2、线与线的关系
直线
L1：x
x1 m1
y
y1 n1
z
z1 p1
,
s1 (m1, n1, p1)
直线
L2：x
x2 m2
y
y2 n2
z
z2 p2
,
s2 (m2 , n2 , p2 )
垂直: s1 s2 0
m1m2 n1n2 p1 p2 0
平行: s1 s2 0
m1 n1 p1 m 2 n 2 p2
平面 2 : A2 x B2 y C2 z D2 0, n2 ( A2 , B2 ,C2 )
垂直: n1 n2 0
A1A2 B1B2 C1C2 0
平行: n1 n2 0
A1 B1 C1 A2 B2 C2
夹角公式: cosθ n1 n2 n1 n2
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夹角公式: cos s1 s2
s1 s2
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3.面与线间的关系
平面: Ax By Cz D 0, n ( A, B , C)
直线: x x y y z z , s (m , n , p) mn p
垂直：s n 0
mn p ABC
平行： s n 0
的方向余弦.
提示: 已知平面的法向量 n1 (7 , 1, 4) 求出已知直线的方向向量 s (1 , 1 , 2)
取所求平面的法向量
i jk
所求为
n s n1 1 1 2 2(3, 5, 4)
7 1 4
cos 3 , cos 5 , cos 4
51
50
50
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a (ax ,ay ,az )
a b axbx ayby azbz
叉积:
i jk ab ax ay az
bx by bz
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2. 向量关系:
a // b ab
ab 0 ab 0
bx by bz ax ay az axbx ayby azbz 0
二元函数的极限
方法: 主要根据定义求极限、讨论极限； 利用定义求导数；
z x2 y2 x y z 1
此曲线向 xoy 面的投影柱面方程为
x y x2 y2 1
此曲线在 xoy 面上的投影曲线方程为
x y x2 y2 1 z 0
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例2.直线 L : x 1 y z 绕 z 轴旋转一周, 求此旋转 转曲面的方程. 0 1 1
从中选择 使其与已知平面垂直：
(1 ) 1 (1 ) 1 (1 ) 1 0
得 1, 从而得投影直线方程
xy
z y
1 z
0 0
这是投影平面
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例3.
设一平面平行于已知直线
x
2x z 0 yz5
0
且垂直于已知平面7x y 4z 3 0,求该平面法线的
2 1 5
利用点向式可得方程
(4, 3, 1)
x3 y2 z5
4
3
1
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例2.
求直线
xx
y y
z
1 1
0 0
在平面
x
yz0
上的投影直线方程.
提示：过已知直线的平面束方程
x y z 1 (x y z 1) 0 即 (1 )x (1 ) y (1 )z (1 ) 0
mAnB pC 0
夹角公式： sin s n
sn
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实例分析
例1. 求与两平面 x – 4 z =3 和 2 x – y –5 z = 1 的交线 平行, 且 过点 (–3 , 2 , 5) 的直线方程.
提示: 所求直线的方向向量可取为
i jk s n1 n2 1 0 4
平面曲线绕坐标轴旋转而成的旋转曲面 的方程
主要利用书中结论: 即绕着哪个轴旋转,这个轴对应的字母不变, 变化的是另一个字母;
例1 求曲线
z x
y 0
2
绕
z
轴旋转的曲面与平面
x y z 1的交线在 xoy 平面的投影曲线方程.
解： 旋转曲面方程为 z x2 y2 ,它与所给平面的
交线为
计算方法； 曲线积分与曲面积分，格林公式和高斯公式的应用； 常数项级数的收敛与绝对收敛，傅立叶级数的收敛性定理，
幂级数的收敛域与和函数。
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向量的方向余弦
给定
r
(x,
y,
z)
0,
与三坐标轴的夹角 , ,
为其方向角.
方向角的余弦称为其方向余弦.
cos
x r
高等数学总复习
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高等数学复习简介
向量的运算及方向余弦，平面与直线（包括坐标轴）的位置 关系；
平面曲线绕坐标轴旋转而成的旋转曲面的方程； 二元函数的极限; 二元函数的连续，偏导数存在，可微及偏导数连续之间的关
系； 多元隐函数求导，曲面的切平面方程； 复合函数求导（特别是抽象函数的求导问题）； 方向导数，多元函数的条件极值问题； 二重积分的计算，对称性的应用，及积分次序的交换； 利用三重积分计算空间立体的体积，三重积分的“先二后一”
x x2 y2 z2
cos
y r
cos
z r
z
r
o
y
x
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向量的运算
设 a (ax , ay , az ) , b (bx ,by ,bz ) , c (cx , cy , cz )
1. 向量运算
加减: 数乘: 点积:
a b (ax bx , ay by , az bz )
提示: 在 L 上任取一点 M 0 (1, y0 , z0 )
设 M (x, y, z)为M 0 绕 z 轴旋转轨迹上任一点, 则有
y0 z0 z x2 y2 1 y02 将 y0 z 代入第二方程，
得旋转曲面方程
x2 y2 z2 1
z
L
rr
Mo
M0
y
x
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a ,b,c 共面
( ab)c 0
ax ay az bx by bz 0 cx cy cz
平面与直线（包括坐标轴）的位置关系
主要通过向量间的关系来衡量线线关系， 线面关系，面面关系；
问题根源仍然是对向量关系的正确理解；
1、线面之间的相互关系
面与面的关系
平面 1 : A1x B1y C1z D1 0, n1 ( A1, B1,C1)