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2015年高考新课标全国Ⅰ理科数学试题及答案(word解析版)

2015年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅰ)数学(理科)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)【2015年新课标全国Ⅰ,理1】设复数z 满足1i 1zz+=-,则( )(A )1 (B )2 (C )3 (D )2 【答案】A【解析】由1i 1z z +=-得()()()()1i 1i 1i i 1i 1i 1i z -+--+===++-,故1z =,故选A . (2)【2015年新课标全国Ⅰ,理2】sin20cos10cos160sin10︒︒-︒︒=( )(A )32- (B )32 (C )12- (D )12-【答案】D【解析】原式1sin 20cos10cos20sin10sin302=︒︒+︒︒=︒=,故选D .(3)【2015年新课标全国Ⅰ,理3】设命题P :n N ∀∈,22n n >,则P ⌝为( )(A )n N ∀∈,22n n > (B )n N ∃∈,22n n ≤ (C )n N ∀∈,22n n ≤ (D )n N ∃∈,22n n = 【答案】C【解析】P ⌝:n N ∀∈,22n n ≤,故选C . (4)【2015年新课标全国Ⅰ,理4】投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为( ) (A )0.648 (B )0.432 (C )0.36 (D )0.312 【答案】A【解析】根据独立重复试验公式得,该同学通过测试的概率为22330.60.40.60.648C ⨯+=,故选A .(5)【2015年新课标全国Ⅰ,理5】已知()00,M x y 是双曲线C :2212x y -=上的一点,1F 、2F 是C 上的两个焦点,若120MF MF <,则0y 的取值范围是( ) (A )33,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ (B )33,66⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ (C )2222,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ (D )2323,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】由题知()13,0F -,()23,0F 且220012x y -=,所以()()1200003,3,MF MF x y x y •=---•-- 2220003310x y y =+-=-<,解得03333y -<<,故选A . (6)【2015年新课标全国Ⅰ,理6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧度为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放斛的米约有( )(A )14斛 (B )22斛 (C )36斛 (D )66斛 【答案】B【解析】设圆锥底面半径为r ,则12384r ⨯⨯=,得163r =.所以米堆的体积为21116320354339⎛⎫⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭,故堆放的米约为3201.62229÷≈,故选B . (7)【2015年新课标全国Ⅰ,理7】设D 为ABC ∆所在平面内一点3BC CD =,则( )(A )1433AD AB AC =-+ (B )1433AD AB AC =-(C )4133AD AB AC =+ (D )4133AD AB AC =-【答案】A【解析】由题知()11143333AD AC CD AC BC AC AC AB AB AC =+=+=+-=-+,故选A .(8)【2015年新课标全国Ⅰ,理8】函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示,则()f x 的单调递减区间为( )(A )13(,),44k k k Z ππ-+∈ (B )13(2,2),44k k k Z ππ-+∈(C )13(,),44k k k Z -+∈ (D )13(2,2),44k k k Z -+∈【答案】D【解析】由五点作图知1425342πωϕπωϕ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ ,取得ωπ=,所以()cos 4f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,令22,4k x k k Z πππππ<+<+∈,解得1322,44k x k k Z -<<+∈,故单调减区间为132,244k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭,k Z ∈,故选D .(9)【2015年新课标全国Ⅰ,理9】执行右面的程序框图,如果输入的0.01t =,则输出的n =( )(A )5 (B )6 (C )7 (D )8 【答案】C【解析】执行第1次,0.01,1,0,0.5,0.5,t S n m S S m =====-=20.25,1,m m n ===0.50.01S t =>=,是,循环;执行第2次,0.25,20.125,2,S S m m m n =-==== 0.250.01S t =>=,是,循环;执行第3次,0.125,20.0625,3,S S m m m n =-==== 0.1250.01S t =>=,是,循环;执行第4次,0.0625,20.03125,4,S S m m m n =-====0.06250.01S t =>=,是,循环; 执行第5次,0.03125,20.015625,5,S S m m m n =-====0.031250.01S t =>=,是,循环; 执行第6次,0.015625,20.0078125,6,S S m m m n =-====0.0156250.01S t =>=,是,循环;执行第7次,0.0078125,20.00390625,7,S S m m m n =-====0.00781250.01S t =>=,否,输出7n =,故选C .(10)【2015年新课标全国Ⅰ,理10】25()x x y ++的展开式中,52x y 的系数为( ) (A )10 (B )20 (C )30 (D )60 【答案】C【解析】在()52x x y ++的5个因式中,2个取因式中2x 剩余的3个因式中1个取x ,其余因式取y ,故52x y 的系数为21253230C C C =,故选C . (11)【2015年新课标全国Ⅰ,理11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为 1620π+,则r =( )(A )1 (B )2 (C )4 (D )8 【答案】B【解析】由正视图和俯视图知,该几何体是半球与半个圆柱的组合体,圆柱的半径与球的半径都为r ,圆柱的高为2r ,其表面积为2222142225416202r r r r r r r r πππππ⨯+⨯++⨯=+=+,解得2r =故选B .(12)【2015年新课标全国Ⅰ,理12】设函数()(21)x f x e x ax a =--+,其中1a <,若存在唯一的整数0x ,使得0()0f x <,则a 的取值范围是( )(A )3[,1)2e - (B )33[,)24e - (C )33[,)24e (D )3[,1)2e【答案】D【解析】设()(21)x g x e x =-,y ax a =-,由题知存在唯一的整数0x ,使得0()g x 在直线y ax a =-的下方.因为()(21)x g x e x '=+,所以当12x <-时,()0g x '<,当12x >-时,()0g x '>;当12x =-时,[]12max ()2g x e -=-.当0x =时,(0)1g =-,(1)30g e =>,直线y ax a =-恒过点()1,0且斜率为a ,故(0)1a g ->=-,且1(1)3g e a a --=-≥--,解得312a e≤<,故选D . 第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分(13)【2015年新课标全国Ⅰ,理13】若函数2()ln()f x x x a x =++为偶函数,则a = . 【答案】1【解析】由题知()2ln y x a x =++是奇函数,所以()()()222ln ln ln x a x x a x a x x +++-++=+-ln 0a ==,解得1a =.(14)【2015年新课标全国Ⅰ,理14】一个圆经过椭圆221164x y +=的三个顶点,且圆心在x 轴上,则该圆的标准方程为 . 【答案】2232524x y ⎛⎫±+= ⎪⎝⎭ 【解析】设圆心为(),0a ,则半径为4a -,则()22242a a -=+,解得32a =±,故圆的方程为2232524x y ⎛⎫±+= ⎪⎝⎭.(15)【2015年新课标全国Ⅰ,理15】若,x y 满足约束条件10,0,40,x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩则y x 的最大值为 . 【答案】3【解析】作出可行域如图中阴影部分所示,由斜率的意义知,yx是可行域内一点与原点连 线的斜率,由图可知,点()1,3A 与原点连线的斜率最大,故yx的最大值为3.(16)【2015年新课标全国Ⅰ,理16】在平面四边形ABCD 中,75A B C ∠=∠=∠=︒,2BC =,则AB 的取值范围是 .【答案】()62,62-+【解析】如图所示,延长BA ,CD 交于点E ,则可知在ADE ∆中,105DAE ∠=︒,45ADE ∠=︒,30E ∠=︒,所以设12AD =,22AE x =,624DE x +=,CD m =,因为2BC =,所以62sin1514x m ⎛⎫++⋅︒=⇒ ⎪⎪⎝⎭62624x m ++=+, 所以04x <<,而62262424AB x m x x m +-=+-=+2622x =+-, 所以AB 的取值范围是()62,62-+.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.(17)【2015年新课标全国Ⅰ,理17】(本小题满分12分)n S 为数列{}n a 的前n 项和,已知0n a >,243n n n a a S +=+(Ⅰ)求{}n a 的通项公式, (Ⅱ)设11n n n b a a +=,求数列{}n b 的前n 项和. 解:(Ⅰ)由2243n n n a a S +=+,可知2111243n n n a a S ++++=+,可得()2211124n n n n n a a a a a +++-+-=,即()()()2211112n n n n n n n n a a a a a a a a ++++-=-=+- 由于0n a >,可得12n n a a +-=.又2111243a a a +=+,解得11a =-(舍去),13a = 所以{}n a 是首项为3,公差为2的等差数列,通项公式为21n a n =+. ……6分(Ⅱ)由21n a n =+可知,111111(21)(23)22123n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪++++⎝⎭. 设数列{}n b 的前n 项和为n T ,则1211111112355721233(23)n n n T b b b n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ……12分(18)【2015年新课标全国Ⅰ,理18】(本小题满分12分)如图, 四边形ABCD 为菱形,120ABC ∠=︒,E ,F 是平面ABCD 同一侧的两点,BE ⊥平面ABCD ,DF ⊥平面ABCD ,2BE DF =,AE EC ⊥. (Ⅰ)证明:平面ACE ⊥平面AFC .(Ⅱ)求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值. 解:(Ⅰ)连接BD ,设BD AC G =,连接EG ,FG ,EF .在菱形ABCD 中,不妨设1GB =,由120ABC ∠=︒,可得3AG GC ==.由BE ABCD ⊥平面,AB BC =,可知AE EC =. 又AE EC ⊥,所以3EG =,且EG AC ⊥.在Rt EBG ∆中,可得2BE =,故22DF =.在Rt FDG ∆中,可得62FG =.在直角梯形BDFE 中,由2BD =,2BE =,22DF =,可得322EF =. 从而222EG FG EF +=,所以EG FG ⊥,又AC FG G =,可得EG AFC ⊥平面. 因为EG AEC ⊂平面,所以AEC AFC ⊥平面平面. ……6分(Ⅱ)如图,以G 为坐标原点,分别以GB , GC 方向为x 轴,y 轴正方向,GB 为单位长,建立空间直角坐标系G xyz -.由(Ⅰ)可得()0,3,0A -,()1,0,2E , 21,0,2F ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,()0,3,0C . 所以()1,3,2AE =,21,3,2CF ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭. ……10分故()3cos ,3AE CF AE CF AE CF•==-,所以直线AE 与直线CF 所成角余弦值为33-. ……12分 (19)【2015年新课标全国Ⅰ,理19】(本小题满分12分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x (单位:千元)对年销售量y (单位:t )和年利润z (单位:千元)的影响,对近8年的年宣传费1x 和年销售量()11,2,,8y i =数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.xy w()1211x xx +-∑()1211x w w +-∑()()111x xx y y +--∑ ()()111x w w y y +--∑46.6 56.3 6.8 289.8 1.6 1469108.8表中11w x =,11118x w w +=∑. (Ⅰ)根据散点图判断,y a bx =+与y c d x =+哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据,建立y 关于x 的回归方程;(Ⅲ)以知这种产品的年利率z 与x 、y 的关系为0.2z y x =-.根据(Ⅱ)的结果回答下列问题:(i )年宣传费49x =时,年销售量及年利润的预报值是多少? (ii )年宣传费x 为何值时,年利率的预报值最大? 附:对于一组数据()11,u v ,()22,u v …….. (),n n u v ,其回归线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为:()()()121ˆnii i nii uu v vuuβ==--=-∑∑,ˆˆv u αβ=-. 解:(Ⅰ)由散点图可以判断,y c d x =+适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型.……2分 (Ⅱ)令w x =,先建立y 关于w 的线性回归方程.由于()()()81821108.8681.6iii i i w w yyd w w==--===-∑∑, 56368 6.8100.6c y d w =-=-⨯=,所以y 关于w 的线性回归方程为100.668y w =+,因此y 关于w 的线性回归方程为100.668y x =+. ……6分 (Ⅲ)(i )由(Ⅱ)知,当49x =时,年销售量y 的预报值100.66849576.6y =+=,年利润z 的预报值0.2576.64966.32z =⨯-=.……9分(ii )根据(Ⅱ)的结果知,年利润z 的预报值()0.2100.66813.620.12z x x x x =⨯+-=-++. 所以当13.66.82x ==,即46.24x =时,z 取得最大值. 故年宣传费为46.24千元时,年利润的预报值最大.……12分(20)【2015年新课标全国Ⅰ,理20】(本小题满分12分)在直角坐标系xOy 中,曲线2:4x C y =与直线()0y kx a a =+>交与M ,N 两点,(Ⅰ)当0k =时,分别求C 在点M 和N 处的切线方程;(Ⅱ)y 轴上是否存在点P ,使得当k 变动时,总有OPM OPN ∠=∠?说明理由. 解:(Ⅰ)由题设可得()2,M a a ,()2,N a a -,或()2,M a a -,()2,N a a .又2x y '=,故24x y =在2x a =处的导数值为a .C 在点()2,a a -处的切线方程为()2y a a x a -=-,即0ax y a ++=.故所求切线方程为0ax y a ++=和0ax y a --=. ……5分(Ⅱ)存在符合题意的点.证明如下:设()0,P b 为符合题意的点,()11,M x y ,()22,N x y ,直线PM ,PN 的斜率分别为1k ,2k .将y kx a =+代入C 的方程得2440x kx a --=.故124x x k +=, 124x x a =-.从而()()()1212121212122kx x a b x x k a b y b y b k k x x x x a+-++--+=+==.当b a =-时,有120k k +=, 则直线PM 的倾角与直线PN 的倾角互补,故OPM OPN ∠=∠,所以点()0,P a -符合题意.……12分(21)【2015年新课标全国Ⅰ,理21】(本小题满分12分)已知函数()31,()ln 4f x x axg x x =++=-.(Ⅰ)当a 为何值时,x 轴为曲线()y f x =的切线;(Ⅱ)用{}min ,m n 表示,m n 中的最小值,设函数}{()min (),()(0)h x f x g x x =>,讨论()h x 零点的个数. 解:(Ⅰ)设曲线()y f x =与x 轴相切于点()0,0x ,则0()0f x =,0()0f x '=,代入可解得012x =,34a =-. 因此,当34a =-时,x 轴为曲线()y f x =的切线. ……5分(Ⅱ)当()1,x ∈+∞时,()ln 0g x x =-<,从而{}()min (),()()0h x f x g x g x =≤<,故()h x 在()1,+∞无零点.当1x =时,若54a ≥-,则5(1)04f a =+≥,{}(1)min (1),(1)(1)0h fg g ===,故1x =是()h x 的零点;若54a <-,则5(1)04f a =+<.{}(1)min (1),(1)(1)0h fg f ==<,故1x =不是()h x 的零点.当()0,1x ∈时,()ln 0g x x =->,所以只需考虑()f x 在()0,1的零点个数.(i )若3a ≤-或0a ≥,则2()3f x x a '=+/在()0,1无零点,故()f x 在()0,1单调.而1(0)4f =,5(1)4f a =+,所以当3a ≤-时,()f x 在()0,1有一个零点;当0a ≥时,()f x 在()0,1无零点.(ii )若30a -<<,则()f x 在0,3a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭单调递减,在,13a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭单调递增,故在()0,1中,当3a x =- 时,()f x 取得最小值,最小值为213334a a a f ⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭.①若03a f ⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭,即304a -<<,()f x 在()0,1无零点.②若03a f ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭,即34a =-,()f x 在()0,1有唯一零点.③03a f ⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭,即334a -<<-,由于1(0)4f =,5(1)4f a =+,所以当5344a -<<-时,()f x 在()0,1有两个零点;当534a -<≤-时,()f x 在()0,1有一个零点.综上,当34a >-或54a <-时,()h x 有一个零点;当34a =-或54a =-时,()h x 有两个零点;当34a >-或54a <-时,()h x 有三个零点. ……12分请考生在(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做第一个题目计分,做答时,请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. (22)【2015年新课标全国Ⅰ,理22】(本题满分10分)(选修4-1:几何证明选讲)如图AB 是O 直径,AC 是O 切线,BC 交O 与点E . (Ⅰ)若D 为AC 的中点,证明:DE 是O 的切线;(Ⅱ)若3OA CE =,求ACB ∠的大小.解:(Ⅰ)连接AE ,由已知得AE BC ⊥,AC AB ⊥.在Rt AEC ∆中由已知得DE DC =,故DEC DCE ∠=∠. 连接OE ,则OEB OBE ∠=∠.又90ACB ABC ∠+∠=︒,所以90DEC OEB ∠+∠=︒,故90OED ∠=︒,DE 是O 的切线 ……5分 (Ⅱ)设1CE =,AE x =,由已知得AB =BE =由射影定理,2AE CE BE =,所以2x =x =60ACB ∠=︒. ……10分(23)【2015年新课标全国Ⅰ,理23】(本小题满分10分)(选修4-4:坐标系与参数方程)直角坐标系xOy 中.直线1:2C x =-,圆2C :()()22121x y -+-=,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)求1C ,2C 的极坐标方程;(Ⅱ)若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈,设2C 与3C 的交点为M ,N ,求2C MN ∆的面积.解:(Ⅰ)因为cos x ρθ=,sin y ρθ=,所以1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-,2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=. ……5分(Ⅱ)将4πθ=代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=,得240ρ-+=,解得1ρ=,2ρ=故12ρρ-=,即MN =2C 半径为1,所以2C MN ∆的面积为12. ……10分(24)【2015年新课标全国Ⅰ,理24】(本小题满分10分)(选修4-5:不等式选讲)已知函数()12f x x x a =+--,0a >.(Ⅰ)当1a =时,求不等式()1f x >的解集;(Ⅱ)若()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6,求a 的取值范围. 解:(Ⅰ)当1a =时,()1f x >化为12110x x +--->.当1x ≤-,不等式化为40x ->,无解;当11x -<<时,不等式化为320x ->,解得213x <<; 当1x ≥时,不等式化为20x -+>,解得12x ≤<.所以()1f x >解集为2,23x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. ……5分(Ⅱ)由题设可得12,1()312,112,x a x f x x a x a x a x a --<⎧⎪=+--≤≤⎨⎪-++>⎩,所以函数()f x 的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为21,03a A -⎛⎫⎪⎝⎭,()21,0B a +,(),1C a a +,ABC ∆的面积为()2213a +.由题设得()22163a +>,故2a >.所以a 的取值范围为()2,+∞.……10分。

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