2018年数学中考真题演练（图形的旋转）一．选择题1．（2018?鞍山）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．（2018?营口）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，在同一平面内，将△ABC绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，连接BB1，若BB1∥AC1，则∠CAC1的度数是（）A．10°B．20°C．30°D．40°3．（2018?本溪）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．（2018?济南）“瓦当”是中国古建筑装饰檐头的附件，是中国特有的文化艺术遗产，下面“瓦当”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．5．（2018?济南）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在方格线的格点上，将△ABC 绕点P顺时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，则点P的坐标为（）A．（0，4）B．（1，1）C．（1，2）D．（2，1）6．（2018 ?德阳）如图，将边长为的正方形绕点 B 逆时针旋转30°，那么图中阴影部分的面积为（）A．3 B．C．3﹣D．3﹣7．（2018 ?牡丹江）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）个．A．0 B．1 C．2 D．38．（2018 ?牡丹江）如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A（1，﹣1），B（2，﹣2），C（4，﹣1），将△ABC绕着原点O旋转75°，得到△A1B1C1，则点B1的坐标为（）A．（，）或（﹣，﹣）B．（，）或（﹣，﹣）C．（﹣，﹣）或（，）D．（﹣，﹣）或（，）9．（2018?黑龙江）如图图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．10．（2018?阜新）如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2018次得到正方形OA2018B2018C2018，如果点A的坐标为（1，0），那么点B2018的坐标为（）A．（1，1）B．（0，）C．（）D．（﹣1，1）11．（2018?贺州）下列图形中，属于中心对称图形的是（）A．B．C．D．12．（2018?大连）如图，将△ABC绕点B逆时针旋转α，得到△EBD，若点A恰好在ED的延长线上，则∠CAD的度数为（）A．90°﹣αB．αC．180°﹣αD．2α13．（2018?桂林）如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点M在CD的边上，且DM＝1，△AEM 与△ADM关于AM所在的直线对称，将△ADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF，连接EF，则线段EF的长为（）A．3 B．C．D．14．（2018?遂宁）下列说法正确的是（）A．有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等B．正方形既是轴对称图形又是中心对称图形C．矩形的对角线互相垂直平分D．六边形的内角和是540°15．（2018?海南）如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，连接BC1，则BC1 的长为（）A．6 B．8 C．10 D．1216．（2018?遂宁）已知如图，在正方形ABCD中，AD＝4，E，F分别是CD，BC上的一点，且∠EAF＝45°，EC＝1，将△ADE绕点A沿顺时针方向旋转90°后与△ABG重合，连接EF，过点B作BM∥AG，交AF于点M，则以下结论：①DE+BF＝EF，②BF＝，③AF＝，④S＝中正确的是（）△MBFA．①②③B．②③④C．①③④D．①②④二．填空题17．（2018?青海）如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△DEC，连接AD，若∠BAC＝25°，则∠BAD＝．18．（2018?镇江）如图，△ABC中，∠BAC＞90°，BC＝5，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°，点B对应点B′落在BA的延长线上．若sin∠B′AC＝，则AC＝．19．（2018?贺州）如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接BB'，若∠A′B′B＝20°，则∠A的度数是．20．（2018?咸宁）如图，已知∠MON＝120°，点A，B分别在OM，ON上，且OA＝OB＝a，将射线OM绕点O逆时针旋转得到OM′，旋转角为α（0°＜α＜120°且α≠60°），作点A关于直线OM′的对称点C，画直线BC交OM′于点D，连接AC，AD，有下列结论：①AD＝CD；②∠ACD的大小随着α的变化而变化；③当α＝30°时，四边形OADC为菱形；④△ACD面积的最大值为a2；其中正确的是．（把你认为正确结论的序号都填上）．21．（2018?苏州）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝．将△ABC绕点A 按逆时针方向旋转90°得到△AB'C′，连接B'C，则sin∠ACB′＝．22．（2018?陕西）如图，点O是?ABCD的对称中心，AD＞AB，E、F是AB边上的点，且EF＝AB；G、H是BC边上的点，且GH＝BC，若S1，S2分别表示△EOF和△GOH的面积，则S1与S2之间的等量关系是．23．（2018?台州）如图，把平面内一条数轴x绕原点O逆时针旋转角θ（0°＜θ＜90°）得到另一条数轴y，x轴和y轴构成一个平面斜坐标系．规定：过点P作y轴的平行线，交x轴于点A，过点P作x轴的平行线，交y轴于点B，若点A在x轴上对应的实数为a，点B在y轴上对应的实数为b，则称有序实数对（a，b）为点P的斜坐标，在某平面斜坐标系中，已知θ＝60°，点M的斜坐标为（3，2），点N与点M关于y轴对称，则点N 的斜坐标为．24．（2018?张家界）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转150°，得到△ADE，这时点B，C，D 恰好在同一直线上，则∠B的度数为．三．解答题25．（2018?丹东）如图，网格中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，点A，B，C A（﹣2，3），B（﹣5，1），C（﹣3，1）．先将△ABC沿一个确定方向平移，的坐标分别为得到△A1B1C1，点B的对应点B1的坐标是（1，2）；再将△A1B1C1绕原点O顺时针旋转90°，得到△A2B2C2，点A1的对应点为A2．（1）画出△A1B1C1，并直接写出点A1的坐标；（2）画出△A2B2C2，并直接写出cos B的值．26．（2018?铁岭）如图，△ABC与△CDE是等边三角形，连接AD，取AD的中点P，连接BP 并延长至点M，使PM＝BP，连接AM，EM，AE，将△CDE绕点C顺时针旋转．（1）如图1，当点D在BC上，点E在AC上时，则△AEM的形状为；（2）将△CDE绕点C顺时针旋转至图2的位置，请判断△AEM的形状，并说明理由；（3）若CD＝BC，将△CDE由图1位置绕点C顺时针旋转α（0°≤α＜360°），当ME＝CD时，请直接写出α的值．27．（2018?鄂尔多斯）（1）【操作发现】如图1，将△ABC绕点A顺时针旋转60°，得到△ADE，连接BD，则∠ABD＝度．（2）【类比探究】如图2，在等边三角形ABC内任取一点P，连接PA，PB，PC，求证：以PA，PB，PC的长为三边必能组成三角形．（3）【解决问题】如图3，在边长为的等边三角形ABC内有一点P，∠APC＝90°，∠BPC＝120°，求△APC的面积．（4）【拓展应用】如图4是A，B，C三个村子位置的平面图，经测量AC＝4，BC＝5，∠ACB＝30°，P为△ABC内的一个动点，连接PA，PB，PC．求PA+PB+PC的最小值．28．（2018?牡丹江）在等腰△ABC中，∠B＝90°，AM是△ABC的角平分线，过点M作MN⊥AC于点N，∠EMF＝135°．将∠EMF绕点M旋转，使∠EMF的两边交直线AB于点E，交直线AC于点F，请解答下列问题：（1）当∠EMF绕点M旋转到如图①的位置时，求证：BE+CF＝BM；（2）当∠EMF绕点M旋转到如图②，图③的位置时，请分别写出线段BE，CF，BM之间的数量关系，不需要证明；（3）在（1）和（2）的条件下，tan∠BEM＝，AN＝+1，则BM＝，CF＝．29．（2018?青海）请认真阅读下面的数学小探究系列，完成所提出的问题：（1）探究1：如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，将边AB绕点BB D，连接C D．求证：△BCD的面积为a顺时针旋转90°得到线段2．（提示：过点D作BC边上的高D E，可证△ABC≌△BDE）（2）探究2：如图2，在一般的Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，将边AB绕点B顺时B D，连接C D．请用含a的式子表示△BCD的面积，并说明理由．针旋转90°得到线段（3）探究3：如图3，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝a，将边AB绕点B顺时针旋B D，连接C D．试探究用含a的式子表示△BCD的面积，要有探究过程．转90°得到线段30．（2018?绥化）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣4，1），B（﹣1，﹣1），C（﹣3，3）．（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）（1）将△ABC先向上平移2个单位长度，再向右平移4个单位长度得到△A1B1C1（点A、B、C的对应点分别为点A1、B1、C1），画出平移后的△A1B1C1；（2）将△A1B1C1绕着坐标原点O顺时针旋转90°得到△A2B2C2（点A1、B1、C1的对应点分别为点A2、B2、C2），画出旋转后的△A2B2C2；（3）求△A1B1C1在旋转过程中，点C1旋转到点C2所经过的路径的长．（结果用含π的式子表示）31．（2018?黑龙江）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（1，1），C（3，1）．（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1．（2）画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2．（3）在（2）的条件下，求点A所经过的路径长（结果保留π）．32．（2018?赤峰）将一副三角尺按图1摆放，等腰直角三角尺的直角边DF恰好垂直平分AB，与AC相交于点G，BC＝2cm．（1）求GC的长；（2）如图2，将△DEF绕点D顺时针旋转，使直角边DF经过点C，另一直角边DE与AC 相交于点H，分别过H、C作AB的垂线，垂足分别为M、N，通过观察，猜想MD与ND的数量关系，并验证你的猜想．（3）在（2）的条件下，将△DEF沿DB方向平移得到△D′E′F′，当D′E′恰好经过（1）中的点G时，请直接写出DD′的长度．33．（2018?阜新）如图，△ABC在平面直角坐标系内，顶点的坐标分别为A（﹣4，4），B（﹣2，5），C（﹣2，1）．（1）平移△ABC，使点C移到点C1（﹣2，﹣4），画出平移后的△A1B1C1，并写出点A1，B1的坐标；（2）将△ABC绕点（0，3）旋转180°，得到△A2B2C2，画出旋转后的△A2B2C2；（3）求（2）中的点C旋转到点C2时，点C经过的路径长（结果保留π）．34．（2018?广西）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（1，1），B（4，1），C（3，3）．（1）将△ABC向下平移5个单位后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；（2）将△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2；（3）判断以O，A1，B为顶点的三角形的形状．（无须说明理由）35．（2018?临沂）将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜360°），得到矩形AEFG．（1）如图，当点E在BD上时．求证：FD＝CD；（2）当α为何值时，GC＝GB？画出图形，并说明理由．36．（2018?自贡）如图，已知∠AOB＝60°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个120°角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E．（1）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），请猜想OE+OD与OC的数量关系，并说明理由；（2）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；（3）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立？请在图3中画出图形，若成立，请给于证明；若不成立，线段OD、OE与OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．参考答案一．选择题1．解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；故选：D．2．解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，∴∠C1AB1＝∠CAB＝100°，AB1＝AB，∠CAC1＝∠BAB1，∵BB1∥AC1，∴∠C1AB1+AB1B＝180°，∴∠AB1B＝80°，∵AB＝AB1，∴∠ABB1＝∠AB1B＝80°，∴∠BAB1＝20°，∴∠CAC1＝20°，故选：B．3．解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；故选：B．4．解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形；B、不是轴对称图形，是中心对称图形；C、是轴对称图形，不是中心对称图形；D、是轴对称图形，是中心对称图形．故选：D．5．解：由图知，旋转中心P的坐标为（1，2），故选：C．6．解：连接B M，在△ABM和△C′BM中，，∴△ABM≌△C′BM，∠2＝∠3＝＝30°，在△ABM中，AM＝×tan30°＝1，S△ABM＝＝，正方形的面积为：＝3，，2×＝3﹣阴影部分的面积为：3﹣故选：C．7．解：等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，正五边形，是轴对称图形，不是中心对称图形，正方形和正六边形既是轴对称图形又是中心对称图形，故选：C．8．解：由点B坐标为（2，﹣2）则OB＝，且OB与x轴、y轴夹角为45°当点B绕原点逆时针转动75°时，OB1与x轴正向夹角为30°则B1到x轴、y轴距离分别为，，则点B1坐标为（，）；同理，当点B绕原点顺时针转动75°时，OB1与y轴负半轴夹角为30°，则B1到x轴、y轴距离分别为，，则点B1坐标为（﹣，﹣）；故选：C．9．解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意；C、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不合题意．故选：C．10．解：∵四边形OABC是正方形，且OA＝1，∴B（1，1），连接O B，由勾股定理得：OB＝，由旋转得：OB＝OB1＝OB2＝OB3＝⋯＝，∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，相当于将线段O B绕点O逆时针旋转45°，依次得到∠AOB＝∠BOB1＝∠B1OB2＝⋯＝45°，∴B1（0，），B2（﹣1，1），B3（﹣，0），⋯，发现是8次一循环，所以2018÷8＝252⋯余2，∴点B2018的坐标为（﹣1，1）故选：D．11．解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；B、不是中心对称图形，故此选项错误；C、不是中心对称图形，故此选项错误；D、是中心对称图形，故此选项正确，故选：D．12．解：由题意可得，∠CBD＝α，∠ACB＝∠EDB，∵∠EDB+∠ADB＝180°，∴∠ADB+∠ACB＝180°，∵∠ADB+∠DBC+∠BCA+∠CAD＝360°，∠CBD＝α，∴∠CAD＝180°﹣α，故选：C．13．解：如图，连接BM．∵△AEM与△ADM关于AM所在的直线对称，∴AE＝AD，∠MA＝D∠MA．E∵△ADM按照顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF，∴AF＝AM，∠FAB＝∠MA．D∴∠FAB＝∠MAE∴∠FAB+∠BAE＝∠BAE+∠MAE．∴∠FAE＝∠MAB．∴△FAE≌△MAB（SAS）．∴EF＝BM．∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD＝AB＝3．∵DM＝1，∴CM＝2．∴在Rt△BCM中，BM＝＝，∴EF＝，故选：C．解法二：如图，过E作HG∥AD，交AB于H，交CD于G，作EN⊥BC于N，则∠AHG＝∠MGE ＝90°，由折叠可得，∠AEM＝∠D＝90°，AE＝AD＝3，DM＝EM＝1，∴∠AEH+∠ME＝G∠EMG+∠MEG＝90°，∴∠AEH＝∠EMG，∴△AEH∽△EMG，∴＝＝，设M G＝x，则E H＝3x，DG＝1+x＝AH，∴Rt△AEH中，（1+x）＝3，2+（3x）22解得x1＝，x2＝﹣1（舍去），∴EH＝＝BN，CG＝CM﹣M G＝＝EN，又∵BF＝DM＝1，∴FN＝，∴Rt△AEN中，EF＝＝，故选：C．14．解：A、有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等，错误，必须是两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等；B、正方形既是轴对称图形又是中心对称图形，正确；C、矩形的对角线相等且互相平分，故此选项错误；D、六边形的内角和是720°，故此选项错误．故选：B．15．解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，∴AC＝AC1，∠CAC1＝60°，∵AB＝8，AC＝6，∠BAC＝30°，∴∠BAC1＝90°，AB＝8，AC1＝6，∴在Rt△BAC1中，BC1的长＝，故选：C．16．解：∵AG＝AE，∠FAE＝∠FAG＝45°，AF＝AF，∴△AFE≌△AFG，∴EF＝FG，∵DE＝BG，∴EF＝FG＝BG+FB＝DE+BF，故①正确，∵BC＝CD＝AD＝4，EC＝1，∴DE＝3，设B F＝x，则EF＝x+3，CF＝4﹣x，在Rt△ECF中，（x+3）2＝（4﹣x）2+12，解得x＝，∴BF＝，AF＝＝，故②正确，③错误，∵BM∥AG，∴△FBM∽△FGA，∴＝（）2，∴S△FBM＝，故④正确，故选：D．二．填空题（共8小题）17．解：∵Rt△ABC绕其直角顶点C按顺时针方向旋转90°后得到Rt△DEC，∴AC＝CD，∴△ACD是等腰直角三角形，∴∠CAD＝45°，则∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝25°+45°＝70°，故答案为：70°．18．解：作CD⊥BB′于D，如图，∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°，点B对应点B′落在BA的延长线上，∴CB＝CB′＝5，∠BCB′＝90°，∴△BCB′为等腰直角三角形，∴BB′＝BC＝5，∴CD＝BB′＝，在Rt△ACD中，∵sin∠DAC＝＝，∴AC＝×＝．故答案为．19．解：∵Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，∴BC＝B′C，∴△BCB′是等腰直角三角形，∴∠CBB′＝45°，∴∠B′A′C＝∠A′B′B+∠CBB′＝20°+45°＝65°，由旋转的性质得∠A＝∠B′A′C＝65°．故答案为：65°．20．解：①∵A、C关于直线OM'对称，∴OM'是AC的垂直平分线，∴CD＝AD，故①正确；②连接OC，由①知：OM'是AC的垂直平分线，∴OC＝OA，∴OA＝OB＝OC，以O为圆心，以OA为半径作⊙O，交AO的延长线于E，连接BE，则A、B、C都在⊙O上，∵∠MO＝N120°，∴∠BOE＝60°，∵OB＝OE，∴△OBE是等边三角形，∴∠E＝60°，∵A、C、B、E四点共圆，∴∠ACD＝∠E＝60°，故②不正确；③当α＝30°时，即∠AOD＝∠CO＝D30°，∴∠AOC＝60°，∴△AOC是等边三角形，∴∠OAC＝60°，OC＝OA＝AC，由①得：CD＝AD，∴∠CAD＝∠ACD＝∠CDA＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴AC＝AD＝CD，∴OC＝OA＝AD＝CD，∴四边形OADC为菱形；故③正确；④∵CD＝AD，∠ACD＝60°，∴△ACD是等边三角形，当AC最大时，△ACD的面积最大，∵AC是⊙O的弦，当AC为直径时最大，此时AC＝2a，S△ACD＝×（2a）2＝；故④正确，所以本题结论正确的有：①③④故答案为：①③④．21．解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝5，过C作CM⊥AB′于M，过A作AN⊥CB′于N，∵根据旋转得出AB′＝AB＝2，∠B′AB＝90°，即∠CMA＝∠MAB＝∠B＝90°，∴CM＝AB＝2，AM＝BC＝，∴B′M＝2﹣＝，在Rt△B′MC中，由勾股定理得：B′C＝＝＝5，∴S△AB′C＝＝，∴5×AN＝2×2，解得：AN＝4，∴sin∠ACB′＝＝，故答案为：．22．解：∵＝＝，＝＝，∴S1＝S△AOB，S2＝S△BOC．∵点O是?ABCD的对称中心，∴S△AOB＝S△BO＝C S?ABCD，∴＝＝．即S1与S2之间的等量关系是＝．故答案为＝．23．解：如图作ND∥x轴交y轴于D，作NC∥y轴交x轴于C．MN交y轴于K．∵NK＝MK，∠DNK＝∠BM，K∠NKD＝∠MKB，∴△NDK≌△MBK，∴DN＝BM＝OC＝3，DK＝BK，在Rt△KBM中，BM＝3，∠MBK＝60°，∴∠BMK＝30°，∴DK＝BK＝BM＝，∴OD＝5，∴N（﹣3，5），故答案为（﹣3，5）24．解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转150°，得到△ADE，∴∠BAD＝150°，AD＝AB，∵点B，C，D恰好在同一直线上，∴△BAD是顶角为150°的等腰三角形，∴∠B＝∠BDA，∴∠B＝（180°﹣∠BAD）＝15°，故答案为：15°．三．解答题（共12小题）25．解：（1）如图，△A1B1C1为所作；点A1的坐标为（4，4）；（2）如图，△A2B2C2为所作；cos B＝＝．26．解：（1）如图1中，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∵AP＝PD，PB＝PM，∴四边形ABDM是平行四边形，∴∠AME＝∠ABC＝60°，∵△CDE是等边三角形，∴∠DEC＝60°，∴∠AEM＝∠DEC＝60°，∴△AEM是等边三角形，故答案为：等边三角形；（2）如图2中，结论：△AEM是等边三角形．理由：设A E交BD于O，AC交BD于K，连接D M．∵△ABC，△DEC都是等边三角形，∴CB＝CA，CD＝CE，∠BCA＝∠DCE，∴∠BCD＝∠ACE，∴△BCD≌△ACE（SAS），∴BD＝AE，∠CBK＝∠OAK，∵∠BKC＝∠AKO，∴∠AOK＝∠BCK＝60°，∵AP＝PD，BP＝PM，∴四边形ABDM是平行四边形，∴AM＝BD，AM∥BD，∴∠AOB＝∠OAM＝60°，AM＝AE，∴△AEM是等边三角形．C D＝a，则A C＝2a，AE＝a，（3）设∴AC2＝AE2+EC2，∴∠AEC＝90°①如图3中，当点D在AC的中点时，满足条件，此时α＝60°②如图4中，当点E落在BC的中点时，满足条件，此时α＝300°．综上所述，满足条件的α的值为60°或300°．27．（1）【操作发现】解：如图1中，连接BD．∵△ABC绕点A顺时针旋转60°，得到△ADE，∴AD＝AB，∠DAB＝60°，∴△DAB是等边三角形，∴∠ABD＝60°故答案为60．（2）【类比探究】证明：如图2中，以PA为边长作等边△PAD，使P、D分别在AC的两侧，连接CD．∵∠BAC＝∠PAD＝60°，∴∠BAP＝∠CAD，∵AB＝AC，AP＝AD，∴△PAB≌△ACD（SAS），∴BP＝CD，在△PCD中，∵PD+CD＞PC，又∵PA＝PD，∴AP+BP＞PC．∴PA，PB，PC的长为三边必能组成三角形．3中，∵将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到△AP′】解：如图（3）【解决问题C′，∴△APP′是等边三角形，∠AP′C＝∠APB＝360°﹣90°﹣120°＝150°，∴PP′＝AP，∠AP′P＝∠APP′＝60°，∴∠PP′C＝90°，∠P′PC＝30°，∴PP′＝PC，即AP＝PC，∵∠APC＝90°，∴AP2+PC2＝AC2，即（PC）2+PC2＝（）2，∴PC＝2，∴AP＝，∴S△APC＝AP?PC＝××2＝．4中，将△APC绕点C顺时针旋转60°，得到△EDC，连接P D、（4）【拓展应用】解：如图BE．∵将△APC绕点C顺时针旋转60°，得到△EDC，∴△APC≌△EDC（旋转的性质），∴∠ACP＝∠ECD，AC＝EC＝4，∠PCD＝60°，∴∠ACP+∠PCB＝∠ECD+∠PCB，∴∠ECD+∠PCB＝∠ACB＝30°，∴∠BCE＝∠ECD+∠PCB+∠PCD＝30°+60°＝90°，在Rt△BCE中，∵∠BCE＝90°，BC＝5，CE＝4，∴BE＝＝＝，即PA+PB+PC的最小值为；28．解：（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC＝∠C＝45°，∵AM是∠BAC的平分线，MN⊥AC，∴BM＝MN，在四边形ABMN中，∠BM＝N360°﹣90°﹣90°﹣45°＝135°，∵∠ENF＝135°，∴∠BME＝∠NMF，∴△BME≌△NMF，∴BE＝NF，∵MN⊥AC，∠C＝45°，∴∠CMN＝∠C＝45°，∴NC＝NM＝BM，∵CN＝CF+NF，∴BE+CF＝BM；2，同（1）的方法得，△BME≌△NMF，对图（2）针∴BE＝NF，∵MN⊥AC，∠C＝45°，∴∠CMN＝∠C＝45°，∴NC＝NM＝BM，∵NC＝NF﹣CF，∴BE﹣CF＝BM；针对图3，同（1）的方法得，△BME≌△NMF，∴BE＝NF，∵MN⊥AC，∠C＝45°，∴∠CMN＝∠C＝45°，∴NC＝NM＝BM，∵NC＝CF﹣NF，∴CF﹣BE＝BM；（3）在Rt△ABM和Rt△ANM中，，∴Rt△ABM≌Rt△ANM（HL），∴AB＝AN＝+1，在Rt△ABC中，AC＝AB＝+1，∴AC＝AB＝2+，∴CN＝AC﹣AN＝2+﹣（+1）＝1，在Rt△CMN中，CM＝CN＝，∴BM＝BC﹣CM＝+1﹣＝1，在Rt△BME中，tan∠BEM＝＝＝，∴BE＝，∴①由（1）知，如图1，BE+CF＝BM，∴CF＝BM﹣B E＝1﹣②由（2）知，如图2，由tan∠BEM＝，∴此种情况不成立；③由（2）知，如图3，CF﹣B E＝BM，∴CF＝BM+BE＝1+，．故答案为1，1+或1﹣29．解：（1）如图1，过点D作DE⊥CB交CB的延长线于E，∴∠BED＝∠ACB＝90°，由旋转知，AB＝BD，∠ABD＝90°，∴∠ABC+∠DBE＝90°，∵∠A+∠ABC＝90°，∴∠A＝∠DBE，在△ABC和△BDE中，，∴△ABC≌△BDE（AAS）∴BC＝DE＝a．∵S△BCD＝BC?DE∴S△BCD＝；解：（2）△BCD的面积为．理由：如图2，过点D作BC的垂线，与B C的延长线交于点E．∴∠BED＝∠ACB＝90°，∵线段A B绕点B顺时针旋转90°得到线段B E，∴AB＝BD，∠ABD＝90°．∴∠ABC+∠DBE＝90°．∵∠A+∠ABC＝90°．∴∠A＝∠DBE．在△ABC和△BDE中，，∴△ABC≌△BDE（AAS）∴BC＝DE＝a．∵S△BCD＝BC?DE∴S△BCD＝；3，过点A作AF⊥BC与F，过点D作DE⊥BC的延长线于点E，（3）如图∴∠AFB＝∠E＝90°，BF＝BC＝a．∴∠FAB+∠ABF＝90°．∵∠ABD＝90°，∴∠ABF+∠DBE＝90°，∴∠FAB＝∠EBD．∵线段B D是由线段A B旋转得到的，∴AB＝BD．在△AFB和△BED中，，∴△AFB≌△BED（AAS），∴BF＝DE＝a．∵S△BCD＝BC?DE＝?a?a＝a2．∴△BCD的面积为．30．解：（1）根据题意得：A1（0，3），B1（3，1），C1（1，5），连接A1C1，B1C1，A1B1如下图：（2）利用网格和旋转的性质画出△A2B2C2如上图所示，（3）∵C1（1，5），∴OC1＝，∴点C1旋转到点C2所经过的路径的长为：＝．31．解：（1）如图：△A1B1C1，即为所求；（2）如图：△A2B2C2，即为所求；（3）r＝＝，A经过的路径长：×2×π×＝π．32．解：（1）如图1中，在Rt△ABC中，∵BC＝2，∠B＝60°，∴AC＝BC?tan60°＝6，AB＝2BC＝4，在Rt△ADG中，AG＝＝4，∴CG＝AC＝AG＝6﹣4＝2．（2）如图2中，结论：DM+DN＝2或DM＝DN．理由：∵HM⊥AB，CN⊥AB，∴∠AMH＝∠DMH＝∠CNB＝∠CND＝90°，∵∠A+∠B＝90°，∠B+∠BCN＝90°，∴∠A＝∠BCN．∴△AHM∽△CBN，∴＝①，同法可证：△DHM∽△CDN，∴＝②由①②可得AM?BN＝DN?DM，∴＝，∴＝，∴＝，∵AD＝BD，∴AM＝DN，∴DM+DN＝AM+DM＝AD＝2．或∵△ABC为直角三角形，D为斜边AB的中点，∴CD＝BD＝AD．又∠B＝60°，∴△BDC为等边三角形，∴∠CDB＝60°．又∠EDF＝90°，∴∠MD＝A30°．∵∠A＝90°﹣∠B＝30°，∴AH＝HD，又HM⊥AD，∴MD＝．在等边三角形BCD中，CN⊥BD，∴ND＝NB．又AD＝BD，∴MD＝ND．（3）如图3中，作GK∥DE交AB由K．在△AGK中，AG＝GK＝4，∠A＝∠GKD＝30°，作GH⊥AB于H．则AH＝AG?cos30°＝2，可得AK＝2AH＝4，此时K与B重合．∴DD′＝DB＝2．33．解：（1）如图所示，则△A1B1C1为所求作的三角形，（2分）∴A1（﹣4，﹣1），B1（﹣2，0）；（4分）（2）如图所示，则△A2B2C2为所求作的三角形，（6分）（3）点C经过的路径长：是以（0，3）为圆心，以CC2为直径的半圆，由勾股定理得：CC2＝＝4，∴点C经过的路径长：×2πr＝2π．（8分）34．解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求：（2）如图所示，△A2B2C2即为所求：（3）三角形的形状为等腰直角三角形，OB＝OA1＝，A1B＝，即，所以三角形的形状为等腰直角三角形．35．【解答】解：（1）由旋转可得，AE＝AB，∠AEF＝∠ABC＝∠DAB＝90°，EF＝BC＝AD，∴∠AEB＝∠ABE，又∵∠ABE+∠EDA＝90°＝∠AEB+∠DEF，∴∠EDA＝∠DEF，又∵DE＝ED，∴△AED≌△FDE（SAS），∴DF＝AE，又∵AE＝AB＝CD，∴CD＝DF；（2）如图，当GB＝GC时，点G在BC的垂直平分线上，分两种情况讨论：①当点G在AD右侧时，取B C的中点H，连接G H交AD于M，∵GC＝GB，∴GH⊥BC，∴四边形ABHM是矩形，∴AM＝BH＝AD＝AG，∴GM垂直平分AD，∴GD＝GA＝DA，∴△ADG是等边三角形，∴∠DAG＝60°，∴旋转角α＝60°；②当点G在AD左侧时，同理可得△ADG是等边三角形，∴∠DAG＝60°，∴旋转角α＝360°﹣60°＝300°．36．解：（1）∵OM是∠AOB的角平分线，∴∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝30°，∵CD⊥OA，∴∠ODC＝90°，∴∠OCD＝60°，∴∠OCE＝∠DCE﹣∠OCD＝60°，在Rt△OCD中，OD＝OC?cos30°＝OC，同理：OE＝OC，∴OD+OE＝OC；（2）（1）中结论仍然成立，理由：过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，∴∠OFC＝∠OGC＝90°，∵∠AOB＝60°，∴∠FCG＝120°，同（1）的方法得，OF＝OC，OG＝OC，∴OF+OG＝OC，∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点，∴CF＝CG，∵∠DCE＝120°，∠FCG＝120°，∴∠DCF＝∠ECG，∴△CFD≌△CGE，∴DF＝EG，∴OF＝OD+DF＝OD+EG，OG＝OE﹣E G，∴OF+OG＝OD+EG+OE﹣E G＝OD+OE，∴OD+OE＝OC；：OE﹣O D＝OC，（3）（1）中结论不成立，结论为理由：过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，∴∠OFC＝∠OGC＝90°，∵∠AOB＝60°，∴∠FCG＝120°，同（1）的方法得，OF＝OC，OG＝OC，∴OF+OG＝OC，∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线O M上一点，∴CF＝CG，∵∠DCE＝120°，∠FCG＝120°，∴∠DCF＝∠ECG，∴△CFD≌△CGE，∴DF＝EG，∴OF＝DF﹣O D＝EG﹣O D，OG＝OE﹣E G，∴OF+OG＝EG﹣O D+OE﹣E G＝OE﹣O D，∴OE﹣O D＝OC．。