2018年广东省深圳市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合A={2，4，6，8}，B={x|x2﹣9x+18≤0}，则A∩B=（）A．{2，4}B．{4，6}C．{6，8}D．{2，8}2．若复数（a∈R）为纯虚数，其中i为虚数单位，则a=（）A．2 B．3 C．﹣2 D．﹣33．袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字“2”，“3”，“4”，“6”，现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是（）A．B．C．D．4．等比数列{a n}的前n项和为S n=a•3n﹣1+b，则=（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．35．直线l：kx+y+4=0（k∈R）是圆C：x2+y2+4x﹣4y+6=0的一条对称轴，过点A （0，k）作斜率为1的直线m，则直线m被圆C所截得的弦长为（）A． B．C．D．26．祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是，如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．此即祖暅原理．利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体三视图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行相距为h（0＜h＜2）的平面截该几何体，则截面面积为（）A．4πB．πh2C．π（2﹣h）2D．π（4﹣h）27．函数f（x）=•cosx的图象大致是（）A．B．C．D．8．已知a＞b＞0，c＜0，下列不等关系中正确的是（）A．ac＞bc B．a c＞b cC．log a（a﹣c）＞log b（b﹣c） D．＞9．执行如图所示的程序框图，若输入p=2018，则输出i的值为（）A．335 B．336 C．337 D．33810．已知F是双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点，过点F作E的一条渐近线的垂线，垂足为P，线段PF与E相交于点Q，记点Q到E的两条渐近线的距离之积为d2，若|FP|=2d，则该双曲线的离心率是（）A．B．2 C．3 D．411．已知棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，球O与该正方体的各个面相切，则平面ACB1截此球所得的截面的面积为（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=，x≠0，e为自然对数的底数，关于x的方程+﹣λ=0有四个相异实根，则实数λ的取值范围是（）A．（0，）B．（2，+∞）C．（e+，+∞）D．（+，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13．已知向量=（1，2），=（x，3），若⊥，则|+|=．14．（﹣）5的二项展开式中，含x的一次项的系数为（用数字作答）．15．若实数x，y满足不等式组，目标函数z=kx﹣y的最大值为12，最小值为0，则实数k=．16．已知数列{a n}满足na n﹣（n+2）a n=λ（n2+2n），其中a1=1，a2=2，若a n＜a n+1+2对∀n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知2a=csinA﹣acosC．（1）求C；（2）若c=，求△ABC的面积S的最大值．18．如图，四边形ABCD为菱形，四边形ACEF为平行四边形，设BD与AC相交于点G，AB=BD=2，AE=，∠EAD=∠EAB．（1）证明：平面ACEF⊥平面ABCD；（2）若AE与平面ABCD所成角为60°，求二面角B﹣EF﹣D的余弦值．19．某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200度的部分按0.5元/度收费，超过200度但不超过400度的部分按0.8元/度收费，超过400度的部分按1.0元/度收费．（1）求某户居民用电费用y（单位：元）关于月用电量x（单位：度）的函数解析式；（2）为了了解居民的用电情况，通过抽样，获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图，若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元的点80%，求a，b的值；（3）在满足（2）的条件下，若以这100户居民用电量的频率代替该月全市居民用户用电量的概率，且同组中的数据用该组区间的中点值代替，记Y为该居民用户1月份的用电费用，求Y的分布列和数学期望．20．已成椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左右顶点分别为A1、A2，上下顶点分别为B2/B1，左右焦点分别为F1、F2，其中长轴长为4，且圆O：x2+y2=为菱形A1B1A2B2的内切圆．（1）求椭圆C的方程；（2）点N（n，0）为x轴正半轴上一点，过点N作椭圆C的切线l，记右焦点F2在l上的射影为H，若△F1HN的面积不小于n2，求n的取值范围．21．已知函数f（x）=xlnx，e为自然对数的底数．（1）求曲线y=f（x）在x=e﹣2处的切线方程；（2）关于x的不等式f（x）≥λ（x﹣1）在（0，+∞）上恒成立，求实数λ的值；（3）关于x的方程f（x）=a有两个实根x1，x2，求证：|x1﹣x2|＜2a+1+e﹣2．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系中xOy中，已知曲线E经过点P（1，），其参数方程为（α为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线E的极坐标方程；（2）若直线l交E于点A、B，且OA⊥OB，求证： +为定值，并求出这个定值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）=|x+a|，g（x）=|x+3|﹣x，记关于x的不等式f（x）＜g（x）的解集为M．（1）若a﹣3∈M，求实数a的取值范围；（2）若[﹣1，1]⊆M，求实数a的取值范围．2018年广东省深圳市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合A={2，4，6，8}，B={x|x2﹣9x+18≤0}，则A∩B=（）A．{2，4}B．{4，6}C．{6，8}D．{2，8}【考点】交集及其运算．【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：∵A={2，4，6，8}，B={x|x2﹣9x+18≤0}={x|（x﹣3）（x﹣6）≤0}={x|3≤x≤6}，∴A∩B={4，6}，故选：B．2．若复数（a∈R）为纯虚数，其中i为虚数单位，则a=（）A．2 B．3 C．﹣2 D．﹣3【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，根据已知条件列出方程组，求解即可得答案．【解答】解：==，∵复数（a∈R）为纯虚数，∴，解得：a=﹣2．故选：C．3．袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字“2”，“3”，“4”，“6”，现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是（）A．B．C．D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】现从中随机选取三个球，基本事件总数n==4，所选的三个球上的数字能构成等差数列包含的基本事件的个数，由此能求出所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率．【解答】解：袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字“2”，“3”，“4”，“6”，现从中随机选取三个球，基本事件总数n==4，所选的三个球上的数字能构成等差数列包含的基本事件有：（2，3，4），（2，4，6），共有2个，∴所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是p==．故选：B．4．等比数列{a n}的前n项和为S n=a•3n﹣1+b，则=（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3【考点】等比数列的通项公式．【分析】由等比数列{a n}的前n项和求出前3项，由此能求出利用等比数列{a n}中，，能求出．【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n=a•3n﹣1+b，∴a1=S1=a+b，a2=S2﹣S1=3a+b﹣a﹣b=2a，a3=S3﹣S2=9a+b﹣3a﹣b=6a，∵等比数列{a n}中，，∴（2a）2=（a+b）×6a，解得=﹣3．故选：A．5．直线l：kx+y+4=0（k∈R）是圆C：x2+y2+4x﹣4y+6=0的一条对称轴，过点A （0，k）作斜率为1的直线m，则直线m被圆C所截得的弦长为（）A． B．C．D．2【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求出圆的标准方程可得圆心和半径，由直线l：kx+y+4=0经过圆C的圆心（﹣2，2），求得k的值，可得点A的坐标，求出圆心到直线的距离，即可得出结论．【解答】解：∵圆C：x2+y2+4x﹣4y+6=0，即（x+2）2+（y﹣2）2 =2，表示以C（﹣2，2）为圆心、半径等于的圆．由题意可得，直线l：kx+y+4=0经过圆C的圆心（﹣2，2），故有﹣2k+2+4=0，∴k=3，点A（0，3）．直线m：y=x+3，圆心到直线的距离d==，∴直线m被圆C所截得的弦长为2=．故选：C．6．祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是，如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．此即祖暅原理．利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体三视图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行相距为h（0＜h＜2）的平面截该几何体，则截面面积为（）A．4πB．πh2C．π（2﹣h）2D．π（4﹣h）2【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由题意，首先得到几何体为一个圆柱挖去一个圆锥，得到截面为圆，明确其半径求面积．【解答】解：由已知得到几何体为一个圆柱挖去一个圆锥，底面半径为2高为2，设截面的圆半径为r，则，得到r=h，所以截面圆的面积为πh2；故选B．7．函数f（x）=•cosx的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】先判断函数的奇偶性，再判断函数值，问题得以解决．【解答】解：f（﹣x）=•cos（﹣x）=•cosx=﹣f（x），∴f（x）为奇函数，∴函数f（x）的图象关于原点对称，当x∈（0，）时，cosx＞0，＞0，∴f（x）＞0在（0，）上恒成立，故选：C8．已知a＞b＞0，c＜0，下列不等关系中正确的是（）A．ac＞bc B．a c＞b cC．log a（a﹣c）＞log b（b﹣c） D．＞【考点】不等式的基本性质．【分析】根据不等式的性质求出a（b﹣c）＞b（a﹣c）以及a﹣c＞b﹣c＞0，从而求出答案．【解答】解：∵a＞b＞0，c＜0，﹣c＞0，∴a﹣c＞b﹣c＞0，ac＜bc，故a（b﹣c）＞b（a﹣c），故＞，故选：D．9．执行如图所示的程序框图，若输入p=2018，则输出i的值为（）A．335 B．336 C．337 D．338【考点】程序框图．【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出输出i的值．【解答】解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是统计1到2018这些数中能同时被2和3整除的数的个数i，由于：2018=336×6+1，故程序框图输出的i的值为336．故选：B．10．已知F是双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点，过点F作E的一条渐近线的垂线，垂足为P，线段PF与E相交于点Q，记点Q到E的两条渐近线的距离之积为d2，若|FP|=2d，则该双曲线的离心率是（）A．B．2 C．3 D．4【考点】双曲线的简单性质．【分析】E上任意一点Q（x，y）到两条渐近线的距离之积为d1d2===d2，F（c，0）到渐近线bx﹣ay=0的距离为=b=2d，求出可求双曲线的离心率．【解答】解：E上任意一点Q（x，y）到两条渐近线的距离之积为d1d2===d2，F（c，0）到渐近线bx﹣ay=0的距离为=b=2d，∴，∴e==2，故选B．11．已知棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，球O与该正方体的各个面相切，则平面ACB1截此球所得的截面的面积为（）A．B．C．D．【考点】球的体积和表面积．【分析】求出平面ACB1截此球所得的截面的圆的半径，即可求出平面ACB1截此球所得的截面的面积．【解答】解：由题意，球心与B的距离为=，B到平面ACB1的距离为=，球的半径为1，球心到平面ACB1的距离为﹣=，∴平面ACB1截此球所得的截面的圆的半径为=，∴平面ACB1截此球所得的截面的面积为=，故选A．12．已知函数f（x）=，x≠0，e为自然对数的底数，关于x的方程+﹣λ=0有四个相异实根，则实数λ的取值范围是（）A．（0，）B．（2，+∞）C．（e+，+∞）D．（+，+∞）【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】求导数，确定函数的单调性，可得x=2时，函数取得极大值，关于x的方程+﹣λ=0有四个相异实根，则t+﹣λ=0的一根在（0，），另一根在（，+∞）之间，即可得出结论．【解答】解：由题意，f′（x）=，∴x＜0或x＞2时，f′（x）＜0，函数单调递减，0＜x＜2时，f′（x）＞0，函数单调递增，∴x=2时，函数取得极大值，关于x的方程+﹣λ=0有四个相异实根，则t+﹣λ=0的一根在（0，），另一根在（，+∞）之间，∴，∴λ＞e+，故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13．已知向量=（1，2），=（x，3），若⊥，则|+|=5．【考点】平面向量的坐标运算．【分析】⊥，可得=0，解得x．再利用向量模的计算公式即可得出．【解答】解：∵⊥，∴=x+6=0，解得x=﹣6．∴=（﹣5，5）．∴|+|==5．故答案为：5．14．（﹣）5的二项展开式中，含x的一次项的系数为﹣5（用数字作答）．【考点】二项式系数的性质．【分析】写出二项展开式的通项，由x的指数等于1求得r值，则答案可求．【解答】解：（﹣）5的二项展开式中，通项公式为：=••=（﹣1）r••，T r+1令=1，得r=1；∴二项式（﹣）5的展开式中含x的一次项系数为：﹣1•=﹣5．故答案为：﹣5．15．若实数x，y满足不等式组，目标函数z=kx﹣y的最大值为12，最小值为0，则实数k=3．【考点】简单线性规划．【分析】先画出可行域，得到角点坐标．利用k与0的大小，分类讨论，结合目标函数的最值求解即可．【解答】解：实数x，y满足不等式组的可行域如图：得：A（1，3），B（1，﹣2），C（4，0）．①当k=0时，目标函数z=kx﹣y的最大值为12，最小值为0，不满足题意．②当k＞0时，目标函数z=kx﹣y的最大值为12，最小值为0，当直线z=kx﹣y 过C（4，0）时，Z取得最大值12．当直线z=kx﹣y过A（3，1）时，Z取得最小值0．可得k=3，满足题意．③当k＜0时，目标函数z=kx﹣y的最大值为12，最小值为0，当直线z=kx﹣y 过C（4，0）时，Z取得最大值12．可得k=﹣3，当直线z=kx﹣y过，B（1，﹣2）时，Z取得最小值0．可得k=﹣2，无解．综上k=3故答案为：3．16．已知数列{a n}满足na n﹣（n+2）a n=λ（n2+2n），其中a1=1，a2=2，若a n＜a n+1+2对∀n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围是[0，+∞）．【考点】数列递推式．【分析】把已知递推式变形，可得数列{}的奇数项与偶数项均是以λ为公差，分离参数λ求解．的等差数列，分类求其通项公式，代入a n＜a n+1﹣（n+2）a n=λ（n2+2n）=λn（n+2），【解答】解：由na n+2得，∴数列{}的奇数项与偶数项均是以λ为公差的等差数列，∵a1=1，a2=2，∴当n为奇数时，，∴；当n为偶数时，，∴．，得＜，当n为奇数时，由a n＜a n+1即λ（n﹣1）＞﹣2．若n=1，λ∈R，若n＞1则λ＞，∴λ≥0；当n为偶数时，由a n＜a n，得＜，+1即3nλ＞﹣2，∴λ＞，即λ≥0．综上，λ的取值范围为[0，+∞）．故答案为：[0，+∞）．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知2a=csinA﹣acosC．（1）求C；（2）若c=，求△ABC的面积S的最大值．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sin（C﹣）=1，结合C的范围，可得C的值．（2）由余弦定理，基本不等式可求ab≤1，进而利用三角形面积公式可求△ABC 面积的最大值．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵2a=csinA﹣acosC，∴由正弦定理可得：2sinA=sinCsinA﹣sinAcosC，…2分∵sinA≠0，∴可得：2=sinC﹣cosC，解得：sin（C﹣）=1，∵C∈（0，π），可得：C﹣∈（﹣，），∴C﹣=，可得：C=．…6分（2）∵由（1）可得：cosC=﹣，∴由余弦定理，基本不等式可得：3=b2+a2+ab≥3ab，即：ab≤1，（当且仅当b=a 时取等号）…8分∴S △ABC =absinC=ab ≤，可得△ABC 面积的最大值为．…12分18．如图，四边形ABCD 为菱形，四边形ACEF 为平行四边形，设BD 与AC相交于点G ，AB=BD=2，AE=，∠EAD=∠EAB ．（1）证明：平面ACEF ⊥平面ABCD ；（2）若AE 与平面ABCD 所成角为60°，求二面角B ﹣EF ﹣D 的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）连接EG ，由四边形ABCD 为菱形，可得AD=AB ，BD ⊥AC ，DG=GB ，可证△EAD ≌△EAB ，进一步证明BD ⊥平面ACEF ，则平面ACEF ⊥平面ABCD ；（2）法一、过G 作EF 的垂线，垂足为M ，连接MB ，MG ，MD ，可得∠EAC 为AE 与面ABCD 所成的角，得到EF ⊥平面BDM ，可得∠DMB 为二面角B ﹣EF ﹣D 的平面角，在△DMB 中，由余弦定理求得∠BMD 的余弦值，进一步得到二面角B ﹣EF ﹣D 的余弦值；法二、在平面ABCD 内，过G 作AC 的垂线，交EF 于M 点，由（1）可知，平面ACEF ⊥平面ABCD ，得MG ⊥平面ABCD ，则直线GM 、GA 、GB 两两互相垂直，分别以GA 、GB 、GM 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系G ﹣xyz ，分别求出平面BEF 与平面DEF 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角B ﹣EF ﹣D 的余弦值． 【解答】（1）证明：连接EG ，∵四边形ABCD 为菱形，∴AD=AB ，BD ⊥AC ，DG=GB ， 在△EAD 和△EAB 中，AD=AB ，AE=AE ，∠EAD=∠EAB ， ∴△EAD ≌△EAB ，∴ED=EB，则BD⊥EG，又AC∩EG=G，∴BD⊥平面ACEF，∵BD⊂平面ABCD，∴平面ACEF⊥平面ABCD；（2）解法一：过G作EF的垂线，垂足为M，连接MB，MG，MD，易得∠EAC为AE与面ABCD所成的角，∴∠EAC=60°，∵EF⊥GM，EF⊥BD，∴EF⊥平面BDM，∴∠DMB为二面角B﹣EF﹣D的平面角，可求得MG=，DM=BM=，在△DMB中，由余弦定理可得：cos∠BMD=，∴二面角B﹣EF﹣D的余弦值为；解法二：如图，在平面ABCD内，过G作AC的垂线，交EF于M点，由（1）可知，平面ACEF⊥平面ABCD，∵MG⊥平面ABCD，∴直线GM、GA、GB两两互相垂直，分别以GA、GB、GM为x、y、z轴建立空间直角坐标系G﹣xyz，可得∠EAC为AE与平面ABCD所成的角，∴∠EAC=60°，则D（0，﹣1，0），B（0，1，0），E（），F（），，，设平面BEF的一个法向量为，则，取z=2，可得平面BEF的一个法向量为，同理可求得平面DEF的一个法向量为，∴cos＜＞==，∴二面角B﹣EF﹣D的余弦值为．19．某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200度的部分按0.5元/度收费，超过200度但不超过400度的部分按0.8元/度收费，超过400度的部分按1.0元/度收费．（1）求某户居民用电费用y（单位：元）关于月用电量x（单位：度）的函数解析式；（2）为了了解居民的用电情况，通过抽样，获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图，若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元的点80%，求a，b的值；（3）在满足（2）的条件下，若以这100户居民用电量的频率代替该月全市居民用户用电量的概率，且同组中的数据用该组区间的中点值代替，记Y为该居民用户1月份的用电费用，求Y的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）利用分段函数的性质即可得出．（2）利用（1），结合频率分布直方图的性质即可得出．（3）由题意可知X可取50，150，250，350，450，550．结合频率分布直方图的性质即可得出．【解答】解：（1）当0≤x≤200时，y=0.5x；当200＜x≤400时，y=0.5×200+0.8×（x﹣200）=0.8x﹣60，当x＞400时，y=0.5×200+0.8×200+1.0×（x﹣400）=x﹣140，所以y与x之间的函数解析式为：y=．（2）由（1）可知：当y=260时，x=400，则P（x≤400）=0.80，结合频率分布直方图可知：0.1+2×100b+0.3=0.8，100a+0.05=0.2，∴a=0.0015，b=0.0020．（3）由题意可知X可取50，150，250，350，450，550．当x=50时，y=0.5×50=25，∴P（y=25）=0.1，当x=150时，y=0.5×150=75，∴P（y=75）=0.2，当x=250时，y=0.5×200+0.8×50=140，∴P（y=140）=0.3，当x=350时，y=0.5×200+0.8×150=220，∴P（y=220）=0.2，当x=450时，y=0.5×200+0.8×200+1.0×50=310，∴P（y=310）=0.15，当x=550时，y=0.5×200×0.8×200+1.0×150=410，∴P（y=410）=0.05．故Y的概率分布列为：所以随机变量Y的数学期望EY=25×0.1+75×0.2+140×0.3+220×0.2+310×0.15+410×0.05=170.5．20．已成椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左右顶点分别为A1、A2，上下顶点分别为B2/B1，左右焦点分别为F1、F2，其中长轴长为4，且圆O：x2+y2=为菱形A1B1A2B2的内切圆．（1）求椭圆C的方程；（2）点N（n，0）为x轴正半轴上一点，过点N作椭圆C的切线l，记右焦点F2在l上的射影为H，若△F1HN的面积不小于n2，求n的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意求得a，直线A2B2的方程为，利用点到直线的距离公式，即可求得b的值，求得椭圆C的方程；（2）设直线方程，代入椭圆方程，由△=0，求得m和n的关系，利用三角形的面积公式，求得m的取值范围，代入即可求得n的取值范围．【解答】解：（1）由题意知2a=4，所以a=2，所以A1（﹣2，0），A2（2，0），B1（0，﹣b），B2（0，b），则直线A2B2的方程为，即bx+2y﹣2b=0，所以=，解得b2=3，故椭圆C的方程为；（2）由题意，可设直线l的方程为x=my+n，m≠0，联立，消去x得（3m2+4）y2+6mny+3（n2﹣4）=0，（*）由直线l与椭圆C相切，得△=（6mn）2﹣4×3×（3m2+4）（n2﹣4）=0，化简得3m2﹣n2+4=0，设点H（mt+n，t），由（1）知F1（﹣1，0），F2（1，0），则•=﹣1，解得：t=﹣，所以△F1HN的面积=（n+1）丨﹣丨=，代入3m2﹣n2+4=0，消去n化简得=丨m丨，所以丨m丨≥n2=（3m2+4），解得≤丨m丨≤2，即≤m2≤4，从而≤≤4，又n＞0，所以≤n≤4，故n的取值范围为[，4]．21．已知函数f（x）=xlnx，e为自然对数的底数．（1）求曲线y=f（x）在x=e﹣2处的切线方程；（2）关于x的不等式f（x）≥λ（x﹣1）在（0，+∞）上恒成立，求实数λ的值；（3）关于x的方程f（x）=a有两个实根x1，x2，求证：|x1﹣x2|＜2a+1+e﹣2．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，计算f′（e﹣2）和f（e﹣2）的值，求出切线方程即可；（2）求出函数g（x）的导数，得到函数的单调区间，求出函数的极小值，从而求出λ的值即可；（3）记h（x）=f（x）﹣（﹣x﹣e﹣2）=xlnx+x+e﹣2，求出h（x）的最小值，得到a=﹣1=f（x2）≥x2﹣1，得到|x1﹣x2|=x2﹣x1≤﹣，从而证出结论．【解答】解（1）对函数f（x）求导得f′（x）=lnx+1，∴f′（e﹣2）=lne﹣2+1=﹣1，又f（e﹣2）=e﹣2lne﹣2=﹣2e﹣2，∴曲线y=f（x）在x=e﹣2处的切线方程为y﹣（﹣2e﹣2）=﹣（x﹣e﹣2），即y=﹣x﹣e﹣2；（2）记g（x）=f（x）﹣λ（x﹣1）=xlnx﹣λ（x﹣1），其中x＞0，由题意知g（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，下面求函数g（x）的最小值，对g（x）求导得g′（x）=lnx+1﹣λ，令g′（x）=0，得x=eλ﹣1，当x变化时，g′（x），g（x）变化情况列表如下：∴g（x）min=g（x）极小值=g（eλ﹣1）=（λ﹣1）eλ﹣1﹣λ（eλ﹣1﹣1）=λ﹣eλ﹣1，∴λ﹣eλ﹣1≥0，记G（λ）=λ﹣eλ﹣1，则G′（λ）=1﹣eλ﹣1，令G′（λ）=0，得λ=1，当λ变化时，G′（λ），G（λ）变化情况列表如下：∴G（λ）max=G（λ）极大值=G（1）=0，故λ﹣eλ﹣1≤0当且仅当λ=1时取等号，又λ﹣eλ﹣1≥0，从而得到λ=1；（3）先证f（x）≥﹣x﹣e﹣2，记h（x）=f（x）﹣（﹣x﹣e﹣2）=xlnx+x+e﹣2，则h′（x）=lnx+2，令h′（x）=0，得x=e﹣2，当x变化时，h′（x），h（x）变化情况列表如下：∴h（x）min=h（x）极小值=h（e﹣2）=e﹣2lne﹣2+e﹣2+e﹣2=0，h（x）≥0恒成立，即f（x）≥﹣x﹣e﹣2，记直线y=﹣x﹣e﹣2，y=x﹣1分别与y=a交于（，a），（，a），不妨设x1＜x2，则a=﹣﹣e﹣2=f（x1）≥﹣x1﹣e﹣2，从而＜x1，当且仅当a=﹣2e﹣2时取等号，由（2）知，f（x）≥x﹣1，则a=﹣1=f（x2）≥x2﹣1，从而x2≤，当且仅当a=0时取等号，故|x1﹣x2|=x2﹣x1≤﹣=（a+1）﹣（﹣a﹣e﹣2）=2a+1+e﹣2，因等号成立的条件不能同时满足，故|x1﹣x2|＜2a+1+e﹣2．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系中xOy中，已知曲线E经过点P（1，），其参数方程为（α为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线E的极坐标方程；（2）若直线l交E于点A、B，且OA⊥OB，求证： +为定值，并求出这个定值．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（1）将点P（1，），代入曲线E的方程，求出a2=3，可得曲线E 的普通方程，即可求曲线E的极坐标方程；（2）利用点的极坐标，代入极坐标方程，化简，即可证明结论．【解答】解：（1）将点P（1，），代入曲线E的方程：，解得a2=3，所以曲线E的普通方程为=1，极坐标方程为=1；（2）不妨设点A，B的极坐标分别为A（ρ1，θ），B（ρ2，），则代入曲线E 的极坐标方程，可得+==，即+为定值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f （x ）=|x +a |，g （x ）=|x +3|﹣x ，记关于x 的不等式f （x ）＜g （x ）的解集为M ．（1）若a ﹣3∈M ，求实数a 的取值范围； （2）若[﹣1，1]⊆M ，求实数a 的取值范围． 【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）将x=a ﹣3代入不等式，解关于a 的不等式即可；（2）得到|x +a |＜3恒成立，即﹣3﹣x ＜a ＜3﹣x ，当x ∈[﹣1，1]时恒成立，求出a 的范围即可．【解答】解：（1）依题意有：|2a ﹣3|＜|a |﹣（a ﹣3），若a ≥，则2a ﹣3＜3，∴≤a ＜3，若0≤a ＜，则3﹣2a ＜3，∴0＜a ＜， 若a ≤0，则3﹣2a ＜﹣a ﹣（a ﹣3），无解， 综上所述，a 的取值范围为（0，3）；（2）由题意可知，当x ∈[﹣1，1]时，f （x ）＜g （x ）恒成立， ∴|x +a |＜3恒成立，即﹣3﹣x ＜a ＜3﹣x ，当x ∈[﹣1，1]时恒成立， ∴﹣2＜a ＜2．2018年3月19日。