无理数集合
三、知识巩固
1. x取何值时，下列各式有意义
(1) 4 x
(2)3 4 x
(3) 2x 1 x2
解（1）x≤4
(2) X为任何实数
(3) x 1 且x 2 2
2.解方程：
不
(1).9(3 y)2 4
解: (3 y)2 4 9
3 y 4 9
2
(2). 2（7 x 2）3 125 0
解:
3
27(x
2)3

125
3
(x 2)3 125
3
27
2 125 x 3
要
y 3 3
遗
y 2 1 或y 3 2
漏
3
3
3
27
x 25
33
x 1
当方程中出现平方时，若有解，一般都有
两个解
当方程中出现立方时，一般都有一个解
（4）若 x 54.77,则x＝___3_0_0_0
2、已知 3 3 1.442 ，3 30 3.107
3 300 6.694 ，，求（1）3 0.3 __0_._6694
（2）3000的立方根约为 14；.42
（3）3 x 31.07 则 ， x _30_0_00_
3、若 x 22 2 x ，则 x的取值范围是x≤2___
4、已知 a、b、c 位置如图所示，
试化简
a
b0 c
(1) a2 a b c a b c2
解：原式＝-a-(b-a)+(c-a)-(c-b)
=-a-b+a+c-a-c+b=-a
(2) a b c b 2c b a2
平方根
立方根
表示方法
a 的取值
正数
性
0
质 负数
开
方 是本身
a a≥ 0
正数（一个） 0
没有
0,1
a
a≥ 0
互为相反数（两个）
0 没有
求一个数的平方根 的运算叫开平方
0
3a a 是任何数
正数（一个）
0 负数（一个）
求一个数的立方根 的运算叫开立方
0,1,-1
练习：1、—8是64 的平方根, 64的平方根是±8；
a= 1
,x= 4
几个基本公式：（注意字母 的取值范围）
a a 0
a2 a = 0 a 0
a (a 0)
2 a a
a 0
3 a3 a a为任何数
3
3
a
a
a为任何数
3 a = - 3 a a为任何数
练习：
1、若a 0,求 a2 3 a3的值
4.若 3 (4 x)3 =4-x成立,则x的取值范围是( D ) A.x≤4 B. x≥4 C. 0 ≤x ≤ 4 D.任意实数
四、知识提高 1、已知 3 1.732 ， 30 5.477
(1) 300 __1_7_.3_2_ (2) 0.3 ___0_.5_4_77
（3）0.03的平方根约为 0.1；732
一般地，如果一个数的立方等于a，那 么这个数就叫做a的立方根，也叫做a的
三次方根．记作 3 a
其中a是被开方数，３是根指数，符号 “３ ”读做“三次根号”．
5.立方根的性质：
一个正数有一个正的立方根；
一个负数有一个负的立方根， 零的立方根是零。
区别
你知道算术平方根、平方根、立方根联系和区别吗？
算术平方根
64 ___8__ -64的立方根是__-_4__ 9 __3__
3 9 的平方根是 。
2 3 64 2、 的立方根是（ ）， 3 的平方根是 （
）
3.当x _＜_0__._5_ 时，2x-1没有平方根
4.若（3 x7）3 7 x,则x的值是 _X_=_7___
5.一个正数x的两个平方根分别是a+1和a-3,则
本章知识结构 图
乘 互为逆运算 方
开平方
开 方 开立方
算术平方根
平方根 立方根 负的平方根
有理数 无理数
实数
1.算术平方根的定义：
一般地，如果一个正数x的平方等于
a,即 x2 =a,那么这个正数x叫做a的
算术平方根。a的算术平方根记为 a ， 读作“根号a”，a叫做被开方数。
特殊：0的算术平 方根是0。
解：原式＝-a+a =0
； 2、若m n，求（m n）2 3 (n m)3的值
解：原式＝n-m+n-m =2n-2m
无限不循环的小数 叫做无理数. 有理数和无理数统称实数. 实数与 数轴上的点是一一对应的
在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义
和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意
记作：0 0
2. 平方根的定义：
一般地，如果一个数的平方等于a ，那 么这个数就叫做a 的平方根（或二次方
根）．
这就是说，如果x 2 = a ，那么 x 就叫做 a 的平方根．a的平方根记为± a
3.平方根的性质： 正数有2个平方根，它们互为相反数； 0的平方根是0； 负数没有平方根。
4.立方根的定义：
义完全一样 在进行实数的运算时，有理数的运算法则及 运算性质同样适用。
实数的分类
有限小数及无限循环小数
有理数
实 数
无理数
无限不循环小数
整数 分数
正整数 0
负整数 正分数
负分数
正无理数
负无理数
(1)、
一般有三种情况
2、“ ”，“3 ”开不尽的数
(3)、 类似于0.0100100010 0001
3 2,
, 5, 2
2,
1, 4
20 ,
3
4 , 0,
9
5, 3 8,
7,
0.3737737773 （相邻两个3之间的7的个数逐次加1）
1 , 5 , 42
4, 9
0,
3 8,

有理数集合
3 2,
7, ,2,Fra bibliotek20 ,
3
5, 0.3737737773

1.已知 x 和 x 的和为0,则x的范围是为( B )
A.任意实数 B.非正实数 C .非负实数 D. 0
2.若- 3 m
=
7
3
,则m的值是
(B )
8
A 7
B 7
7
C
8
8
8
D
343 512
3. 若 (x 2)2 2 x成立,则x的取值范围是( A )
A.x≤2 B. x≥2 C. 0 ≤x ≤ 2 D.任意实数
练习：
1、判断下列说法是否正确：
1.实数不是有理数就是无理数。 （ ）
2.无限小数都是无理数。
（）
3.无理数都是无限小数。
（）
4.带根号的数都是无理数。
（）
5.两个无理数之和一定是无理数。（ ）
6.所有的有理数都可以在数轴上表示，反过来， 数轴上所有的点都表示有理数。（ ）
2.把下列各数分别填入相应的集合内：