2019最新高等数学（下册）期末考试试题（含答案）一、解答题1．已知过去几年产量和利润的数据如下：解：在直角坐标系下描点，从图可以看出，这些点大致接近一条直线，因此可设f (x )=ax +b ，求[]621()i i i u y ax b ==-+∑的最小值，即求解方程组66621116611,6.i i i i i i i i i i i a x b x y x a x b y=====⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩∑∑∑∑∑ 把(x i ,y i )代入方程组，得29834402240034026320a b a b +=⎧⎨+=⎩解得 a =0.884, b =-5.894 即 y =0.884x -5.894,当x =120时，y =100.186(310元).2．求下列伯努利方程的通解：2(1)(cos sin );y y y x x '+=-解：令121z yy --==，则有d d (12)(12)(cos sin )sin cos d d z zz x x z x x x x+-=--⇒-=- (1)d (1)d e (sin cos )e d e e (sin cos )d e sin xx x xx z x x x c x x x c c x ----⎰⎡⎤⎰=-+⎢⎥⎣⎦⎡⎤=-+=-⎣⎦⎰⎰1e sin x c x y⇒=- 即为原方程通解.411(2)(12)33y y x y '+=-.解：令3d 21d zz y z x x-=⇒-=-.d de 21e (21)e d x x x z x c x x c -⎰⎡⎤⎰==--+-+⎢⎥⎣⎦⎰ 3(e 21)1x y c x ⇒--=即为原方程通解.3．证明：22d d x x y yx y ++在整个xOy 平面内除y 轴的负半轴及原点外的开区域G 内是某个二元函数的全微分，并求出这样的一个二元函数． 证：22x P x y =+，22yQ x y =+，显然G 是单连通的，P 和Q 在G 内具有一阶连续偏导数，并且．()2222∂∂-==∂∂+P Q xy y x x y ，(x ,y )∈G 因此22d d x x y yx y ++在开区域G 内是某个二元函数u (x ,y )的全微分．由()()22222222d d 11ln 22d x y x x y y d x y x y x y ++⎡⎤==+⎢⎥++⎣⎦知()()221ln ,2u x y x y =+．4．应用格林公式计算下列积分： (1)()()d d 24356+-++-⎰x y x y x y Γ， 其中L 为三顶点分别为(0,0)，(3,0)和(3,2)的三角形正向边界； (2)()()222d d cos 2sin e sin 2e x x L x y xy x xy x y x x y ++--⎰，其中L 为正向星形线()2223330x y a a +=>；(3)()()3222d d 2cos 12sin 3+--+⎰L x y xy y x y x x y ，其中L 为抛物线2x =πy 2上由点(0,0)到(π2,1)的一段弧；(4)()()22d d sin L x y x y x y --+⎰，L是圆周y =(0,0)到(1,1)的一段弧； (5)()()d d esin e cos xx Lx y y my y m +--⎰，其中m 为常数，L 为由点(a ,0)到(0,0)经过圆x 2+y 2=ax 上半部分的路线（a 为正数）．图11-4解：(1)L 所围区域D 如图11-4所示，P =2x -y +4， Q =3x +5y -6，3Qx∂=∂，1P y ∂=-∂，由格林公式得 ()()d d 24356d d 4d d 4d d 1432212LD DDx yx y x y Q P x y x y x yx y+-++-∂∂⎛⎫-= ⎪∂∂⎝⎭===⨯⨯⨯=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(2)P =x 2y cos x +2xy sin x -y 2e x ，Q =x 2sin x -2y e x ， 则2cos 2sin 2e x Px x x x y y∂=+-∂， 2cos 2sin 2e x Qx x x x y x∂=+-∂． 从而P Qy x∂∂=∂∂，由格林公式得． ()()222d d cos 2sin e sin 2e d d 0++--∂∂⎛⎫-= ⎪∂∂⎝⎭=⎰⎰⎰x x LD x yxy x xy x y x x y Q P x y x y(3)如图11-5所示，记OA ，AB ，BO 围成的区域为D ．（其中BO =-L ）图11-5P =2xy 3-y 2cos x ，Q =1-2y sin x +3x 2y 2 262cos P xy y x y ∂=-∂，262cos Q xy y x x∂=-∂ 由格林公式有：d d d d 0L OA AB D Q P P x Q y x y x y -++∂∂⎛⎫-+== ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰ 故π21220012202d d d d d d d d ππd d 12sin 3243d 12π4π4++=+=+++⎛⎫=+-+⋅⋅ ⎪⎝⎭⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰LOA AB OA ABP x Q y P x Q yP x Q y P x Q y O x yy y y y y(4)L 、AB 、BO 及D 如图11-6所示．图11-6由格林公式有d d d d ++∂∂⎛⎫-+=- ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰L AB BO D Q P P x Q y x y x y 而P =x 2-y ，Q =-(x +sin 2y )．1∂=-∂Py ，1∂=-∂Q x，即，0∂∂-=∂∂Q P x y 于是()d d d d 0+++++=+=⎰⎰⎰⎰LABBOL AB BOP x Q y P x Q y从而()()()()()()()22222211220011300d d d d sin d d d d sin sin d d 1sin 131sin 232471sin 264LLBA OB P x Q y x yx y x y x y x yx y x y x y x y y x x y x y y +=--+=-+--+-+=-++⎡⎤⎡⎤=+-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰(5)L ，OA 如图11-7所示．图11-7P =e x sin y -my ， Q =e x cos y -m ，e cos x P y m y ∂=-∂，e cos x Q y x∂=∂ 由格林公式得：22d d d d d d d d 1π22π8L OA D DDQ P P x Q y x y x y m x ym x ya m m a +∂∂⎛⎫-+=⎪∂∂⎝⎭==⎛⎫=⋅⋅ ⎪⎝⎭=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 于是：()()[]220202πd d d d 8πd 0e sin 00e cos08π0d 8π8+=-+=-+⋅⋅-⋅⋅-=-=⎰⎰⎰⎰L OA a x x a m a P x Q y P x Q ym a xm m m a xm a5．设L 为xOy 面内x 轴上从点(a ,0)到点(b ,0)的一段直线，证明：()(),d 0d bLaP x y x P x,x =⎰⎰，其中P (x , y )在L 上连续．证：L ：0x xa xb y =⎧≤≤⎨=⎩，起点参数为x =a ，终点参数为x =b ．故()(),d ,0d bLaP x y x P x x =⎰⎰6．求抛物面壳221()(01)2z x y z =+≤≤的质量，此壳的面密度大小为z ρ=. 22221:():22xy z x y D x y ∑=++≤221d d ()d 2xy D M s z s x y x y ∑∑ρ===+⎰⎰⎰⎰⎰⎰12π222122225322220d (1)d 2π1)(1)(1)2π2π221)(1)(1)21553r r r r r r d r r r θ=+=+-++⎡==+-+⎢⎥⎣⎦⎰7．求下列线性微分方程的通解：(1)e x y y -'+=;解：由通解公式d de e e e d e ()e e d xx x x x x x y x c x c x c -----⎰⎡⎤⎰⎡⎤==⋅+=+⋅+⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 2(2)32xy y x x '+=++；解：方程可化为 123y y x x x'+=++ 由通解公式得11d d 22e (3) e d 12(3)d 132.32x x x x y x x c x x x x c x x c x x x-⎡⎤⎰⎰=++⋅+⎢⎥⎣⎦⎡⎤=++⋅+⎢⎥⎣⎦=+++⎰⎰ sin (3)cos e ;x y y x -'+=解： cos d cos d sin sin e e ().e e d x xx x x x y x c x c ---⎰⎡⎤⎰==+⋅+⎢⎥⎣⎦⎰(4)44y xy x '=+;解： 22(4)d (4)d 22e e 4e d 4e d x xx x x x y x x c x x c ----⎰⎡⎤⎰⎡⎤==++⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰()222222e e e 1x x x c c -=-+=-.3(5)(2)2(2)x y y x '-=+-;解：方程可化为2d 12()d 2y y x x x x -=-- 11d d 222ln(2)2ln(2)3e 2(2)e d e 2(2)e d (2)2(2)d (2)(2)x x x x x x y x x c x x c x x x c x c x --------⎰⎡⎤⎰=-+⎢⎥⎣⎦⎡⎤=-+⎣⎦⎡⎤=--+⎣⎦=-+-⎰⎰⎰22(6)(1)24.x y xy x '++=解：方程可化为 2222411x x y y x x '+=++ 222222d d 1123ln(1)224e ed 14e 4d 3(1)xxx x x x x x y x c x x c x x c x -++-+⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥+⎣⎦+⎡⎤=+=⎣⎦+⎰⎰8．求下列各微分方程的通解：(1)ln 0xy y y '-=;解：分离变量,得d 1d ln y x y y x= 积分得11d ln d ln y x y x =⎰⎰ln ln ln ln y x c =+ln y cx =得 e cxy =.(2)y '=解：分离变量，得=积分得=⎰得通解：.c -=-(3)(e e )d (e e )d 0x y x x y y x y ++-++=;解：分离变量，得 e e d d 1e 1ey yy xy x =-+积分得 ln(e 1)ln(e 1)ln y xc --=+- 得通解为 (e 1)(e 1)xyc +-=.(4)cos sin d sin cos d 0x y x x y y +=;解：分离变量，得cos cos d d 0sin sin x yx y x y+= 积分得 lnsin lnsin ln y x c += 得通解为 sin sin .y x c ⋅=(5)y xy '=;解：分离变量，得d d yx x y = 积分得 211ln 2y x c =+ 得通解为 2112e(e )x c y c c ==(6)210x y '++=;解： 21y x '=--积分得 (21)d y x x =--⎰得通解为 2y x x c =--+.32(7)4230x x y y '+-=;解：分离变量，得 233d (42)d y y x x x =+ 积分得 342y x x c =++ 即为通解.(8)e x y y +'=.解：分离变量，得 e d e d yxy x -= 积分得 e d e d y x y x -=⎰⎰得通解为： e e y x c --=+.9．计算曲面积分(,,)d f x y z s ∑⎰⎰，其中∑为抛物面z = 2-(x 2+y 2)在xOy 面上方的部分，f (x , y , z )分别如下：(1) f (x , y , z )=1; (2) f (x , y , z )=x 2+y 2; (3) f (x , y , z )=3z .解：抛物面z =2-(x 2+y 2)与xOy 面的交线是xOy 面上的圆x 2+y 2=2，因而曲面∑在xOy 面上的投影区域D xy : x 2+y 2≤2,且d s d d x y x y =故(1)2π0322(,,)d d d d 1312ππ.(14)312xyD f x y z s x y rr ∑θ==⎡==+⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰(2)22(,,)d (d xyD f x y z s x y x y ∑=+⎰⎰⎰⎰2π220312222205322220d d π1)1)16π1)(14)]d(41)16π14922π.(41)(14)163053r rr r r r r r r θ==+-+=+-++⎡==+-+⎢⎥⎣⎦⎰(3)22(,,)d 3d 3d 2()xyD f x y z s z s x y x y ∑∑==⎡-+⎣⎰⎰⎰⎰⎰⎰12π22212222035222203d )(14)d 16π(14)(14)9(14)323π11122π.9(14)(14)161035r r r rr d r r r r θ=-+=⨯++⎤-+⎦⎡==⨯+-+⎢⎥⎣⎦⎰10．设薄片所占的闭区域D 如下，求均匀薄片的重心。