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层次分析法及matlab程序

层次分析法建模层次分析法(AHP-Analytic Hierachy process)---- 多目标决策方法70 年代由美国运筹学家T·L·Satty提出的,是一种定性与定量分析相结合的多目标决策分析方法论。

吸收利用行为科学的特点,是将决策者的经验判断给予量化,对目标(因素)结构复杂而且缺乏必要的数据情况下,採用此方法较为实用,是一种系统科学中,常用的一种系统分析方法,因而成为系统分析的数学工具之一。

传统的常用的研究自然科学和社会科学的方法有:机理分析方法:利用经典的数学工具分析观察的因果关系;统计分析方法:利用大量观测数据寻求统计规律,用随机数学方法描述(自然现象、社会现象)现象的规律。

基本内容:(1)多目标决策问题举例AHP建模方法(2)AHP建模方法基本步骤(3)AHP建模方法基本算法(3)AHP建模方法理论算法应用的若干问题。

参考书:1、姜启源,数学模型(第二版,第9章;第三版,第8章),高等教育出版社2、程理民等,运筹学模型与方法教程,(第10章),清华大学出版社3、《运筹学》编写组,运筹学(修订版),第11章,第7节,清华大学出版社一、问题举例:A.大学毕业生就业选择问题获得大学毕业学位的毕业生,“双向选择”时,用人单位与毕业生都有各自的选择标准和要求。

就毕业生来说选择单位的标准和要求是多方面的,例如:①能发挥自己的才干为国家作出较好贡献(即工作岗位适合发挥专长);②工作收入较好(待遇好);③生活环境好(大城市、气候等工作条件等);④单位名声好(声誉-Reputation);⑤工作环境好(人际关系和谐等)⑥发展晋升(promote, promotion)机会多(如新单位或单位发展有后劲)等。

问题:现在有多个用人单位可供他选择,因此,他面临多种选择和决策,问题是他将如何作出决策和选择?——或者说他将用什么方法将可供选择的工作单位排序?工作选择贡献收入发展声誉工作环境生活环境B.假期旅游地点选择暑假有3个旅游胜地可供选择。

例如:1P :苏州杭州,2P 北戴河,3P 桂林,到底到哪个地方去旅游最好?要作出决策和选择。

为此,要把三个旅游地的特点,例如:①景色;②费用;③居住;④环境;⑤旅途条件等作一些比较——建立一个决策的准则,最后综合评判确定出一个可选择的最优方案。

目标层准则层方案层C .资源开发的综合判断7种金属可供开发,开发后对国家贡献可以通过两两比较得到,决定对哪种资源先开发,效用最用。

二、问题分析:例如旅游地选择问题:一般说来,此决策问题可按如下步骤进行:(S1)将决策解分解为三个层次,即:目标层:(选择旅游地) 准则层:(景色、费用、居住、饮食、旅途等5个准则)方案层:(有1P ,2P ,3P 三个选择地点)并用直线连接各层次。

(S2)互相比较各准则对目标的权重,各方案对每一个准则的权重。

这些权限重在人的思维过程中常是定性的。

例如:经济好,身体好的人:会将景色好作为第一选择;中老年人:会将居住、饮食好作为第一选择; 经济不好的人:会把费用低作为第一选择。

而层次分析方法则应给出确定权重的定量分析方法。

(S3)将方案后对准则层的权重,及准则后对目标层的权重进行综合。

(S4)最终得出方案层对目标层的权重,从而作出决策。

以上步骤和方法即是AHP 的决策分析方法。

三、确定各层次互相比较的方法——成对比较矩阵和权向量在确定各层次各因素之间的权重时,如果只是定性的结果,则常常不容易被别人接受,因而Santy 等人提出:一.致矩阵法.... 即:1. 不把所有因素放在一起比较,而是两两相互比较2. 对此时採用相对尺度,以尽可能减少性质不同的诸因素相互比较的困难,提高准确度。

因素比较方法 —— 成对比较矩阵法:目的是,要比较某一层n 个因素n C C C , ,,21 对上一层因素O 的影响(例如:旅游决策解中,比较景色等5个准则在选择旅游地这个目标中的重要性)。

採用的方法是:每次取两个因素i C 和j C 比较其对目标因素O 的影响,并用ij a 表示,全部比较的结果用成对比较矩阵表示,即:)1( 1,0 ,)(=⋅=>=ij ij ijji ij nxn ij a a a a a a A 或 (1) 由于上述成对比较矩阵有特点: jiij ij ij a a a a A 1 ,0 , )(=>= 故可称A 为正互反矩阵:显然,由 jiij a a 1=,即:1=⋅ji ij a a ,故有:1=ji a例如:在旅游决策问题中:2112=a =(费用)(景色)21C C 表示:⎩⎨⎧2O 1O 21的重要性为(费用)对目标的重要性为景色)对目标(C C故:),费用重要性为即景色重要性为21(2112=a14413==a = (居住条件)(景色)31C C 表示:⎩⎨⎧1O C 4O (31的重要性为(居住条件)对目标的重要性为景色)对目标C 即:景色为4,居住为1。

17723==a =(居住条件)(费用)32C C 表示:⎩⎨⎧1O C 7O (32的重要性为(居住条件)对目标的重要性为费用)对目标C即:费用重要性为7,居住重要性为1。

因此有成对比较矩阵:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1135131112513131211714155337412121A 问题:稍加分析就发现上述成对比较矩阵的问题: ① 即存在有各元素的不一致性,例如:既然:41114a ;22113313113212112==⇒===⇒==a a C C a C C a 所以应该有:188412131231213223======C C C C a a C C a而不应为矩阵A 中的1723=a②成对比较矩阵比较的次数要求太 ,因:n 个元素比较次数为:!2)1(2-=n n C n 次, 因此,问题是:如何改造成对比较矩阵,使由其能确定诸因素n C C , ,1 对上层因素O 的权重?对此Saoty 提出了:在成对比较出现不一致情况下,计算各因素n C C , ,1 对因素(上层因素)O 的权重方法,并确定了这种不一致的容许误差范围。

为此,先看成对比较矩阵的完全一致性——成对比较完全一致性四:一致性矩阵Def :设有正互反成对比较矩阵:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=============== 1 a , , 1 , , 1 1nn 221122222212211121121111n n n n n n j iij nn nn W W W W a W W a W W a W W a W W a W W a W W a W W a W W a A(4) 除满足:(i )正互反性:即)1 ( 10=⋅=>ji ij jiij ij a a a a a 或 而且还满足:(ii )一致性:即n 2, 1,j i, ==⋅==ha h a a k a a a a j i kj i j i ij //有点点错误 则称满足上述条件的正互反对称矩阵A 为一致性矩阵,简称一致阵。

一致性矩阵(一致阵)性质:性质1:A 的秩 Rank(A)=1//显然A 的唯一非0的特征根为n性质2:A 的任一列(行)向量都是对应特征根n 的特征向量:即有(特征向量、特征值):⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n n n n n W W W W W W W W W W WW W W W W W W A212221212111,则向量⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=321W W W W满足:W n nW nW nW W W W W W W W W W W W W W W W W A n n n nn n n=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21212112111 即: 0)(=-W nI A我的理解:通过A(变换A 与W 中的元素有关)变换将一致W 矩阵变成权向量W(特征向量),如果正互反矩阵W ’接近一致矩阵,同样的道理变换A 可以将W ’变成权向量(这里的权向量与W ’稍有不同)启发与思考:既然一致矩阵有以上性质,即n 个元素W 1, W 2, W 3 , …W n 构成的向量⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n W W W W 21是一致矩阵A 的特征向量,则可以把向量W 归一化后的向量ω,看成是诸元素W 1, W 2,W 3 , …W n目标的权向量,因此,可以用求A 的特征根和特征向量的办法,求出元素W 1, W 2, W 3 , …W n 相对于目标O 的劝向量。

解释:一致矩阵即:n 件物体n M M M , , ,21 ,它们重量分别为n W W W , , ,21 ,将他们两两比较重量,其比值构成一致矩阵,若用重量向量⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n W W W W 21右乘A ,则:()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧∑⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛称特征根法,求权向量的方法量权向量,此种用特征向为即对上层因素O的权重,,C ,,C C ,就表示诸因素=W=则归一化后的特征向量,=:重量向量 为特征根的特征向量为以的特征根为n 21 1W W W W ,121 i n W W W n n A 分析:若重量向量⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n W W W W 21未知时,则可由决策者对物体n M M M , , ,21 之间两两相比关系,主观作出比值的判断,或用Delphi (调查法)来确定这些比值,使A 矩阵(不一定有一致性)为已知的,并记此主观判断作出的矩阵为(主观)判断矩阵A ,并且此A (不一致)在不一致的容许范围内,再依据:A的特征根或和特征向量W 连续地依赖于矩阵的元素ija ,即当ija 离一致性的要求不太远时,A 的特征根i 和特征值(向量)W 与一致矩阵A 的特征根λ和特征向量W 也相差不大的道理:由特征向量W 求权向量W 的方法即为特征向量法,并由此引出一致性检查的方法。

问题:Remark以上讨论的用求特征根来求权向量W 的方法和思路,在理论上应解决以下问题: 1. 一致阵的性质1是说:一致阵的最大特征根为n (即必要条件),但用特征根来求特征向量时,应回答充分条件:即正互反矩阵是否存在正的最大特征根和正的特征向量?且如果正互反矩阵A 的最大特征根n =max λ时,A 是否为一致阵?2. 用主观判断矩阵A 的特征根λ和特征向量W 连续逼近一致阵A 的特征根λ和特征向量W 时,即: 由λλ=→k kk lim得到:W W k k =∞→lim即: A A k k =∞→lim是否在理论上有依据。

3.一般情况下,主观判断矩阵A 在逼近于一致阵A 的过程中,用与A 接近的*A 来代替A ,即有A A ≈*,这种近似的替代一致性矩阵A 的作法,就导致了产生的偏差估计问题,即一致性检验问题,即要确定一种一致性检验判断指标,由此指标来确定在什么样的允许范围内,主观判断矩阵是可以接受的,否则,要 两两比较构造主观判断矩阵。

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