．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F到直线x﹣y+1＝0的距离为．（1）求抛物线C的方程；（2）过点F的直线l与C交于A，B两点，交y轴交于点P．若，求直线l的方程．【分析】（1）求得抛物线的焦点坐标，运用点到直线的距离公式，解方程可得p，进而得到抛物线的方程；（2）可得F（1，0），又直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y＝k（x﹣1），联立抛物线的方程y2＝4x，运用韦达定理和向量共线的坐标表示，解方程可得斜率k，进而得到所求直线方程．解：（1）抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F为（，0），F到直线x﹣y+1＝0的距离为，可得＝，解得p＝2，则抛物线的方程为y2＝4x；（2）由（1）可得F（1，0），又直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y＝k（x﹣1），联立抛物线的方程y2＝4x，可得k2x2﹣（4+2k2）x+k2＝0，设A，B两点的横坐标分别为x1，x2，可得x1+x2＝2+，x1x2＝1，①由，即＝3，可得x2﹣x1＝3（0﹣x2），即为x1＝4x2，②由①②解得x2＝，x1＝2，2+＝2+，解得k＝±2，所以直线l的方程为2x﹣y﹣2＝0或2x+y﹣2＝0．20．已知函数f（x）＝（x+1）lnx﹣（k+1）x+a+1，其中k，a∈R．（1）若k＝0，求函数f（x）的单调区间；（2）若对任意x∈[1，e]，a∈[1，e]，不等式f（x）≥0恒成立，求k的取值范围．【分析】（1）代入k，求出f（x）的导数，根据导函数的符号判断函数的单调性即可；（2）问题转化为k≤，则h′（x）＝，令p（x）＝﹣lnx+x ﹣a，结合a的范围求出h（x）的最小值，求出k的范围即可．解：（1）k＝0时，f（x）＝（x+1）lnx﹣x+a+1，f′（x）＝lnx+，令g（x）＝lnx+，则g′（x）＝，令g′（x）＞0，解得：x＞1，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜1，∴函数g（x）在（1，+∞）递增，在（0，1）递减，∴g（x）min＝g（1）＝1，∴f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增，无递减区间，（2）∵x∈[1，e]，∴原不等式可化为：k≤，令h（x）＝，则h′（x）＝，令p（x）＝﹣lnx+x﹣a，则p′（x）＝﹣+1≥0，∴p（x）在[1，e]递增，①当p（1）≥0时，即a≤1，∵a∈[1，e]，∴a＝1时，x∈[1，e]，p（x）≥0⇒h′（x）≥0，∴h（x）在[1，e]递增，∴k＝h（x）min＝h（1）＝a＝1；②当p（e）≤0，即a∈[e﹣1，e]时，x∈[1，e]，p（x）≤0⇒h′（x）≤0，∴h（x）在[1，e]递减，∴k≤h（x）min＝h（e）＝≤，③当p（1）p（e）＜0时，p（x）＝﹣lnx+x﹣a在[1，e]递增，存在唯一实数x0∈[1，e]，使得p（x0）＝0，则当x∈（1，x0）时⇒p（x）＜0⇒h′（x）＜0，当x∈（x0，e）时⇒p（x）＞0⇒h′（x）＞0，∴k≤h（x）min＝h（x0）＝＝lnx0+，又y＝lnx+x在[1，e]递增，∴k≤1，综上，k的范围是（﹣∞，1]．21．2020元旦联欢晚会上，A，B两班各设计了一个摸球表演节目的游戏：A班在一个纸盒中装有1个红球，1个黄球，1个白球，这些球除颜色外完全相同，记事件A n：同学们有放回地每次摸出1个球，重复n次，n次摸球中既有红球，也有黄球，还有白球；B 班在一个纸盒中装有1个蓝球，1个黑球，这些球除颜色外完全相同，记事件B n：同学们有放回地每次摸出1个球，重复n次，n次摸球中既有蓝球，也有黑球，事件A n发生的概率为P（A n），事件B n发生的概率为P（B n）．（1）求概率P（A3），P（A4）及P（B3），P（B4）；（2）已知P（A n）＝aP（A n﹣1）+b n﹣1P（B n﹣1），其中a，b为常数，求P（A n）．【分析】（1）分别利用排列组合知识及古典概型概率计算公式求解；（2）记a n＝P（A n），b n＝P（B n），结合P（A n）＝aP（A n﹣1）+b n﹣1P（B n﹣1），得，求得a与b的值，可得，依次取n＝n ﹣1，n﹣2，…，2，累加可得P（A n）．解：（1）A班3次摸球共有33＝27种不同的可能，其中集齐红球，黄球，白球有种，故P（A3）＝；A班4次摸球共有34＝81种不同可能，4次后集齐红球，黄球，白球，即某种颜色出现两次，其余各出现一次，可能性为种，故P（A4）＝；B班摸球3次共有23＝8种不同的可能，其中不能集齐黑球，蓝球有两种，故P（B3）＝；B班摸球4次共有24＝16种不同的可能，其中不能集齐黑球，蓝球有两种，故P（B4）＝1﹣；（2）记a n＝P（A n），b n＝P（B n），结合（1）中的计算得下表：n12345…a n＝P（A n）00…b n＝P（B n）0…由于B n的对立事件总是2种情形，即全是黑球或全是蓝球，故．令，即，解得或（舍去，因为）．故．即，，…．累加可得P（A n）＝（n≥2）．当n＝1时，a1＝0适合上式．故P（A n）＝（n∈N*）．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．直线l1的极坐标方程为．（1）求曲线C的普通方程和直线l1的直角坐标方程；（2）若射线l2的极坐标方程为，设l2与C相交于点A．l2与l1相交于点B，求|AB|．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间转换求出结果．（2）利用极径的应用和方程组的解法的应用求出结果．解：（1）已知曲线C的参数方程为（α为参数），消去参数，转换为直角坐标方程为．直线l1的极坐标方程为．根据转换为直角坐标方程为x+y﹣6＝0．（2）椭圆转换为极坐标方程为，所以，解得，故，整理得．|AB|＝|．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a，b，c都是正数．求证：（1）≥a+b+c；（2）．【分析】（1）由a+≥2＝2b，b+≥2c，c+≥2a，累加即可得证；（2）运用作差法，结合三元均值不等式，即可得证．【解答】证明：（1）由a，b，c＞0，可得a+≥2＝2b，b+≥2c，c+≥2a，相加可得（a+b+c）+（）≥2（a+b+c），即为≥a+b+c（当且仅当a＝b＝c取得等号）；（2）3（﹣）﹣2（﹣）＝c+2﹣3＝c++﹣3≥3﹣3＝0，可得2（﹣）≤3（﹣）（当且仅当a＝b＝c取得等号）．。