初一数学寒假班（教师版）同位角、内错角、同旁内角(三线八角)若直线a，b被直线所截：（1）同位角：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角叫做同位角．（如）（2）内错角：两个角分别在截线的两侧，且在两条直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角．（如）（3）同旁内角：两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角．（如）注意：三线八角是位置关系，数量上没有确定的关系．【例1】填空【例1】如图，∠2与∠3是_______角．∠2与∠4是_______角．∠2与∠5是_______角．∠1与∠5是_______角．∠3与∠5是_______角．∠3与∠7是_______角．∠3与∠8是_______角．∠2与∠8是_______角．【难度】★【答案】邻补角、对顶角、同旁内角、同位角、内错角、同位角、同旁内角、内错角．【解析】考查线八角的角的概念．【总结】考查三线八角的本概念．【例2】填空(1)∠B和∠1是两条直线________和_______被第三条直线_______所截构成的_______角．(2)∠ACB与∠7是两条直线________和______被第三条直线______所截构成的_______角．(3)∠3与∠5是两条直线________和______被第三条直线______所截构成的_______角．(4)∠3与∠B是两条直线________和______被第三条直线______所截构成的_______角．(5)∠2与∠7是两条直线________和______被第三条直线______所截构成的_______角．【难度】★【答案】（1）BC、DE、AB、同位角；（2）BC、DE、AC、同位角；（3）BA、CA、DC、内错角；（4）DC、BC、BA、同旁内角；（5）DC、AC、DE、内错角．【解析】考查线八角的角的概念．【总结】考查三线八角的本概念．【例3】如图，同旁内角有()对．A．4对B．3对C．2对D．1对【难度】★【答案】B【解析】任意两个角都互为同旁内角，共3对．【总结】考查同旁内角的概念．【例4】如图，同位角共有()对．A．1对B．2对C．3对D．4对【难度】★【答案】B【解析】同位角像F形，由F形找同位角．【总结】考查同位角的概念．【例5】如图，是同位角关系的是()．A．∠3和∠4B．∠1和∠4C．∠2和∠4D．不存在【难度】★【答案】B【解析】A是内错角；B内错角；C同旁内角．【总结】考查同位角的概念．【例6】如图，内错角共有()对．A．1对B．2对C．3对D．4对【难度】★★【答案】D【解析】∠EDB与∠DBC、∠EDB与∠DBA、∠FDB与∠DBC、∠FDB与∠DBA，共4对【总结】考查内错角的概念．【例7】如图，同旁内角共有()对．A．10对B．8对C．6对D．4对【难度】★★【答案】C【解析】四边形内有4组，四边形上方和右边各有一组，共6组．【总结】考查同旁内角的判定．【例8】如图，∠1与∠2是两条直线____和____被第三条直线______所截构成的_____角．∠3与∠4是两条直线________和______被第三条直线______所截构成的_______角．【难度】★★【答案】AD、BC、AC、内错角；AB、CD、AC、内错角．【解析】内错角像字母Z．【总结】考查内错角的特点及判定．【例9】如图，∠C的同位角有_____________________，同旁内角是____________________，∠1与∠2是___________角．直线AB和CD被AD所截，∠A的内错角是___________，∠A与∠ADC是_______角．【难度】★★【答案】∠ADE、∠BDE；∠ABC、∠DBC、∠ADC、∠BDC；内错角；∠ADE；同旁内角．【解析】同位角像字母F，内错角像字母Z，同旁内角像字母U．【总结】考查基本角的特点．【例10】如图，∠1的同位角是∠______，∠1的内错角是∠______，∠1的同旁内角是∠_____，∠1的对顶角是∠______，∠1的邻补角是∠______．【难度】★★★【答案】∠DEB、∠EBH；∠AEF、∠IBF；∠BEF、∠EBF；∠CFG；∠CFD、∠GFH．【解析】同位角像字母F，内错角像字母Z，同旁内角像字母U，找的时候要注意找全．【总结】考查基本角的特点及概念．【例11】如图，DC垂直于AE，已知∠DCE的同位角是它的一半，∠B=2∠ACB，试判断△ABC的形状．【难度】★★★【答案】等腰直角三角形．【解析】∵DC⊥AE，∴∠DCE=90°∠DCE的同位角是∠BAC，由题已知∠BAC=45°，∴∠B+∠ACB=180°-45°=135°又∵∠B=2∠ACB∴∠B=90°，∠ACB=45°∴△ABC为等腰直角三角形【总结】考查同位角的概念及三角形的类型判定．1、平行线的定义同一平面内，不相交的两条直线叫平行线．2、平行线的基本性质（1）经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；（2）平行线之间的距离处处相等；（3）平行于同一条直线的两直线平行（平行的传递性）．（4）同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行．（5）两条平行线中，任意一条直线上的所有点到另一条直线的距离是一个定值，这个定值叫做这两条平行线间的距离，平行线间的距离处处相等．【例12】已知直线//，//，那么________．【难度】★【答案】平行【解析】平行于同一条直线的两直线平行．【总结】考查平行线的传递性．【例13】a、b、c是直线，且a//b，b⊥c，则a与c的位置关系是________．【难度】★【答案】垂直【解析】∵a∥b，b⊥c，∴a⊥c．【总结】考查直线的位置关系．【例14】下列说法中，正确的是（）．A．两直线不相交则平行B．两直线不平行则相交C．若两线段平行，那么它们不相交D．两条线段不相交，那么它们平行【难度】★【答案】C【解析】两条直线还可能重合，所以A、B错；D错误．【总结】考查同一平面内线段、直线的位置关系．【例15】在同一平面内，有三条直线，其中只有两条是平行的，那么交点有（）．A．0个B．1个C．2个D．3个【难度】★【答案】C【解析】第三条直线与这两条直线都相交，所以有两个交点．【总结】考查直线的位置关系及交点个数．【例16】下列说法中，错误的有（）．①若a与c相交，b与c相交，则a与b相交；②若a∥b，b∥c，那么a∥c；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种A．3个B．2个C．1个D．0个【难度】★★【答案】A【解析】①a与b可能平行，错误；②平行线的传递性，正确；③这个点必须不在已知直线上，错误；④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交两种，错误．【总结】考查同一平面内两直线的位置关系．【例17】如图，按要求画平行线．（1）过P点画AB的平行线EF；（2）过P点画CD的平行线MN．【难度】★★【答案】如右图．【解析】如右图．【总结】考查基本的作图能力．【例18】如图，点A，B分别在直线，上，（1）过点A画到的垂线段；（2）过点B画直线CD∥．【难度】★★【答案】如右图．【解析】如右图．【总结】考查基本的作图能力，此题中注意垂线段是一条线段，不要画成直线．平行线的三种判定方法：（1）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简单地说，同位角相等，两直线平行．（2）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单地说，内错角相等，两直线平行．（3）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单地说，同旁内角互补，两直线平行．【例19】如图，请写出能判定CE∥AB的一个条件______________．【难度】★【答案】∠DC E=∠A等．【解析】可以通过同位角相等两直线平行来判定．【总结】考查平行线的判定定理的运用，答案不唯一，只要成立即可．【例20】如图，AB∥CD，AC⊥BC，∠BAC =65°，则∠BCD =_______度．【难度】★【答案】25°．【解析】因为AB∥CD（已知），所以（两直线平行，内错角相等），因为∠BAC =65°（已知），所以（等量代换）．因为AC⊥BC（已知），所以（垂直的意义）因为（邻补角的意义），所以（等式性质）．【总结】考查平行线的性质及邻补角性质的综合运用．【例21】如图，下列说法错误的是（)．A．∠1和∠3是同位角；B．∠1和∠5是同位角；C．∠1和∠2是同旁内角；D．∠5和∠6是内错角．【难度】★【答案】B【解析】同位角像字母Z．【总结】考查同位角的概念．【例22】已知，△ABC中，DE垂直于AC于E，△ACB=90°，试说明DE△BC的理由．【难度】★★【答案】略．【解析】因为DE⊥AC（已知），所以（垂直的意义）．因为∠ACB=90°（已知），所以∠ACB=∠AED（等量代换），所以DE∥BC（同位角相等，两直线平行）【总结】考查平行线的判定定理及垂直的意义的综合运用．【例23】如图，∠5=∠CDA =∠ABC，∠1=∠4，∠2=∠3，∠BAD+∠CDA=180°，填空：∵∠5=∠CDA（已知）∴_______//_______（内错角相等，两直线平行）∵∠5=∠ABC（已知）∴_______//_______（同位角相等，两直线平行）∵∠2=∠3（已知）∴_______//_______（内错角相等，两直线平行）∵∠BAD+∠CDA=180°（已知）∴_______//_______（同旁内角互补，两直线平行）∵∠5=∠CDA（已知），又∵∠5与∠BCD互补，∠CDA与_______互补（邻补角定义）∴∠BCD=∠6（等角的补角相等）∴_______//_______（同位角相等，两直线平行）【难度】★★【答案】AD、BC；AB、CD；AB、CD；AB、CD；∠6；AD、BC．【解析】解题时要看清题目，根据条件判断出哪一组直线平行，不能混淆．【总结】考查平行线的判定定理的运用．【例24】如图，AB⊥BC，∠1+∠2=90°，∠2=∠3，那么BE与DF平行吗?为什么?【难度】★★【答案】平行【解析】因为AB⊥BC（已知），所以∠ABC=90°（垂直的意义），即（角的和差）因为∠2=∠3（已知），所以（等量代换）因为∠1+∠2=90°（已知），所以∠1=∠4（同角的余角相等），所以BE∥DF（同位角相等，两直线平行）【总结】考查平行线的判定定理及垂直的综合运用，注意分析题目中条件．【例25】如图，∠2=3∠1，且∠1+∠3=90°，试说明．【难度】★★【答案】略【解析】因为∠2=3∠1（已知），∠2+∠1=180°（邻补角的意义），所以∠1=45°，∠2=135°（等式性质）．又因为∠1+∠3=90°（已知），所以∠3=45°（等式性质），所以∠2+∠3=180°（等式性质），所以AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）【总结】考查平行线的判定定理的运用．【例26】已知∠1=∠2，DE平分∠BDC，DE交AB于点E，试说明AB//CD．【难度】★★【答案】略．【解析】因为DE平分∠BDC（已知），所以∠2=∠EDC（角平分线的意义）因为∠1=∠2（已知），所以∠1=∠EDC（等量代换）所以AB∥CD（内错角相等，两直线平行）【总结】考查平行线的判定定理及角平分线的意义的综合运用．【例27】已知AC、BC分别平分∠QAB、∠ABN，且∠1与∠2互余，试说明PQ//MN．【难度】★★【答案】略【解析】因为AC、BC分别平分∠QAB、∠ABN（已知）所以∠1=∠QAB，∠2=∠ABN（角平分线的意义）因为∠1+∠2=90°（互余的意义）所以∠QAB+∠ABN=180°（等式性质）所以PQ∥MN（同旁内角互补，两直线平行）【总结】考查平行线的判定及角平分线的意义的综合运用，注意分析条件，得出角度间的关系．【例28】如图，直线AB分别与直线CD、EF交于点O、点E，GO⊥OH，OH平分∠AOC，且∠EDO与∠GOB互余，试说明OH //EF．【难度】★★★【答案】略【解析】因为GO⊥OH（已知），所以（垂直的意义），因为OH平分∠AOC（已知），所以（角平分线的意义）．因为（邻补角的意义），所以∠GOB+∠HOC=90°（等式性质）因为∠EDO+∠GOB=90°（已知）所以∠EDO=∠HOC（同角的余角相等）所以OH∥EF（同位角相等，两直线平行）【总结】本题综合性较强，主要考查平行线的判定定理及同角的余角相等的综合运用，解题时认真分析，找出角度间的关系．【例29】如图，∠ABE=∠E+∠D，试说明AB//CD的理由．【难度】★★★【答案】略【解析】因为（三角形内角和等于180°）又（邻补角的意义）所以∠DCB=∠E+∠D（等式性质）因为∠ABE=∠E+∠D（已知）所以∠DCB=∠ABE（等量代换），所以AB∥CD（内错角相等，两直线平行）【总结】考查平行线的判定定理及三角形内角和的综合运用，综合性较强，解题时要认真分析．【习题1】观察图，下列说法中，正确的是（）．A．和是内错角B．和是同位角C．和是内错角D．和是同旁内角【难度】★【答案】D【解析】考查同位角、内错角和同旁内角的概念及判定．【习题2】如图，能使AB∥CD的条件是()．A.∠1=∠B B．∠3=∠AC．∠1+∠2+∠B=180°D．∠1=∠A【难度】★【答案】C【解析】同旁内角互补，两直线平行，C选项满足条件．【总结】考查平行线的判定定理的运用．【习题3】一学员在广场上练习驾车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度是()A．第一次向左拐，第二次向右拐B．第一次向右拐，第二次向左拐C．第一次向右拐，第二次向右拐D．第一次向左拐，第二次向左拐【难度】★【答案】A【解析】B向左拐了50°，C、D都朝相反方向开去．【总结】考查平行线的判定定理在实际问题中的运用．【习题4】如图，在下列条件中，能判定AB//CD的是（）A．∠1=∠3B．∠2=∠3C．∠1=∠4D．∠3=∠4【难度】★【答案】C【解析】A错误；B能推出AD∥BD；D错误．【总结】考查平行线的判定定理的运用．【习题5】如图，图中所标号的8个角，是∠1的同位角的是_________；∠3的内错角是_________；∠7的同旁内角是_________；∠4的同位角是_________；∠6的内错角是_________；∠2的同旁内角是_________．【难度】★【答案】∠2；∠5；∠6、∠8；∠3、∠7；∠4；∠5．【解析】考查同位角、内错角、同旁内角的概念．【习题6】如图，已知直线b⊥a，c⊥a．那么直线b与c平行吗？如果平行，请给出证明；如果不平行，举出反例．【难度】★★【答案】平行．【解析】因为b⊥a，c⊥a（已知），∴∠1=∠2=90°（垂直的意义），∴b∥c（同位角相等，两直线平行）．【总结】考查平行线的判定定理及垂直的意义的综合运用．【习题7】如图，已知AC⊥AE，BD⊥BF，∠1=35°，∠2=35°，AC与BD平行吗?AE与BF 平行吗?为什么?【难度】★★【答案】平行．【解析】因为∠1=35°，∠2=35°（已知），所以∠1=∠2（等量代换），因为AC⊥AE，BD⊥BF（已知），所以（垂直的意义）所以∠NBF=∠BAE（等式性质）所以AE∥BF（同位角相等，两直线平行）【总结】考查平行线的判定定理及垂直的意义的综合运用．【习题8】如图，∠1+∠2=180°．AE与FC会平行吗? 说明理由．【难度】★★【答案】平行．【解析】因为∠1+∠2=180°（已知），∠2+∠BDC=180°（邻补角的意义）所以∠1=∠BDC（同角的补角相等）所以CF∥AE（同位角相等，两直线平行）【总结】考查平行线的判定定理的运用．【习题9】根据图完成下列填空（括号内填写定理或公理）（1）∵∠1=∠4（已知）∴_________∥_________（）（2）∵∠ABC +∠_________=180°（已知）∴AB∥CD（）（3）∵∠_________=∠_________（已知）∴AD∥BC（）（4）∵∠5=∠_________（已知）∴AB∥CD（）【难度】★★【答案】（1）AB∥CD、内错角相等，两直线平行；（2）∠BCD、同旁内角互补，两直线平行；（3）∠2=∠3、内错角相等，两直线平行；（4）∠ABC、同位角相等，两直线平行．【解析】考查平行线的判定定理的综合运用．【习题10】已知DE⊥BC，FG⊥BC，∠DEH=∠GFC，试说明EH∥FC的理由．【难度】★★【答案】略．【解析】因为DE⊥BC，FG⊥BC（已知）所以∠DEC=∠FGC=90°（垂直的意义）所以∠GFC+∠FCG=90°（三角形内角和等于180°）因为∠DEH=∠GFC（已知），所以∠HEC=∠FCG（等角的余角相等）所以EH∥FC（内错角相等，两直线平行）【总结】考查平行线的判定定理的运用．【习题11】已知∠EDC+∠B=180°，∠EDC=∠A，试说明AE//BC的理由．【难度】★★【答案】略【解析】因为∠EDC+∠B=180°，∠EDC=∠A（已知）所以∠A+∠B=180°（等量代换）所以AE∥BC（同旁内角互补，两直线平行）【总结】考查平行线的判定定理的运用．【习题12】已知：∠ABC＝∠ADC，BF和DE分别平分∠ABC和∠ADC，．试说明DE∥BF的理由．【难度】★★【答案】略【解析】因为BF和DE分别平分∠ABC和∠ADC（已知）所以，（角平分线的意义）因为∠ABC＝∠ADC（已知），所以∠1=∠ABF（等式性质）因为∠1=∠2（已知），∴∠2=∠FBA（等量代换）所以DE∥BF（同位角相等，两直线平行）【总结】考查平行线的判定定理及角平分线意义的综合运用．【习题13】已知直线a，b，c被直线d所截，，试说明a∥c．【难度】★★【答案】略．【解析】因为∠1=∠3（已知）所以a∥b（同位角相等，两直线平行）因为∠3+∠4=180°（已知），∠3+∠5=180°（邻补角的意义）所以∠4=∠5（同角的补角相等）所以b∥c（同位角相等，两直线平行）所以a∥c（平行的传递性）【总结】考查平行线的判定定理及平行的传递性的综合运用．【作业1】下列说法中正确的是（）A．经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等C．垂直于同一条直线的两条直线互相垂直D．两条直线被第三条直线所截，内错角相等，则两条直线平行【难度】★【答案】D【解析】A这个点必须是直线外的点，错误；B同位角相等的前提是两直线平行，错误；C垂直于同一条直线的两条直线互相平行，错误；故选D【总结】考查平面内直线的位置关系．【作业2】在同一平面内，若a⊥b，c⊥b则a与c的关系是（）A．平行B．垂直C．相交D．以上都不对【难度】★【答案】A【解析】垂直于同一条直线的两条直线互相平行【总结】考查平面内直线的位置关系．【作业3】如图，∠ADE和∠CED是（）A．同位角B．内错角C．同旁内角D．互为补角【难度】★【答案】B【解析】内错角像字母Z．【总结】考查内错角的特点及判定．【作业4】如图，属于内错角的是（）A．∠1和∠2B．∠2和∠3C．∠1和∠4D．∠3和∠4【难度】★【答案】D【解析】内错角像字母Z．【总结】考查基本角的特点．【作业5】下列有关垂直相交的说法：①同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；②一条直线如果它与两条平行线中的一条垂直，那么它与另一条也垂直；③同一平面内，一条直线不可能与两条相交直线都垂直；其中说法正确个数有（）A．3个B．2个C．1个D．0个【难度】★★【答案】B【解析】①、③正确，②要在同一平面内才成立，故选C．【总结】考查平面内直线的位置关系．【作业6】下列语句：①三条直线只有两个交点，则其中两条直线互相平行；②如果两条平行线被第三条直线所截，同旁内角相等，那么这两条平行线都与第三条直线垂直；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中（）A．①、②是正确的命题B．②、③是正确命题C．①、③是正确命题D．以上结论皆错【难度】★★【答案】A【解析】①正确；②两直线平行，同旁内角互补，此时又相等，所以两个角分别为90°，即垂直，正确；③这个点必须是直线外的一点，错误，故选A．【总结】考查平面内直线的位置关系．【作业7】如图，能与构成同旁内角的角有（）A．5个B．4个C．3个D．2个【难度】★★【答案】A【解析】同旁内角像字母U【总结】考查基本角的特点及判定．【作业8】如图，AB⊥BD，CD⊥MN，垂足分别是B、D点，∠FDC=∠EBA．（1）判断CD与AB的位置关系；（2）BE与DF平行吗?为什么?【难度】★★【答案】（1）平行（2）平行【解析】（1）因为AB⊥BD，CD⊥MN（已知），所以CD∥AB（垂直于同一条直线的两条直线互相平行）；（2）因为∠CDM=∠ABM（垂直的意义），又∠FDC=∠EBA（已知），所以∠MDF=∠MBE（等式性质）所以BE∥DF（同位角相等，两直线平行）【总结】考查平行线的判定定理及垂直的综合运用．【作业9】如图CD⊥AB，EF⊥AB，∠1=∠2，试说明DG//BC的理由．【难度】★★【答案】略【解析】因为CD⊥AB，EF⊥AB（已知），所以EF∥CD（垂直于同一条直线的两条直线互相平行）所以∠2=∠DCB（两直线平行，同位角相等）因为∠2=∠1（已知），所以∠1=∠DCB（等量代换）所以DG∥BC（内错角相等，两直线平行）【总结】考查平行线的判定定理及性质定理的综合运用．【作业10】如图，AB、CD被EF所截，MG平分∠BMN，NH平分∠DNM，已知∠GMN+∠HNM=90°，试问：AB∥CD吗？请说明理由．【难度】★★★【答案】平行．【解析】因为MG平分∠BMN，NH平分∠DNM（已知）所以∠BMN=2∠GMN，∠DNM=2∠HNM（角平分线的意义）因为∠FMG+∠HNM=90°（已知）所以∠BMN+∠DNM=180°（等式性质）所以AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）【总结】考查平行线的判定定理及角平分线的综合运用．【作业11】如图，∠B=∠C，∠A=∠D，试说明AE//DF．【难度】★★★【答案】略【解析】因为，（三角形内角和等于180°）又，（邻补角的意义）所以，（等式性质）因为∠B=∠C，∠A=∠D（已知），所以（等式性质），所以AE∥DF（内错角相等，两直线平行）【总结】考查平行线的判定定理及三角形内角和定理的综合运用，综合性较强，建议老师选择性讲解．【作业12】如图，已知：∠B+∠D＝∠BED．AB与CD平行吗，说明理由．【难度】★★★【答案】略【解析】过点E作EF∥AB，则∠B=∠BEF（两直线平行，内错角相等）因为∠BED =∠BEF+∠FED =∠B+∠D（已知），所以∠FED=∠D（等式性质）所以CD∥EF（内错角相等，两直线平行）所以AB∥CD（平行的传递性）【总结】考查平行线的判定定理及性质定理的综合运用，教师可选择性的讲解．。