r=0，1，2，3…90 表示年龄；
i=1，2
表示性别，其中i=1表示男性，i=2表示女性；
j=1，2，3
表示地区，其中j=1表示城市，j=2表示城镇，j=3表
示乡村。
五、问题的分析
5.1 背景分析

人口系统是一种灰色系统。中国人口数量众多，结构复杂，计划生育及国
家各项政策的实施有效地遏制了人口的快速增长，人口的再生产类型已由传统
模型Ⅲ：在以上基础上，对数据和图形进行分析，得出结论：随着t增长，死亡 率随年龄的分布密度函数有下降趋势。我们假想拟合出h(r)随t变化的新函数h(r，t)， 对模型Ⅱ进行修正。
模型Ⅳ：通过综合分析出生性别比、年龄结构、总和生育率、医疗保险等对出生 率或死亡率的影响，得出关于模型Ⅱ的中短期预测和长期预测的修正函数g(t)和s(t)， 使模型更加贴近实际。
我们建立的四个模型逐步深入，贴近实际情况；应用了大量图表，形象直观；并 把模型推广到了其它物种的预测问题上。 关键词：离散模型 密度函数 牛顿法 共轭梯度法 修正函数
二、问题的重述
2.1 问题的背景及数据
2.1.1 问题的背景
中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。根据已 有数据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测是一个重要问题。 近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人 口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增 长。
90
Nt p(r,t) [ f (r) h(r)] Nt 10 5 r 0
然后运用Matlab软件求解模型，预测了未来80年的人口数量，结果显示在2025 年左右中国将出现人口高峰，人口将近14亿。之后进入老龄化社会，人口逐渐减少。 预测的前五年人口见上表，未来36年的人口预测见表3，未来80年的人口预测曲线见 图8。得出结论：我国人口按照目前的形势发展下去，不会出现人口无限制增长的的 情况。只要我们合理利用现有资源，还是可以满足子孙后代的要求的。
f(r,t) 第t年r岁的妇女生育的人口占第t年r岁总人口的比例，即生育率随年龄

的分布密度函数；
F(r,t) 第t年年龄为r的人的生育率；
H(r,t) 第t年年龄为r的人的死亡率；
g(t) 中短期预测时h(r)随时间变化的值；
s(t) 长期预测时f(r)随时间变化的值；
其中
t=1表示2001年，t=2 表示2002年…
模型Ⅰ：结合已知数据，运用朴素的离散累加方法，以2001年总人数为人口 基数，计算出了2002～2006年的人口总数（单位：万人），并与官方统计数据做 比较，见下表。
2001年 2002年 2003年 2004年 2005年 2006年
参考值 127627 128453 129227 129988 130756 缺
模型Ⅱ：通过作散点图及数据分析，运用1stopt软件采用准牛顿法和共轭梯 度法拟合出了与2001年相关系数较高的死亡率随年龄的分布密度函数h(r)、生育率 随年龄的分布密度函数f(r)及该年人口随年龄的分布密度函数p(r，1)。我们以h(r) 和f(r)表示以后各年的生育和死亡情况，得到以后若干年的人口随年龄的分布密度 函数p(r，t)，建立模型如下：
2.1.2 问题的数据
2007年初发布的《国家人口发展战略研究报告》(附录1) 还做出了进一步的分析。 关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量数据资料。附录2就是从
《中国人口统计年鉴》上收集到的部分数据。
2.2 问题的提出
试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，参考附录2中的相关数 据（也可以搜索相关文献和补充新的数据），建立中国人口增长的数学模型，
郑州大学 李兰 徐云辉 宋晓磊
中国人口增长模型预测
一、摘要 二、问题的重述 三、问题的假设 四、符号约定 五、问题的分析 六、模型的建立 七、模型的优化方向 八、模型的评价与推广 九、参考文献 十、附录
一、摘要
本文针对人口增长及预测这一热点问题展开了详细讨论，围绕“每年人口的 增加量=该年出生的人口总数-该年死亡的人口总数”，不考虑机械增长率（如国 际人口的迁入迁出）对我国总人口的影响；不考虑双胞胎、疾病等对生育率的影 响，建立模型，共建立了以下四个模型：
并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测；特别要指出模型中的优 点与不足之处。
三、问题的假设
① 不考虑机械增长率（如国际人口的迁入迁 出）对我国总人口的影响；
② 年龄在90及以上的，即90一行的数据 一律按
年龄为90来处理； ③ 调查数据是在全国随机调查所得的数据； ④ 在模型Ⅱ中不考虑出生率、死亡率随时28270 128830 129240
模型Ⅱ 127630 128180 128710 129230 129750 130270
通过上表可以发现，运用模型Ⅰ可以预测下一年的人口总数，其预测结果 与官方数据相比较，还是比较接近的。可能是因为非典或是统计数据有误， A2007App2.xls中2003年数据中的生育率过低，和其它几年相比几乎差了一个 数量级，所以2003年以后预测的人口总数与官方统计结果相差较大。但从中体 现的自然增长率却是一致的，说明这种模型对进行短期预测是合理的。

bj (r,t) dij (r,t)
p(r,t)
第t年第j地区r岁人口中的妇女的生育率； 第t年第j地区r岁人口中的第i种性别的死亡率； 第t年r岁人口占第t年总人口的比例，即人口随年龄的分布密度函数；
h(r,t) 第t年r岁死亡人口占第t年r岁总人口的比例，即死亡率随年龄的分布密

度函数；
化； ⑤ 不考虑双胞胎、疾病等对生育率的影响。
四、符号约定
Nt
第t年年初的总人口数；
Bt
第t年新生育的婴儿数；
Dt
第t年死亡的人数；
Aj (t) 第t年第j地区人口占全国总人口的比例；
j (r,t) 第t年第j地区r岁人口中的男性比例；
j (r,t) 第t年第j地区r岁人口中的女性比例；