多边形的平面镶嵌
郝易 18号一、1.概念：
从数学的角度看，用不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖用形状和大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺；通常把这类问题叫做用多边形的平面镶嵌。

2.正n边形的镶嵌：
可找出规律：正n边形，内角和是（n-2）*180度，一个内角的度数是（n-2）*180÷n度。

若（n-2）*180÷n能整除360，那么它就能来进行镶嵌，若不能，则不能用其进行镶嵌。

由此可以看出，只有正三角形、正方形、正六边形这三个正n边
形可以进行镶嵌。

二、三角形的平面镶嵌
因为三边形四个角和为
180度。

所以只要把
不同的角往一个点
凑，这样两个就可以进行
平面镶嵌。

三、四边形的平面镶嵌
因为四边形四个角和为
360度。

所以只要把
不同的角往一个点
凑，就可以进行
平面镶嵌。

四、五边形的平面镶嵌
设在一个顶点处，有n个角。

若n > = 4 ，4 * 108 > 360 ，不能平面镶嵌。

若n < 4 ，3 * 108 < 360 ，不能平面镶嵌。

由此得出：五边形不能平面镶嵌。

五、六边形的平面镶嵌
正六边形一个角的度数为120度。

120\360，
所以正六边形可以平面镶嵌，如图：
对边相等的六边形也可以平面镶嵌：
六、两种正多边形的平面镶嵌
①正三角形和正方形
设需要用正三角形m个，正方形n个
60m+90n=360
2m+3n=12
m=(12-3n)/2
m=3
n =2
②正三角形和正六边形
设需要用正三角形m个，正六边形n个60m+120n=360
m+2n=6
m=6-2n
n =2,1
m=2,4
③正方形和正八边形
设需要用正方形m个，正八边形n个
90m+135n=360
2m+3n=8
m=(8-3n)/2
n =2
m =1
4、3和12
两种正多边形的平面镶嵌公式：
xm+yn=360
如果m、n没有正整数解，则这两种正多边形不能平面镶嵌。

如果有，则可以平面镶嵌，m，n分别表示每种正多边形的个数，x，y分别表示每种正多边形的一个内角的度数。

七、三种正多边形的平面镶嵌
①正三角形、正方形和正六边形
设有n个正三角形，m个正方形，i个正六边形60n+90m+120i=360
2n+3m+4i=12
n=(12-3m-4i)/2
n= 1
m = 2
i = 1
②正三角形、正方形和正十二边形
设有n个正三角形，m个正方形，i个正十二边形60n+90m+150i=360
2n+3m+5i=12
n =(12-3m-5i)/2
n =2
m=1
i=1
③正方形、正六边形和正十二边形
设有n个正方形，m个正六边形，i个正十二边形90n+120m+150i=360
3n+4m+5i=12
n = (12-5i-4m)/3
n =1
m=1
i=1。