智慧火花的碰撞
—— 对一则数学教学案例的反思
作为教师,我们不能只满足于“今天我上完课了,批完作业了,完成教学任务了”为最终目的,而是应该不断地反思自己的教育教学行为,记录教育教学过程当中,所发生的点点滴滴的得失与感受,并不断地创新,不断地完善自己,不断地提高自己的教育理论与教学业务水平。
一堂成功的数学课,往往给人以自然、和谐、舒服的享受,每一位教师在教材处理,教学方法,学法指导等诸多方面都有自己的独特设计,在教学过程会出现闪光点,能激发学生学习数学兴趣的精彩导课语,在教学过程中对知识的重难点创新的突破点,激发学生参与学习的过渡语,对学生做出的回答,作出正确、合理的赞赏评价语等,这些方面都应该进行详细记录,供日后参考。
在教学过程中,每节课总会有这样那样的一些尽如人意的地方,有时候语言不当,有时候教学内容处理不妥,有时候是教学方法处理不当,有时候是练习层次不够,没有梯度性,难易不当,等等。
对于这些情况,教师课后应该要冷静思考,仔细分析学生冷场、不能很好掌握知识这方面的原因,对情况进行分析之后,要做出日后的改进措施,以利于在日后的教学中不断提高,不断完善。
往往在课堂教学过程中,学生与教师之间教与学活动过程中的互动,能激起更多的智慧火花,学生的一些想法与思路,超越教师有限的考虑范围之内,而却是这种想法与思路,又是最容易让他们自己理解的!
在最近的一次习题课中就发生了这样的碰撞:
案例:在等差数列{}n a 中,若90a =,则121217n n a a a a a a -++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+,类比上述结论,在等比数列{}n b 中,若81b =,则可得等式 。
教师:大家思考一下,应该这个等式是什么?
(学生陷入思考之中,没一会儿功夫,就有学生跃跃欲试了,当然大部分学生还在紧张地思考与运算着,稍等片刻,请学生站起来说说他们的结果)
生1:应该是121215n n b b b b b b -++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+
生2:不对,应该是121215n n b b b b b b -⋅⋅⋅=⋅⋅⋅
(这时,大部分学生对生2的答案表示支持,对生1的支持率也是有的。
)
教师:好,现在我们来比较刚才的两个答案,分析一下,到底哪一个才是正确答案呢?
首先我们看一看,刚才两位同学提出的两个等式,不难发现它们的共同点,就是右边的最后一项都是一样的,那大家是怎么想到右边的最后一项的下标是15n -呢?
生3:(激动地站了起来)老师,在已知的式子中找规律呀!
教师:(进一步追问)什么规律呀?
生3:已知9a ,后面就加到17n a -,可以发现17291=⨯-,所以由已知8,b 最后一项就
是15n b -,因为15271=⨯-
教师:很好,大家都理解了吗?
(学生都点头示意)
这时见一位学生提出了不同的理解
生4:老师,你看,9是从第1项到第17项的中间一项,因此8是从第1项到第15项的
中间一项,所以就会想到15了。
教师:好,不错!大家都已经找到这个规律。
再看两个等式的不同之处,那么到底等式
的每一项之间用“+”还是用“⨯”呢?哪位同学能解释一下?
(经过片刻思考,学生举手发言)
生5:已知条件给我们的是等差数列,而我们写的是等比数列。
那么在等差数列中,它的通项公式是用“+”, 而在等比数列中,它的通项公式是用“⨯”,自然后面要求的那个等式每项之间用“⨯”了。
(学生骄傲的回答呢!)
(其它学生对生5的回答发出啧啧的赞叹声,教师也给以赞赏的微笑,因为这个思考,与教师本人的思考角度完全的吻合)
正当笔者想要结束此题的分析时,给出标准答案时(同生2的答案),只见一位学生举手
提出不同的理解。
生6:老师,可以这样想吗,因为90a =,加不加,结果都没有受到影响,而后面是81b =,
就理解成:乘不乘,都是一样的!
(生6的想法,出乎我的意料,只见有其它学生在说:唉,这样子也能说得通嘛!本来
对于这一题的讲解,本人在教学设计上就不想多做理论上的解释,只用类比的知识点来分析。
接收到生6的理解信息后,本人因势利导,在想何不以这个理解来推导答案中的这个等式呢?这样一来,让学生更明白,能完全明白为什么这个等式成立的过程!) 教师:嗯,好,一个不错的点子!刚才,我们都只是去猜测这个等式的结果。
下面给大
家一个任务,请对刚才的猜测,给出证明过程。
(学生对于证明,就有点为难,稍等片刻,见学生的思路不明,就提醒一下)
教师:我们要用学过的知识点来推导这个结果正确性,那要用到什么知识点来证明呢? (学生在讨论,尝试各种方法)
生6:用等差数列、等比数列的性质呗。
(教师给以掌声鼓励,请他回答推导思路)
解:在等差数列中,90a =, 12916179170a a a a a a ∴++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅++==
而只要18m n p q +=+=,则0m n p q a a a a +=+=,
所以从中间任意截取,121217n n n a a a a a a ++++⋅⋅⋅+=---⋅⋅⋅-
1217171621n n n n a a a a a a a ++--∴---⋅⋅⋅-=++⋅⋅⋅++
所以就有121217n n a a a a a a -++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+
在等比数列中,81b =,1512814158()1b b b b b b ∴⋅⋅⋅⋅⋅⋅==
而只要16m n p q +=+=,则1m n p q b b b b ⋅=⋅=, 所以从中间任意截取,1215142112151n n n n n b b b b b b b b b b --++⋅⋅⋅==⋅⋅⋅⋅⋅⋅
所以就有121215n n b b b b b b -⋅⋅⋅=⋅⋅⋅。
顿时,全班同学都报以热烈的掌声。
课堂气氛异常活跃,基本上所有的学生在看到这个推导过程后,都露出欣喜与羡慕的神情,还有部分学生高兴的低声说:“是哦,是哦!”
笔者见学生的兴趣正浓,就再出这种类型的题目:
习题:若数列{}n a 为等差数列,则数列12n n a a a b n
++⋅⋅⋅+=也为等差数列,类比上述性质,相应地,若数列{}n c 是等比数列且0n c >,则有数列n d
= 也是等比数列。
(学生饶有兴趣地思考着)
教师:用什么知识点思考呢?
学生们:用等差中项1322
a a a +=
的性质类比到等比中项2b =们的推广。
教师:大家都很棒,学以致用。
出这题的用意,是培养学生独立解决数学问题的能力,从一开始的不会,不懂,到最后能独立地分析问题,并能成功地解决问题。
作为教育者,不仅是授人以“鱼”,更重要的是授人以“渔”。
对案例的反思
这一习题,是利用类比法这个数学思想方法去发掘相同的规律,又要找出不同的地方。
在发掘相同规律的过程中,学生增强了学习数学的自信心,感悟到了数学的奇妙和数学中的美,情绪高涨。
在探究过程,以及推导过程中,教师“得寸进尺”的追问,能激起学生的求知欲望,一波又一波。
学生的创造能力得到了充分的培养,学生中蕴藏着巨大的智慧与力量,是我们无法预料的。
正如苏霍姆林斯所说的:“在青少年的精神世界里,都有着一种根深蒂固的需要,那就是希望自己成为一个发现者、研究者和探索者”。
正是他们的巨大的智慧与力量,在数学解题过程中,常常会有智慧火花的磨擦与碰撞,使学生自主探究得以实现,获得成功感。
即所谓学贵有疑,小疑则小进,大疑则大进,疑者,觉悟之机也,一番觉悟,一番长进。
所以在这一事件中,感悟到最深的事,教师的教与学生的学是相辅相成的,通过教学过程中的师生互动,学生技能训练与能力培养得到锻炼。
作为学生,从教师那里得到知识点,并应用于数学问题中,作为教师,要授人以“渔”,有时还能从学生那里找到更多的思考角度,所以给我们的启示就是我们解决数学问题,应该是站在学生的角度去思考问题,在学生的“最近发展区”内着手,这样,学生理解起来就更容易,印象也会更深刻。
在可能条件下,有计划地为学生形成积极主动的、多样的学习方式进一步创造有利条件,以激发学生的数学学习兴趣,鼓励学生在学习过程中,养成独立思考,积极探索的习惯。
教是为了达到不教。
现代教育学理论认为,教学过程是促进学生发展的过程,只重知识的传授而忽视能力、智力等方面的综合发展的教育不能满足现实需要。
在我们平时“互动式”教学模式的实施过程是一个逐层递进的过程,每一阶段的实施都是另一阶段实施的基础,而每一阶段又都有各自的具体目标,创设问题、授人以“渔”、反思建构、竞争合作是具体目标,如此步步为营,逐层推进,最终实现沟通与发展。
教育无止境,教育事业应该是一个常做常新的事业,为师无止境,教师生涯应该是一个不断创新不断前行充满新奇的旅途。
通过一些案例的反思,能让教师的生命变得五彩缤纷,反思将让我们的教育变成一支抑扬顿挫的交响乐!。