6
例2
1
AB
C
x( x 1)2 x x 1 ( x 1)2 ,
1 A( x 1)2 Bx( x 1) Cx ，
代入特殊值来确定系数 A, B,C
取x 0, A1 取x 1, C 1
比较 x2 的系数, A B 0 , B 1 .
1
11
1
x( x 1)2
x
x 1 ( x 1)2
常数项： 2 ACE,得E 0 ；
x 的系数： 2 B C D E ,得 D 2 ,
2x 2
1 x 1 2x
( x 1)( x2
1)2
x1
x2
1
(x2
1)2
.
8
真分式可分为以下四种类型的分式之和：
(1) A xa
A (2) ( x a)n (n 2)
Ax B
(3) x2 x
第五节
1
设 P( x), Q( x) 为多项式,称P( x) 为有理函数. Q( x)
P( Q(
x) x)
a0 xn b0 xm
a1 x n1 b1 x m1
an1 x an bm1 x bm
其中m 、n都是非负整数；a0 , a1 ,, an 及 b0 , b1 ,, bm 都是实数，并且a0 0 ，b0 0 .
.
7
例3
2x 2 ( x 1)( x2 1)2
A x1
Bx C x2 1
Dx E ( x2 1)2
，
2x 2 A( x2 1)2 (Bx C)( x 1)( x2 1) (Dx E)( x 1)，
令 x 1,得A 1 ；比较 x4 的系数,得B 1 ；
x3 的系数：C B 0 ,得C 1；
tan9 t d tant
1 tan10 10
t
C
x10 10(1 x 2 )5
C
.
13
假定分子与分母之间没有公因式(既约分式).
(1) n m, 有理函数是真分式；
(2) n m, 有理函数是假分式；
利用多项式除法, 假分式可以化成一个多项式
和一个真分式之和.
2
例
x3 x2
x 1
1
x
1 x2
. 1
以下只考虑真分式的积分.
要点 将真分式化为部分分式之和.
3
一、真分式的分解
真分式化为部分分式之和的一般规律：
1 x2 1
C
.
11
例7
x2 x2 2x 3 dx
x 1 3 ( x 1)2 2 dx
(
x
x1 1)2
2
dx
3
(
x
1 1)2
2
dx
1 ln(x2 2x 3) 3 arctan x 1 C .
2
2
2
1
1
x
a2 x2 dx a arctan a C
12
灵活运用其他方法：
（1）分母中若有因式 ( x a) ，则分解后有
A xa
（2）分母中若有因式 ( x a)k (k 2)，则分解后有
A1 xa
(x
A2 a)2
(x
Ak a)k
其中A1 , A2 ,, Ak 都是常数.
4
（3）分母中若有因式 ( x2 px q) ，其中 p2 4q 0 , 则分解后有
Mx N x2 px q
（4）分母中若有因式 ( x2 px q)k (k 2) ， 其中 p2 4q 0 ，则分解后有
M1x N1 x2 px q
M2x ( x2 px
N2 q)2
Mkx ( x2 px
Nk q)k
其中Mi , N i都是常数(i 1,2,, k).
dx
x4
例8 x(1 x5 ) x5 (1 x5 ) dx
1
5
1 ( x5
1
1 x5
) dx 5
1 x5 5 ln 1 x5
C .
例9
x9 (1 x 2 )6 dx
( | x | 1)
令 x sint ，
sin9 t cos12 t
cos
t dt
tan9 t sec2 t dt
( 2 4 0)
Ax B
(4) ( x2 x )n
( 2 4 0)(n 2)
这四类分式均可积分,且原函数为初等函数.
因此,有理函数的原函数都是初等函数.
9
二、部分分式的积分
例4
x2
x3 5x
dx 6
(
5 x2
x
6
) dx 3
5ln | x 2 | 6ln | x 3 | C .
5
真分式化为部分分式之和的待定系数法：
例1
x2
x3 5x
6

(x
x3 2)( x
3)
A x2
B x
, 3
x 3 A( x 3) B( x 2)
(A B)x (3A 2B),
比较同次项系数可得:
A B (3A
1, 2B)
3,
A B
5 ,
6
x2
x3 5x
6
5 x2
x
6
. 3
例5
1 x( x 1)2 dx
[
1 x
1 x1
(x
1 1)2
]dx
ln x 1 C . x1 x1
10
2x 2
例6 ( x 1)( x2 1)2 dx
1 x 1 2x
[ x 1 x2 1 ( x2 1)2 ]dx
ln |
x
1|
1 2
ln( x 2
1) arctan x