[题组训练] 1．已知函数 f(x)＝3ln x－12x2＋2x－3ln 3－32，求方程 f(x)＝0 的解的个数．
解：因为 f(x)＝3ln x－12x2＋2x－3ln 3－32(x＞0)， 所以 f′(x)＝3x－x＋2＝－x2＋x2x＋3＝－(x－3x)(x＋1)， 当 x∈(0,3)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增； 当 x∈(3，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减， 所以 f(x)max＝f(3)＝3ln 3－92＋6－3ln 3－32＝0， 因为当 x→0 时，f(x)→－∞；当 x→＋∞时，f(x)→－∞， 所以方程 f(x)＝0 只有一个解． 2．设 f(x)＝x－1x－2ln x. (1)求证：当 x≥1 时，f(x)≥0 恒成立； (2)讨论关于 x 的方程 x－1x－f(x)＝x3－2ex2＋tx 根的个数． 解：(1)证明：f(x)＝x－1x－2ln x 的定义域为(0，＋∞)． ∵f′(x)＝1＋x12－2x＝x2－x22x＋1＝(x－x21)2≥0， ∴f(x)在[1，＋∞)上是单调增函数， ∴f(x)≥f(1)＝1－1－2ln 1＝0 对于 x∈[1，＋∞)恒成立． 故当 x≥1 时，f(x)≥0 恒成立得证． (2)化简方程得 2ln x＝x3－2ex2＋tx. 注意到 x＞0，则方程可变为2lxn x＝x2－2ex＋t. 令 L(x)＝2lxn x，H(x)＝x2－2ex＋t，
由图象可知，①当 t－e2＞2e，即 t＞e2＋2e时，方程无实数根； ②当 t－e2＝2e，即 t＝e2＋2e时，方程有一个实数根； ③当 t－e2＜2e，即 t＜e2＋2e时，方程有两个实例] (2018·全国卷Ⅱ)已知函数 f(x)＝ex－ax2. (1)若 a＝1，证明：当 x≥0 时，f(x)≥1； (2)若 f(x)在(0，＋∞)只有一个零点，求 a. [解] (1)证明：当 a＝1 时，f(x)≥1 等价于(x2＋1)e－x－1≤0. 设函数 g(x)＝(x2＋1)e－x－1， 则 g′(x)＝－(x2－2x＋1)e－x＝－(x－1)2e－x. 当 x≠1 时，g′(x)＜0， 所以 g(x)在(0，＋∞)上单调递减． 而 g(0)＝0，故当 x≥0 时，g(x)≤0，即 f(x)≥1. (2)设函数 h(x)＝1－ax2e－x. f(x)在(0，＋∞)上只有一个零点等价于 h(x)在(0，＋∞)上只有一个零点． (ⅰ)当 a≤0 时，h(x)＞0，h(x)没有零点； (ⅱ)当 a＞0 时，h′(x)＝ax(x－2)e－x. 当 x∈(0,2)时，h′(x)＜0；当 x∈(2，＋∞)时，h′(x)＞0. 所以 h(x)在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增． 故 h(2)＝1－4ea2 是 h(x)在(0，＋∞)上的最小值． ①当 h(2)＞0，即 a＜e42时，h(x)在(0，＋∞)上没有零点． ②当 h(2)＝0，即 a＝e42时，h(x)在(0，＋∞)上只有一个零点． ③当 h(2)＜0，即 a＞e42时，因为 h(0)＝1，所以 h(x)在(0,2)上有一个零点．
可知①当 m＞23时，函数 g(x)无零点； ②当 m＝23时，函数 g(x)有且只有一个零点； ③当 0＜m＜23时，函数 g(x)有两个零点； ④当 m≤0 时，函数 g(x)有且只有一个零点． 综上所述，当 m＞23时，函数 g(x)无零点； 当 m＝23或 m≤0 时，函数 g(x)有且只有一个零点； 当 0＜m＜23时，函数 g(x)有两个零点．
第三课时 导数与函数的零点问题 考点一 判断函数零点的个数
[典例] 设函数 f(x)＝ln x＋mx ，m∈R.讨论函数 g(x)＝f′(x)－3x零点的个数． [解] 由题设，g(x)＝f′(x)－3x＝1x－xm2－3x(x＞0)， 令 g(x)＝0，得 m＝－13x3＋x(x＞0)． 设 φ(x)＝－13x3＋x(x＞0)， 则 φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)， 当 x∈(0,1)时，φ′(x)＞0，φ(x)在(0,1)上单调递增； 当 x∈(1，＋∞)时，φ′(x)＜0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递减． 所以 x＝1 是 φ(x)的极大值点，也是 φ(x)的最大值点． 所以 φ(x)的最大值为 φ(1)＝23. 由 φ(0)＝0，结合 y＝φ(x)的图象(如图)，
由(1)知，当 x＞0 时，ex＞x2，所以 h(4a)＝1－1e64aa3＝1－(1e62aa)32＞1－(126aa)34＝1－1a＞0，故 h(x)在(2,4a)上有一个零 点．因此 h(x)在(0，＋∞)上有两个零点．
综上，当 f(x)在(0，＋∞)上只有一个零点时，a＝e42. [解题技法] 根据函数零点个数确定参数取值范围的核心思想是“数形结合”，即通过函数图象与 x 轴的交点个数，或者两 个相关函数图象的交点个数确定参数满足的条件，进而求得参数的取值范围，解决问题的步骤是“先形后数”． [题组训练] 1．(2019·安阳一模)已知函数 f(x)＝x33＋x22与 g(x)＝6x＋a 的图象有 3 个不同的交点，则 a 的取值范围是________． 解析：原问题等价于函数 h(x)＝x33＋x22－6x 与函数 y＝a 的图象有 3 个不同的交点， 由 h′(x)＝x2＋x－6＝(x－2)(x＋3)，得 x＝2 或 x＝－3，
2(1－ln x) 则 L′(x)＝ x2 . 当 x∈(0，e)时，L′(x)＞0，∴L(x)在(0，e)上为增函数； 当 x∈(e，＋∞)时，L′(x)＜0，∴L(x)在(e，＋∞)上为减函数． ∴当 x＝e 时，L(x)max＝L(e)＝2e. 函数 L(x)＝2lxn x，H(x)＝(x－e)2＋t－e2 在同一坐标系内的大致图象如图所示．
当 x∈(－∞，－3)时，h′(x)＞0，h(x)单调递增；