摘要在两种情况下分析湖水中的污染物，分别建立模型即理论模型和实际模型。

理论模型是根据伊利湖和安大略湖各自的污染物流入流出的关系建立污染物量关于时间的差分方程：伊利湖的污染物总量n+1n a 0.62a =，安大略湖的污染物总量n n n b 6129.03230.627020.33600.87192.3077=-⨯+⨯+，n b 在n →∞时趋于一个定值192.3077，这个定值就是安大略湖系统的平衡值；当35n =时245.95n b =安大略湖的污染程度减少到目前水平的10%；当31n ≥≥是系统的污染物的量是一直增加的，当203n ≥≥系统的污染物量急剧减少，大约从40n ≥开始系统的污染物量几乎保持不变。

实际模型中首先根据湖水的实际更新情况重新确定湖水流入和流出占湖水总量的百分数，又由于湖水中污染物的浓度时刻变化，所以用时间微元的方法对实际污染物流出的比例进行修正。

分析铝厂排放的污染物时，铝厂排放的污染物是赤泥，根据赤泥的物化性质利用重力沉降原理求得赤泥颗粒从湖面沉降到湖底的时间t ，把一年分成多份t ，同时将铝厂每年向湖水中排放的污染物量25单位按t 分成多份，每一个单位时间铝厂排放到湖里的污染物量是0.3q ∆=单位，则安大略湖的湖水中将始终保持有0.3单位的赤泥，其余的赤泥都将在湖底沉积。

综合安大略湖中赤泥和伊利湖流入的污染物的情况预测了未来十年内的情况。

模型中重力沉降原理指出颗粒的直径影响沉降速度间接影响赤泥的排出量直径越小排出量越大，同时直径是最可能实现改进的因素。

在直径小于20um 时赤泥的排出量急剧增加。

为减少安大略湖的污染尽量把颗粒直径做小。

二、问题分析伊利湖的湖水每年有38%的更新，湖水的更新引起湖内污染物量的变化。

假设流入伊利湖的湖水是不含有污染物的，而流出伊利湖的湖水又将携带污染物，那么伊利湖是一个没有污染物注入只有污染物排除的系统，污染物的量逐渐减少，根据污染物排除的情况获得伊利湖污染物量随时间变化的关系。

安大略湖湖水每年更新13%，在认为流入湖的水仅来自伊利湖的情况下，安大略湖的污染物源只有伊利湖和铝厂，根据每一年的湖水更新量和铝厂的排放量求一二阶差分方程，用来描述安大略湖内污染物（伊利湖流入的和铝厂排放的和）时间变化的情况。

但是这些都只是很简单的处理问题，考虑实际情况时。

要有很多因素影响着伊利湖和安大略湖的污染物总量，湖水的更新不仅仅包括湖水的流入和流出还有将于和蒸发等；铝厂排放的污染物在湖水中的性质与伊利湖流入的污染物不同；湖水内污染物的量时刻变化等实际情况建立更加合理的模型。

三、理论模型建立1.模型假设1.污染物在湖水中均匀分布，每一处污染物浓度相同。

2.对理论模型假设每年安大略湖的湖水补充仅来自伊利湖的流入。

3湖水的更新量中湖水的增加仅来自湖水的流入量，减少量仅是湖水的流出即忽略湖水的蒸发和降雨等。

4.安大略湖的湖水流出速度恒定。

2.符号说明n ：代表年份取值从1开始，初始的那年为第1年。

n a ：第n 年时的伊利湖的污染物总量。

n b ：第n 年时的安大略湖的污染物总量.3．差分方程的建立和求解已知伊利湖每年的湖水更新量是38%，流入的的水流中没有污染物，流出的湖水携带污染物.安大略湖的湖水补充仅来自伊利湖，每年伊利湖湖水总量的38%经尼亚加拉河流入安大略湖，安大略湖的污染物消失都来自湖水的流出贡献。

安大略湖的污染物总量用函数b （n ）表示，伊利湖的污染物总量用函数a(n)表示。

根据伊利湖水的污染物总量的变化可得如下方程：n+2n+1a 0.62a =n+1n a 0.62a =n 1,2,3...=根据安大略湖的污染物情况列出可以表示污染物变化关系的函数式：n 2n 1n 1n+1b 0.38a b 0.13b 25+++=+-+n 1n n n b 0.38a b 0.13b 25+=+-+ n 1,2,3...=把n a 和n 1a +消去得到的二阶差分方程如下：n 2n 1n b -1.49b 0.620.87b 250.38+++⨯=⨯ (1)可得上式的齐次方程：2 1.490.620.870λλ-+⨯= 10.62λ=，20.87λ=。

齐次方程的通解为：n n n 12b c 0.62c 0.87=⨯+⨯ (2) 设（1）式的通解为：n n n 12b c 0.62c 0.87b =⨯+⨯+(3)(2)式代入(1)式是满足：n+2n 1n b 1.49b 0.620.87b 0+-+⨯=(3)式代入(1)式满足n+2n 1n b 1.49b 0.620.87b 250.38+-+⨯=⨯。

根据这样二个规则可求出b 的方程：b 1.49b 0.620.87b 250.38-+⨯=⨯，解得b=192.3077，则（1）式的通解（3）变为 n n n 12b c 0.62c 0.87192.3077=⨯+⨯+。

已知第一年安大略湖的污染物总量是2500单位即1b 2500=，第二年污染物总量增加至3150单位2b 3150=；通过MATLAB 编程可求得1c 6129.0323=-，2c 7020.3360=，所以二阶差分方程的通解可以代表安大略湖的污染物总量的方程为：n n n b 6129.03230.627020.33600.87192.3077=-⨯+⨯+ (4)4. 系统的平衡值安大略湖污染物总量n n n b 6129.03230.627020.33600.87192.3077=-⨯+⨯+当n 从1开始增长下去，n n6129.03230.627020.33600.87-⨯+⨯逐渐趋近于0,所以nb 随着n的增长逐渐趋近于192.3077。

通过方程可以证明系统存在平衡值是192.3077,随着时间的推移安大略湖内的污染物的流入和排除能力相同，湖内的污染物总量保持在192.3077单位。

其实，通过实际情况的分析亦可得到相同的结论，已知安大略湖的污染物仅来自铝厂和伊利湖，铝厂每年的排入量恒定25单位；伊利湖的污染物每年流出总量中的一部分，而且没有外界的补充，这样时间的增长使伊利湖内的污染物总量越来越少趋近于零，伊利湖流入安大略湖的污染物自然减少至零。

从某一年开始安大略湖的污染物仅来自于铝厂，并且流入和流出的能力相同，所以说每年铝厂流入安大略湖的25单位的污染物的同时，安大略湖也要通过每年13%湖水的更新中把25单位的污染物排走，污染物再湖水中平均分布，铝厂流入的25单位的污染物相当于安大略湖污染物平衡时的污染物总量的13%。

根据这个关系我们可以分析出安大略湖的污染物平衡值是192.3077。

通过实际分析出来的平衡值和方程显示的平衡值相统一。

5.污染物减少到目前水平10%的时间和系统的长期表现目前污染物总量为2500单位，减少到10%即250单位左右。

对污染物总量和时间绘二维图形如图1所示。

通过MATLAB 计算由表1可知道n 34=时污染物总量34b 253.95=，n 35=时35b 245.95=。

由这些数据可以知道现在作为第一年，要等到第35年污染物总量才能低于现在水平的10%。

表1.年份-污染物总量（单位）253.96349.21 68 192.849 0.078把上表的数据绘制成二维图形可以直观的看出污染物总量和污染物减少量随时间变化的趋势，从图1中可以明显的看出系统的长期情况安大略湖的污染物总量仅在前三年的范围内值增长的，从第四年开始污染物总量的值开始下降，从第四年开始的前20年下降速度非常的快，图2 也说明了安大略湖系统的污染物量逐渐趋于稳定，从第四十年开始污染物变化量几乎为0。

图1.污染物总量与时间的关系图2污染物变化量与时间关系实际模型建立符号说明：A：实际情况下第n年时的伊利湖的污染物总量。

nB：实际情况下第n年时的安大略湖的污染物总量.nα：修正后的伊利湖污染物每年排除的百分数，可直接表示污染物变化情况。

β：修正后的伊利湖每年排到安大略湖污染物的百分数，可直接表示伊利湖排到安大略湖的污染物情况。

γ：修正后的安大略湖污染物每年排放的百分数，可直接表示污染物变化情况。

模型假设1．铝厂向安大略湖排放的污染物中只有赤泥，而且赤泥颗粒在湖水中的运动和分布相互独立。

2.对于安大略湖除伊利湖的流入含有污染物外，降雨和其他支流都不含有污染物。

3.由于安大略湖的平均水深较深，在污染物（赤泥）沉降到湖底以后，只能在湖底层附近移动，不能浮起。

4.设污染物（赤泥）在湖中沉积过程中以匀速下沉，其速度符合重力沉降原理。

5．湖水的密度为正常水的密度即为33110(/)⨯。

kg m6．湖底初始时已有的赤泥的量为0。

安大略湖是安大略省西端中最小的五大湖,平均深度86米(283英尺)，流入安大略湖的水中79%是伊利湖通过安大略省西端尼亚加拉河流入的，剩下的流动支流来自安大略省西端盆地(14%)和降水(7%)。

93%的湖水从安大略省西端的圣劳伦斯河流出，其余的7%是蒸发失去。

安大略湖的总蓄水量是1688立方千米，伊利湖的总蓄水量是1638立方千米。

安大略湖的污染物来源主要是伊利湖湖水的流入和铝厂废物的排放。

铝厂排放的废物主要是赤泥,赤泥是从铝土矿中提炼氧化铝后排出的工业固体废物。

赤泥的化学成分为：23Fe O 、2SiO 、CaO 23Al O 、MgO 、2Na O 、2K O 、2T iO ;赤泥的物理性质是：颗粒直径0．08～0．25mm 。

1.伊利湖的污染物模型对于伊利湖，伊利湖的污染物总量没有外界的补充，污染物随着伊利湖湖水的流出逐渐减少。

每年的湖水更新量是38%，其中补充的水量包括降雨（7%）和河流流入，他们都不包含污染物，排除的水量包括河流的流出和蒸发其占所有的更新量的（7%）；所以每年湖水通过尼亚加拉排除的更新量是用38%(17%)35%⨯-=。

由于污染物的量随时间连续变化，所以不能用35%水流量的更新直接表示污染物的排除，对35%作如下修正。

将一年的时间分为m 份，每一份时间内流出的水流量占总水流量的0.31/m,则可以知道每一份时间过后湖中剩余的污染物量m d ：100d d 0.35d m =-=010.35m d -（）211d d 0.35d m =-=2010.35m d -（）m m 1m 1d d 0.35d m --=-=m 010.35m d -（）当m 趋向于无穷时0.35m 0d e d -=，即m 0d 0.705d =所以35%修正后的结果为10.705α=-，29.5%α=。

每年伊利湖中污染物的量减少29.5%。

所以伊利湖中污染物的量可以表示为：n n 0A A α= n=1,2,3…2.安大略湖污染物量对于安大略湖的情况污染物的来源只有伊利湖的流入和铝厂的排放，研究安大略湖的污染物情况时把伊利湖流入的污染物和铝厂排放的污染物分开考虑分别建立模型。