第22章 二次函数单元测试题一、选择题（共24分）1、抛物线1)3(22+-=x y 的顶点坐标是（ ）A ．(3，1)B ．(3，－1)C ．(－3，1)D ．(－3，－1) 2、将抛物线y =（x ﹣1）2+3向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为（ ） A ． y =（x ﹣2）2B ． y =（x ﹣2）2+6C ． y =x 2+6D ． y =x 23、已知二次函数y =x 2－3x +m （m 为常数）的图象与x 轴的一个交点为（1，0），则关于x 的一元二次方程x 2－3x +m =0的两实数根是（ ） A ．x 1=1，x 2=－1B ．x 1=1，x 2=2C ．x 1=1，x 2=0D ．x 1=1，x 2=34、下列二次函数中，图像以直线x =2为对称轴，且经过点(0,1)的是 （ ）A 、1)2(2+-=x yB 、1)2(2++=x yC 、3)2(2--=x yD 、3)2(2-+=x y 5、若x 1,x 2(x 1 ＜x 2)是方程(x －a )(x －b ) = 1(a < b )的两个根，则实数x 1,x 2,a,b 的大小关系为（ ） A ．x 1＜x 2＜a ＜b B ．x 1＜a ＜x 2＜b C ．x 1＜a ＜b ＜x 2 D ．a ＜x 1＜b ＜x 2 6、)0(1≠+=k n kx y 与二次函数)0(22≠++=a c bx ax y 的图象相交于A (1-，5)、B (9，2)两点，则关于x 的不等式c bx ax n kx ++≥+2解集为( )A 、91≤≤-xB 、91<≤-xC 、91≤<-xD 、1-≤x 或9≥x 7、已知两点),3(),,5(21y B y A -均在抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 上，点),(00y x C 是该抛物线的顶点，若021y y y ≥>，则0x 的取值范围是（ ）A ．50->xB ．10->xC ．150-<<-xD ．320<<-x8、若二次涵数y =ax +bx +c (a ≠0)的图象与x 轴有两个交点，坐标分别为(x 1，0)，(x 2，0)，且x 1<x 2，图象上有一点M (x 0，y 0)在x 轴下方，则下列判断正确的是（ ）． A ．a >0B ．b 2－4ac ≥0C ．x 1<x 0<x 2D ．a (x 0－x 1)( x 0－x 2)<0二、填空题（每小题3分，共24分）9、函数62--=x x y 的图像与x 轴的交点坐标是 ；10、写出一个开口向上，顶点坐标是（2，－3）的函数解析式 ； 11、如果函数是二次函数，那么k 的值一定是 .第6题图12、如图所示，已知二次函数的图象经过（－1,0）和（0,－1）两点，则化简代数式= .13、二次函数2y ax bx =+的图象如图，若一元二次方程20ax bx m ++=有实数根，则m 的最大值为14、如图，一段抛物线：y ＝－x (x －3)（0≤x ≤3），记为C 1，它与x 轴交于点O ，A 1；将C 1绕点A 1旋转180°得C 2，交x 轴于点A 2； 将C 2绕点A 2旋转180°得C 3，交x 轴于点A 3； ……如此进行下去，直至得C 13．若P （37，m ） 在第13段抛物线C 13上，则m =_________．15如图，抛物线y ＝－x 2+2x +m （m ＜0）与x 轴相交于点A （x 1，0）、B （x 2，0），点A 在点B 的左侧．当x ＝x 2－2时，y 0（填“＞”“＝”或“＜”号）．16、小轩从如图所示的二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息： ①ab ＞0；②a +b +c ＜0；③b +2c ＞0；④a ﹣2b +4c ＞0；⑤．你认为其中正确的信息是 三、解答题17.（8分）已知抛物线的解析式为(1)求证：此抛物线与x 轴必有两个不同的交点； (2)若此抛物线与直线的一个交点在y 轴上，求m 的值.第14题图第13题第15题图第12题图第16题图18、（8分）已知抛物线y 1=ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴相交于点A ，B （点A ，B 在原点O 两侧），与y 轴相交于点C ，且点A ，C 在一次函数y 2=34x +n 的图象上，线段AB 长为16，线段OC 长为8，当y 1随着x 的增大而减小时，求自变量x 的取值范围．19．（8分）二次函数y ＝ax 2+bx +c (a ≠0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1）写出方程ax 2+bx +c ＝0的两个根。

（2）写出不等式ax 2+bx +c ＞0的解集。

（3）写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围。

（4）若方程ax 2+bx +c ＝k 有两个不相等的实数根，求k 的取值范围20．（8分）在关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧=+=-a 2y x 1y 2x 中．（1）若a =3．求方程组的解； （2）若S =a （3x +y ），当a 为何值时，S 有最值．21．（8分）如图，Rt △ABC 中，AC =BC =2，正方形CDEF 的顶点D 、F 分别在AC 、BC 边上，C 、D 两点不重合，设CD 的长度为x ，△ABC 与正方形CDEF 重叠部分的面积为y ， (1)求y 与x 之间的函数关系 (2)x 为何值时重叠部分的面积最大第21题图22．（本题满分10分）已知关于x 的方程22(23)10x k x k --++=有两个不相等的实数根1x 、2x ． （1）求k 的取值范围；（3分） （2）试说明10x <，20x <；（3分）（3）若抛物线22(23)1y x k x k =--++与x 轴交于A 、B 两点，点A 、点B 到原点的距离分别为OA 、OB ，且23OA OB OA OB +=⋅-，求k 的值．（4分）23．（10分）九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x （1≤x ≤90）天的售价与销量的相关信息如下表：已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y 元． （1）求出y 与x 的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果．24、（12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数=++y x bx c 的图象与x 轴交于A 、B 两点，B 点的坐标为(3，0)，与y 轴交于点(03)C -，，点P 是直线BC 下方抛物线上的一个动点．（1）求二次函数解析式；（2）连接PO ，PC ，并将△POC 沿y 轴对折，得到四边形POP C '.是否存在点P ，使四边形POP C '为菱形？若存在，求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点P 运动到什么位置时，四边形ABPC 的面积最大？求出此时P 点的坐标和四边形ABPC 的最大面积.C第24题图1第24题图2(备用)参考答案一、1、A 2、D 3、B 4、C 5、C 6、A 7、B 8、D7、解析：由点),(00y x C 是该抛物线的顶点，且021y y y ≥>，所以0y 为函数的最小值，即得出抛物线的开口向上，因为021y y y ≥>，所以得出点A 、B 可能在对称轴的两侧或者是在对称轴的左侧，当在对称轴的左侧时，y 随x 的增大而减小，因此0x >3，当在对称轴的两侧时，点B 距离对称轴的距离小于点A 到对称轴的距离，即得0x －（－5）>3－0x ,解得10->x ，综上所得：10->x ，故选B8【解题思路】 抛物线与x 轴有不同的两个交点，则240b ac ->，与B 矛盾，可排除B 选项；剩下A 、C 、D 不能直接作出正误判断，我们分a >0,a <0两种情况画出两个草图来分析（见下图）.由图可知a 的符号不能确定（可正可负，即抛物线的开口可向上，也右向下），所以012,,x x x 的大小就无法确定；在图1中，a >0且有102x x x <<，则0102()()a x x x x --的值为负；在图2中，a <0且有102x x x <<，则0102()()a x x x x --的值也为负.所以正确选项为D .二、9、(－2,0)(3,0)10、略11、0 12、a213、3 14、2 15、＜ 抛物线22y x x m =-++（m ＜0）与x 轴相交于点A （x 1，0）、B （x 2，0），∴ 220x x m -++=x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－m ＞0，∴x 1＝2－x 2，∴x ＝－x 1＜0，由图象知，当x ＜0时，y ＜0。

16、解答：解：①如图，∵抛物线开口方向向下，∴a＜0．∵对称轴x=﹣=﹣，∴b =a＜0，∴ab＞0．故①正确；②如图，当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0．故②正确；③如图，当x=﹣1时，y=a﹣b+c＞0，∴2a﹣2b+2c＞0，即3b﹣2b+2c＞0，∴b+2c＞0．故③正确；④如图，当x=﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0．抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0．∵b＜0，∴c﹣b＞0，∴（a﹣b+c）+（c﹣b）+2c＞0，即a﹣2b+4c＞0．故④正确；⑤如图，对称轴x=﹣=﹣，则．故⑤正确．综上所述，正确的结论是①②③④⑤，共5个．17.(1)证明：∵∴∴方程有两个不相等的实数根.∴抛物线与轴必有两个不同的交点.(2)解:令则解得18解：根据OC长为8可得一次函数中的n的值为8或﹣8．分类讨论：①n=8时，易得A（﹣6，0）如图1，∵抛物线经过点A、C，且与x轴交点A、B在原点的两侧，∴抛物线开口向下，则a＜0，∵AB=16，且A（﹣6，0），∴B（10，0），而A、B关于对称轴对称，∴对称轴直线x ==2，要使y1随着x的增大而减小，则a＜0，∴x＞2；（2）n=﹣8时，易得A（6，0），如图2，∵抛物线过A、C两点，且与x轴交点A，B在原点两侧，∴抛物线开口向上，则a＞0，∵AB=16，且A（6，0），∴B（﹣10，0），而A、B关于对称轴对称，∴对称轴直线x==﹣2，要使y1随着x的增大而减小，且a＞0，∴x＜﹣2．19、解：（1）由图可知，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于（1，0）、（3，0）两点．∴x1=1，x2=3；（2）依题意因为ax2+bx+c＞0，得出x的取值范围为1＜x＜3；（2分）（3）如图可知，当y随x的增大而减小，自变量x的取值范围为x＞2；（2分）（4）由顶点（2，2）设方程为a（x－2）2+2=0，∵二次函数与x轴的2个交点为（1，0），（3，0），代入a（x－2）2+2=0得：a（1－2）2+2=0，∴a=－2，∴抛物线方程为y=－2（x－2）2+2，y=－2（x－2）2+2－k实际上是原抛物线下移或上移|k|个单位．由图象知，当2－k＞0时，抛物线与x 轴有两个交点．故k＜2．（4分）20、解：（1）a=3时，方程组为，②×2得，4x﹣2y=2③，①+③得，5x=5，解得x=1，把x=1代入①得，1+2y=3，解得y=1，所以，方程组的解是；（2）方程组的两个方程相加得，3x+y=a+1，所以，S=a（3x+y）=a（a+1）=a2+a，所以，当a =﹣=﹣时，S 有最小值．21、解答：解：当0＜x ≤1时，y =x 2，当1＜x ≤2时，ED 交AB 于M ，EF 交AB 于N ，如图， CD =x ，则AD =2﹣x ， ∵Rt △ABC 中，AC =BC =2， ∴△ADM 为等腰直角三角形，∴DM =2﹣x ，∴EM =x ﹣（2﹣x ）=2x ﹣2， ∴S △ENM =（2x ﹣2）2=2（x ﹣1）2，∴y =x 2﹣2（x ﹣1）2=﹣x 2+4x ﹣2=﹣（x ﹣2）2+2，∴y =22、解：（1）由题意可知：[]224(1)0(23)k k -+>--=， ························· 1分 即0512>+-k ························ 2分∴512k <． ························· 3分 （2）∵1221223010x x k x x k +=-<⎧⎪⎨=+>⎪⎩， ························· 5分 ∴120,0x x <<． ························· 6分（3）依题意，不妨设A （x 1,0），B （x 2,0）.∴1212()(23)OA OB x x x x k +=+=-+=--，2121212()()1OA OB x x x x x x k =--=--==+， ····················· 8分∵23OA OB OA OB +=-， ∴2(23)2(1)3k k --=+-，解得k 1＝1，k 2＝－2． ··························· 9分 ∵512k <，∴k ＝－2． ························· 10分 23．（10分）（1）当1≤x ＜50时，y =（200﹣2x ）（x +40﹣30）=﹣2x 2+180x +200， 当50≤x ≤90时，y =（200﹣2x ）（90﹣30）=﹣120x +12000， 综上所述：y =；21题答（2）当1≤x ＜50时，二次函数开口下，二次函数对称轴为x =45， 当x =45时，y 最大=﹣2×452+180×45+2000=6050， 当50≤x ≤90时，y 随x 的增大而减小， 当x =50时，y 最大=6000，综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元； （3）当20≤x ≤60时，每天销售利润不低于4800元． 24、解：（1）将B 、C 两点的坐标代入2=++y x bx c ，得93=0,= 3.b c c ++⎧⎨-⎩解之，得=2,= 3.b c -⎧⎨-⎩所以二次函数的解析式为2=23y x x --. ………………………………… 3分 （2）如图1，假设抛物线上存在点P ，使四边形POP C '为菱形，连接PP '交CO 于点E ．∵四边形POP C '为菱形， ∴PC=PO ，且PE ⊥CO ．∴OE=EC=32，即P 点的纵坐标为32-.……5分由223x x --=32-，得12x x 所以存在这样的点，此时P，32-）. …………7分 （3）如图2，连接PO ，作PM ⊥x 于M ，PN ⊥y 于N ．设P 点坐标为（x ，223x x --）， 由223x x --=0，得点A 坐标为（－1，0）.∴AO=1，OC=3， OB=3，P Ｍ=223x x -++，PN ＝x ． ∴S 四边形ABPC =AOC S ∆+POB S ∆+POC S ∆=12AO·OC +12OB·PM +12OC·PN =12×1×3+12×3×(223x x -++)+12×3×x =239622x x -++P 第25题图1第25题图2(备用)=23375()228x --+. 易知，当x=32时，四边形ABPC 的面积最大．此时P 点坐标为（32，154-），四边形ABPC 的最大面积为758.。