f '(x) = (x - a)(2ln x ■ 1 - a )，但这时会发现
f' (x) = 0 的解除了 x = a 外还有 2In x ■ 1 - ◎ =0 的
x
x
解，显然无法用特殊值猜出。
a
令 h(x) = 21 n x 1 ，注意到 h(1) = 1 -a ：： 0 , h(a) = 2In a 0 ,
x
故f '(x) = 0在(1, a)及(1, 3e )至少还有一个零点， 又h(x)在(0, +^)内单调递增，所以函数h(x)
在(1,3e]内有唯一零点，但此时无法求出此零点怎么办。
我们可以采取设而不求的方法， 记此零点为x 0,
含参导函数零点问题的几种处理方法 方法一：直接求出，代入应用 对于导函数为二次函数问题，可以用二次函数零点的基本方法来求。
(1)因式分解求零点 例1讨论函数 f(x) 1 3 1 2 ax -(a )x 2x 1(a • R)的单调区间 3 2 解析：即求f'(x)的符号问题。
由f'(x)二ax 2
-(2a - 1)x 2 = (ax - 1)(x - 2)可以因式分 解析： f'(x) = (x -a)e x • x 2 -(
a • 1)x • a = (x -a)(e x
• x -1)，只能解出 f '(x)的一个零点为 a ,
方法二：猜出特值，证明唯一 对于有些复杂的函数，有些零点可能是很难用方程求解的方法求出的，这时我们可以考虑用特殊值去 猜出零点，再证明该函数的单调性而验证其唯一性。
1 1 例 4 讨论函数 f (x) =(x - a-1)e x
x 3 (a 1)x 2 ax ， a •二 R ，的极值情况 其它的零点就是e x x 0的根，不能解。
例5(2011高考浙江理科)设函数 f (x) = (x - a)21n x,a • R (I)
若x =e 为y = f (x)的极值点，求实数a (n)
求实数a 的取值范围，使得对任意的 2
(0,3e],恒有
f(x) — 4e 成立(注：e 为自然对数)，
方法三：锁定区间，设而不求 对于例5，也可以直接设函数来求， ①当0 ::: x 乞1时，对于任意的实数 a ，恒有f (x)乞0 ::: 4e 2成立②当1 ：：： x 乞3e ，由题意，首先
有 f (3e) =(3e - a )2 In(3e)乞4e 2
, 解
3e
2e
乞a 乞3e ----------
n ( , I 3e)
3e
且 h(3e) =2In(3 e) 1 a
3e -2I n(3e) 1 2e
I n(3e) 3e = 2(I n3e- 1 3；I
)>0 。
则 1 ：：： x 0 ::: a 。
从而，当 x 三(0, x 0)时，f '(x) > 0 ;当 x 三(x 0,a)时，f '(x)> a ;当 x 三(a, •：：)时，
f'(x)>0,即卩f(x)在(O,x o )内单调递增，在(x o,a)内单调递减，在(a, •：：)内单调递增。
所以要使
a
2
3 2 ]
h(x 0
) =2In x 0
1
0 ,知 a 二 2ln x 0
x 0
( 3)将(3)代入(1)得 4x ° In x ° 4e ，又 x 0> 1 , x °
注意到函数x 21n 3x 在［1,+ g )内单调递增，故1Vx 0^e 。
再由(3)以及函数2xlnx + x 在(1.+ +
例6已知函数f (x)二ax xI n |x - b |是奇函数，且图像在 线斜率为3
(1)
求a,b 的值
(2)
若k Z ，且k ： ―O 对任意x -1恒成立，求k 的最大值。
x —1
例7 (2009高考全国n 理科)设函数 f x = x 2 aln 1 x 有两个极值点x 2, 1 _ 2I n 2 且x , cx 2
(I )求a 的取值范围，并讨论 f(x )的单调性；(ll )证明：f (x 2 )>
， 4
方法四：避开求值，等价替换。
对于有些函数的零点问题，可能用方法一、二、三都无法解决，这是我们可以考虑回避求其零点。
避开方法：放缩不等式
例 8 设函数 f (x) = e x -1 - x - ax 2
(I)若a =0，求f (x)的单调区间
(n)若当x_0时，f(x)_0,求a 的取值范围。
与例8类似，下面的2010高考全国n 理科的最后一题，也是这样的处理方法。
设函数f x l=1
.
(I)证明：当x > - x
1 时，f X - x+1
(n)设当x_0时,
f x -
，求a 的取值范围.
ax +1
f (x) 一 4e 2对x • (1,3e 1恒成立，只要
似円—严0沁[⑴成立。
f(3e) =(3e — a) In(3e)乞 4e ,(2)
g )内单调递增，可得1<>乞3e 。
由(2 )解得，
3e
_2e_
.In (3e)
2e
乞a 乞3e — e
In (3e)
所以
3e
2e ■I n(3e)
(e, f(e)) (e 为自然对数的底数)处的切
a 的取值范围为3e。