一、單項選擇題（共120題，每題1分。

每題的備選項中只有一個最符合題意。

）1. 已知k aj i 3-+=α，k j ai 63+-=β，k j i 622++-=γ，若α，β，γ共面，則a 等於：（ ）。

（A ）1或2 （B ）-1或2 （C ）-1或-2 （D ）1或-2 答案：C 。

解析：若α，β，γ共面，則下列行列式的值為零。

()()()01262361218661218612186226331222=++-=++-=---=--+---=---a a a a a a a a a a a 求解該方程得21--=或a 。

2. 設平面π的方程為02543=---z y x ，以下選項中錯誤的是：（ ）。

（2006年真題） （A ）平面π過點（-1,0，-1） （B ）平面π的法向量為k j i 543++- （C ）平面π在z 軸的截距是52-（D ）平面π與平面0222=+---z y x 垂直 答案：D 解析：選項（A ），把點（-1,0，-1）代入方程02543=---z y x ，()()()025*******=-+-=--⨯-++⨯-，正確。

選項（B ），我怎麼感覺平面π的法向量應該為k j i 543--呀？ 選項（C ），把0=x ，0=y 代入02543=---z y x ，得52-=z ，正確。

選項（D ），()()()()()0810********≠=++-=-⨯-+-⨯-+-⨯，兩平面不垂直，錯誤。

3. 球面9222=++z y x 與平面1=+z x 的交線在xoy 座標面上投影的方程是：（ ）。

（A ）()91222=-++x y x （B ）()⎩⎨⎧==-++091222z x y x（C ）()91222=++-z y z （D ）()⎩⎨⎧==++-091222x z y z 答案：B解析：聯立9222=++z y x 和1=+z x ，消去z ，得投影柱面方程()91222=-++x y x ，再與0=z 聯立，就得到投影曲線的方程。

4. ∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++-∞→213lim 22bx x ax x ，則a 與b 比值是：（ ）。

（A ）0≠b ，a 為任意實數 （B ）0≠a ，0=b （C ）1=a ，0=b （D ）0=a ，0=b 答案：A 解析過程：()()()∞=+-+++=+++++-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-∞→∞→∞→112lim 11213lim 213lim 223222222x bx x a bx x x x bx ax bx x ax x x x 。

只要0≠b ，極限均趨向於無窮大。

主要考點：極限的基本計算性質，當∞→x 時，只要分子的最高次冪大於分母的最高次冪，極限一定是無窮大。

5. 函數22x a x y -=在x 點的導數是：（ ）。

（A ）22222x a x a -- （B ）2221x a - （C ）222x a x -- （D ）22x a -答案：A解析：利用兩個函數乘積求導公式以及複合函數求導法則，有：222222222222222222/222xa x a xa x x a xa x x a xa x x x a y --=---=---=--+-=。

6. 已知函數2,x y x xy f =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛，則()()y y x f x y x f ∂∂+∂∂,,等於：（ ）。

（A ）y x 22+ （B ）y x + （C ）y x 22- （D ）y x -解析：令xy u =，yxv =，由這兩式可解得uv x =2，於是有()uv v u f =,，即()xy y x f =,， 所以()y x y x f =∂∂,，()x y y x f =∂∂,，()()y x yy x f x y x f +=∂∂+∂∂,,。

7. 設()x f 在()+∞∞-,上是奇函數，在()+∞∞-,上()0/<x f ，()0//>x f ，則在()0,∞-上必有：（ ）。

（A ）()0/>x f ，()0//>x f （B ）()0/<x f ，()0//<x f （C ）()0/<x f ，()0//>x f （D ）()0/>x f ，()0//<x f答案：B 解析過程：函數()x f 在()+∞∞-,上是奇函數，其圖形關於原點對稱，由於在()+∞,0內有()0/<x f ，()0//>x f ，()x f 單調減少，其圖形為凹的；故在()0,∞-內，()x f 應單調減少，且圖形為凸的，所以有()0/<x f ，()0//<x f 。

8. 曲面221y x z --=在點⎪⎭⎫⎝⎛21,21,21處的切平面方程是：（ ）。

（A ）023=-++z y x （B ）023=+--z y x （C ）023=-+-z y x （D ）023=++-z y x答案：A解析：切平面的法向量為x f x 2/=，y f y 2/=，1/=z f ，切平面方程的點法式方程為：0212121221212=⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯z y x ， 計算得：0212121=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-z y x ，即：023=-++z y x 。

9. dx x x ⎰-23等於：（ ）。

（A ）c x +-231（B ）()c x +--232331（C ）c x +-23 （D ）()c x +-223答案：B解析：用第一類換元及冪函數積分公式，有：()()()c x c x x d x dx x x +--=+-⨯-=---=-⎰⎰232232222331332213321310. 若()02302=+⎰kx x ，()0≠k ，則k 等於：（ ）。

（A ）1 （B ）-1 （C ）23 （D ）21答案：B解析：由()()()012322302302=+⋅=+=+=+⎰k k k k x x x x k k，得()01≠-=k k 。

11. 設()()420-=⎰x f dt t f x，且()20=f ，則()x f 是（ ）。

（A ）2xe （B ）12+x e （C ）22x e （D ）221xe答案：C解析：對()()420-=⎰x f dt t f x兩邊關於x 求導，得：()()02/=-x f x f ，()()x f x f21/=，這是可分離變數微分方程，求解得()2xCe x f =，再由()20=f ，得2=C 。

12. 設()y x f ,是連續函數，則()dy y x f dx x⎰⎰01,等於：（ ）。

（A ）()dx y x f dy x ⎰⎰10, （B ）()dx y x f dy x⎰⎰010,（C ）()dx y x f dy ⎰⎰1010, （D ）()dx y x f dy y⎰⎰110,答案：A解析：積分區域D 如圖所示，將積分區域D 看成X-型區域，則1:≤≤x y D ，10≤≤y ， 故有()()dx y x f dy dy y x f dx yx⎰⎰⎰⎰=111,,。

13. 設L 為連接（0,0）點與（1,1）點的拋物線2x y =，則對弧長的曲線積分⎰Lxds 等於：（ ）。

（A ）()155121- （B ）1255 （C ）()15532- （D ）3510 答案：A解析：這是第一類曲線積分，使用曲線積分化定積分公式，有：()()()()155121151214132814141412141212312321221122-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⨯=++⨯=+=+=⎰⎰⎰⎰x x d x dx x x dx x x xds L14. 已知级数()∑∞=+-1122n n n u u 是收敛的，则下列结论成立的是：（ ）。

（A ）∑∞=1n n u 必收敛 （B ）∑∞=1n n u 未必收敛 （C ）0lim =∞→n n u （D ）∑∞=1n n u 发散答案：B解析：可舉例加以說明，取級數∑∞=11n ，級數()∑∞=-111n 收斂，但級數∑∞=11n 發散，故選項（A ）和（C ）都不成立；再取級數∑∞=121n n ，()()()∑∑∞=∞=-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1221221241421121n n n n n n n 收斂，而∑∞=121n n 也收斂，故選項（D ）不成立。

15. 級數()∑∞=-01n n n x 在1<x 內收斂於函數：（ ）。

（A ）x -11 （B ）x +11 （C ）x x -1 （D ）xx+1 答案：B解析過程：由於() ++-+-=-∑∞=432011x x x x x n n n，可知這是公比為x -，首項為1的等比級數，當1<x 時級數收斂，且和為()xx +=--1111。

16. 微分方程()()011=--+dy x dx y 的通解是：（ ）。

（A ）c xy=-+11 （B ）()211x c y -=+ （C ）()()c y x =+-11 （D ）c xy=++11 （c 為任意常數） 答案：C解析：這是可分離變數微分方程，分離變數得：()()()()x d x y d y dx x dy y dy x dx y ---=++-=+=--+1111111111011 兩邊取積分，得：()()()()()()C y x C x y C x y =+-=-+++--=+111ln 1ln 1ln 1ln17. 微分方程21/=+y xy 滿足初始條件01==x y 的特解是：（ ）。