求: 实心轴的直径d1和空心轴的外直径D2。
•两轴转速相同,传递功率相同,故两轴上作用的 扭矩相同.
Mx=T=9549
P n
•两轴上最大切应力均等于40MPa.
扭转切应力
例题1
解：
圆轴扭转时 横截面上的切应力
7.5 P = 9549 Mx=T=9549 n 100
实心轴
=716.2 N• m
一定可以找到以这个截面为对称面的一段扭转轴, 采取同样方法,可证明
圆轴扭转时，横 截面 保持平面，并且 只能发生刚性转动。
圆轴扭转的平面假定 圆轴扭转变形前的截面，变形后仍保持为平面， 截面形状和大小不变，直径仍保持为直线.
•截面仅发生刚性转动
如何分析圆轴扭转的变形协调条件?
扭转切应力
m n
•对称面各点变形后保持在原来的平面内 (对称面内) •变形前同一圆周上的点变形后 仍然还在同一圆周上. •对称面内不同圆周上的各点变形的步调保持 一致
总结论:圆轴扭转时，横截面 保持平面，并且 截面只发生刚性转动。
扭转切应力
圆轴扭转时 横截面上的切应力
分析了对称面的情况, 任意截面?
对于任意截面:
对于直径为 d 的实心圆截面
π d4 IP , 32 π D 1－ IP 32
4
π d3 WP 16
3
对于内、外直径分别为d 和 D 圆环截面

π D 1－ WP 16 =d/D
4
,

4

为什么设计空心截面?
切应力哪些区域较大?
节省材料
传动轴的扭矩计算 研究外加力偶矩与功率P和转速n的关系
2 1 3
•结论: 若轴的长度相同, 在最大切应力相同的 情况下,实心轴比空心轴所用材料多。空心轴 可节省材料，降低成本。
扭转切应力
矩形截面杆扭转切应力公式
扭转切应力
矩形截面杆扭转切应力

变形特征 由平衡直接得到的结论 切应力分布特点 狭长矩形截面切应力分布
圆轴扭转的变形特征:平面保持平面.
扭转切应力 圆轴扭转时的应力变形特征
变形前 圆轴表面画出圆周线 和纵向平行线
变形后
•圆周线和纵向平行线将发生什么 变化？ •圆轴受扭转后表面的 矩形将发生什么变化？
实验观察到的结果 •圆周线: 形状、大小、间距 绕轴线转
•纵向平行线： 水平
没变化
倾斜
•圆轴受扭转后表面的纵向线和圆周线交叉所 得到的矩形将发生什么变化？
物性关系与应力分布
G
d dx
d G G dx
G为剪切弹性模量
扭转切应力
圆轴扭转时 横截面上的切应力
物性关系与应力分布
d ( ) G G dx
分析: 作用于圆轴表面微元ABCD的四条边上,半径方向线 与ABCD面垂直,也与垂直
•工程计算中,作用于传动轴上的 外力偶通常不直接给出 •给出轴传递功率P(KW) •给出转速n(转/分)
每秒钟输入功W W=PX1000(Nm) 输入功由扭矩作用在轴上完成: 扭矩在每秒完成的功为:
2n T 60
角位移
外加力偶矩T与功率P和转速n的关系
2n T P 1000 60
自行车有哪些扭转构件?
荷兰人口:1600万，但全国自行车拥有量 1700万辆，人均拥有量位居世界第一
工程中承受切应力的构件
A
B
请判断哪一杆件 将发生扭转
扳手
C
齿轮系 F
发动机
A
传动轴
传递功率
工程中承受切应力的构件
•请判断哪个截面 将优先发生剪切 破坏?
第4章
弹性杆件横截面上的 切应力分析

C
根据z方向的力矩平衡可知

dz
F
dydz dx dxdz dy
G
x
z
B
dx
D

y
切应力互等定理公式

A
dy C

x
dz

z
B
dx
D
在微元体的两个相互垂直的截面上, 垂直于截面交线(棱边) 的切应力数值相等. 切应力方向: 共同指向交线（棱边）, 或共同离开交线（棱边）
对于矩形截面 是否平面保持平面?
扭转切应力
矩形截面杆的扭转
矩形截面杆扭转切应力
划出与轴线平行和垂直的纵向线和横向线
扭转切应力
矩形截面杆扭转切应力
变形特征－翘曲
•横截面的横向线变为曲线,发生翘曲 由此可见:平面保持平面不成立.
由于翘曲, 平面假定不成立，矩形截面 杆扭转时的切应力与圆截面杆有很大的 差别。
圆轴扭转时 横截面上的切应力
变形协调方程
在扭矩作用下(切出杆微元)
•假定m-m截面和n-n截面 的相对转角为d
r
m
n
dx (r ) rd
表面上观察到的变形
扭转切应力
变形协调方程
圆轴扭转时 横截面上的切应力
在杆微元基础上
•选取半径为的微圆柱单元
cc d ac dx
A1 d12 1 45 10 3 2 ＝1.28 2 3 2 A2 D2 1 46 10 1 0.5
2
A1为实心轴，A2为空心轴
2
A1 d 1 45 10 2 ＝1.28 2 3 2 A2 D2 1 46 10 1 0.5
扭转切应力
矩形截面杆扭转切应力
由平衡直接得到的结论
yz yx 0 , zx zy 0
由剪应力互等定律
xy 0 , xz 0
角点切应力等于零
扭转切应力
矩形截面杆扭转切应力
研究边界上的切应力 研究A点的切应力? 切几刀的到微元?
A
A
yz yx 0
两类切应力
扭转切应力 弯曲切应力
切应力的特征
切应力互等定理
切应力的特征
y
E A dy

C
F

微元能不能平衡？ 哪些力互相平衡？ 怎样才能平衡？

B
O dx D
G
dz
x
z
切应力的特征
y
E A dy O

C
根据z方向的力矩平衡

dz
F
G
x
z
B
dx
D
切应力的特征
y
E A dy O
问题: •对称面各点变形后保持在原来的平面内 (对称面内),变形前同一圆周上的点变形后 仍然还在同一圆周上. •对称面内不同圆周上的各点变形的步调怎样?
扭转切应力
圆轴扭转时 横截面上的切应力
反对称分析论证:对称面不同圆周上的各点变形步调是一致的
不同圆周上的各点变形若假定步调不一致
假设平面不是刚性转动，直径 假设平面不是刚性转动，直径 将变成曲线， B 端观察者看到的 将变成曲线， A 端观察者看到的 情形。AB两侧观测结果相反，产 情形。 生矛盾
扭转切应力 圆轴扭转时的应力变形特征
外加力偶矩与功率P和转速n的关系
P(kW) T=9549 n(r/min) (N•m)
扭转切应力
例题1
圆轴扭转时 横截面上的切应力
已知：实心圆轴与空心圆轴通过牙嵌式离合器 连接传递功率。 P传＝7.5kW, n=100r/min, 最大切应力均为 40MPa,空心圆轴的内外直径之比 = 0.5。
圆截面扭转的切应力公式无法应用.
如何分析矩形截面杆扭转下的切应力?
•弹性力学理论 介绍结论
研究: •矩形截面杆扭转,截面角点切应力特点 •矩形截面杆扭转,截面边界上各点的切应力 方向有哪些规律?
扭转切应力
矩形截面杆扭转切应力
由平衡直接得到的结论
上表面
角点微元 角点区域
前表面
•注意微元各面与杆件的对应关系
扭转切应力 圆轴扭转时的应力变形特征
观察到的现象: 矩形变为平行四边形

A
B
C D
A B
C'

´
D'
此变形是何种应力引起的?
•为什么4个面上都存在切应力?

A B C'

´
D'
如果认为： 受扭转的圆杆(轴)内部变形与表面 变形一致
平面假定： 平面 平面
•横截面大小形状不变 •半径直线 •横截面: 绕轴线的刚性转动
16 716.2 m 4 6 π 1－0.5 40 10


＝0.046 m＝46 mm
d2＝0.5D2=23 mm
扭转切应力
圆轴扭转时 横截面上的切应力
例题1
二轴的横截面面积之比为
解： 实心轴
d1=45 mm d2＝23 mm
空心轴 D2＝46 mm 二轴的横截面面积之比为
实心 空心
xz
dA y M x
提供信息:内力和哪些应力关联
第4章 弹性杆件横截面 上的切应力分析

工程中承受切应力的构件 扭转切应力 结论与讨论(1) 弯曲切应力 结论与讨论(2)
第4章 弹性杆件横截面上的 切应力分析
工程中承受切应力 的构件
•扭转 •弯曲
扭转的实例
搅拌器
搅拌轴
结论: 切应力沿横截面半径线性分布, 方向:垂直于半径 •特殊点的切应力:=0, max
扭转切应力
圆轴扭转时 横截面上的切应力
最大切应力
max
M x max M x IP WP
WP IP
max