当前位置:文档之家› 高中数学新人教版选修2-2课时作业:第三章 数系的扩充与复数的引入3.1.1数系的扩充和复数的概念

高中数学新人教版选修2-2课时作业:第三章 数系的扩充与复数的引入3.1.1数系的扩充和复数的概念

3.复数相等的充要条件 设 a,b,c,d 都是实数,那么 a+bi=c+di⇔a=c 且 b=d.
情境导学] 为解决方程 x2=1,数系从有理数扩充到实数;数的概念扩充到实数集后,人们发现在实数 范围内很多问题还不能解决,如从解方程的角度看,象 x2=-1 这个方程在实数范围内就无 解,那么怎样解决方程 x2=-1 在实数系中无根的问题呢?我们能否将实数集进行扩充,使 得在新的数集中,该问题能得到圆满解决呢?本节我们就来研究这个问题. 探究点一 复数的概念
D.± 2,1
答案 C 解析 令Error!,得 a=± 2,b=5. 2.下列复数中,满足方程 x2+2=0 的是( )
A.±1 C.± 2i
B.±i D.±2i
答案 C
3.如果 z=m(m+1)+(m2-1)i 为纯虚数,则实数 m 的值为( )
m2+m-6 例 2 当实数 m 为何值时,复数 z= m +(m2-2m)i 为(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚
数. 解 (1)当Error!,即 m=2 时,复数 z 是实数; (2)当Error! 即 m≠0 且 m≠2 时,复数 z 是虚数; (3)当Error!, 即 m=-3 时,复数 z 是纯虚数. 反思与感悟 利用复数的概念对复数分类时,主要依据实部、虚部满足的条件,可列方程或 不等式求参数.
mm+2 (3)要使 z 是纯虚数,m 需满足 m-1 =0,m-1≠0, 且 m2+2m-3≠0, 解得 m=0 或 m=-2. 探究点二 两个复数相等 思考 1 两个复数能否比较大小? 答 如果两个复数不全是实数,那么它们不能比较大小. 思考 2 两个复数相等的充要条件是什么? 答 复数 a+bi 与 c+di 相等的充要条件是 a=c 且 b=d(a,b,c,d∈R). 例 3 已知 x,y 均是实数,且满足(2x-1)+i=-y-(3-y)i,求 x 与 y. 解 由复数相等的充要条件得Error! 解得Error! 反思与感悟 两个复数相等,首先要分清两复数的实部与虚部,然后利用两个复数相等的充 要条件可得到两个方程,从而可以确定两个独立参数.
mm+2 跟踪训练 2 实数 m 为何值时,复数 z= m-1 +(m2+2m-3)i 是(1)实数;(2)虚数;(3)纯 虚数.
mm+2 解 (1)要使 z 是实数,m 需满足 m2+2m-3=0,且 m-1 有意义即 m-1≠0,解得 m=-3.
mm+2 (2)要使 z 是虚数,m 需满足 m2+2m-3≠0,且 m-1 有意义即 m-1≠0,解得 m≠1 且 m≠-3.
3.1.1 数系的扩充和复数的概念
明目标、知重点 1.了解引进虚数单位 i 的必要性,了解数集的扩充过程. 2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念. 3.掌握复数代数形式的表示方法,理解复数相等的充要条件.
1.复数的有关概念 (1)复数 ①定义:形如 a+bi 的数叫做复数,其中 a,b∈R,i 叫做虚数单位.a 叫做复数的实部,b 叫做复数的虚部. ②表示方法:复数通常用字母 z 表示,即 z=a+bi. (2)复数集 ①定义:全体复数所成的集合叫做复数集. ②表示:通常用大写字母 C 表示. 2.复数的分类及包含关系 (1)复数(a+bi,a,b∈R)Error! (2)集合表示:
x2-x-6 跟踪训练 3 已知 x+1 =(x2-2x-3)i(x∈R),求 x 的值. 解 由复数相等的定义得 Error!解得:x=3, 所以 x=3 为所求.
1.已知复数 z=a2-(2-b)i 的实部和虚部分别是 2 和 3,则实数 a,b 的值分别是( )
A. 2,1
B. 2,5
C.± 2,5
思考 1 为解决方程 x2=2,数系从有理数扩充到实数;那么怎样解决方程 x2+1=0 在实数 系中无根的问题呢? 答 设想引入新数 i,使 i 是方程 x2+1=0 的根,即 i·i=-1,方程 x2+1=0 有解,同时 得到一些新数. 思考 2 如何理解虚数单位 i? 答 (1)i2=-1. (2)i 与实数之间可以运算,亦适合加、减、乘的运算律. (3)由于 i2<0 与实数集中 a2≥0(a∈R)矛盾,所以实数集中很多结论在复数集中不再成立. (4)若 i2=-1,那么 i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n=1. 思考 3 什么叫复数?怎样表示一个复数? 答 形如 a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,复数通常用字母 z 表示,即 z=a+bi,这一表示 形式叫做复数的代数形式,其中 a、b 分别叫做复数 z 的实部与虚部. 思考 4 什么叫虚数?什么叫纯虚数? 答 对于复数 z=a+bi(a,b∈R),当 b≠0 时叫做虚数;当 a=0 且 b≠0 时,叫做纯虚数. 思考 5 复数 m+ni 的实部、虚部一定是 m、n 吗? 答 不一定,只有当 m∈R,n∈R,则 m、n 才是该复数的实部、虚部. 例 1 请说出下列复数的实部和虚部,并判断它们是实数,虚数还是纯虚数.
1 ①2+3i;②-3+2i;③ 2+i;④π;⑤- 3i;⑥0.
1 解 ①的实部为 2,虚部为 3,是虚数;②的实部为-3,虚部为2,是虚数;③的实部为 2, 虚部为 1,是虚数;④的实部为 π,虚部为 0,是实数;⑤的实部为 0,虚部为- 3,是纯 虚数;⑥的实部为 0,虚部中,实数 a 和 b 分别叫做复数的实部和虚部.特别注意,b 为复数 的虚部而不是虚部的系数,b 连同它的符号叫做复数的虚部. 跟踪训练 1 符合下列条件的复数一定存在吗?若存在,请举出例子;若不存在,请说明理 由. (1)实部为- 2的虚数; (2)虚部为- 2的虚数; (3)虚部为- 2的纯虚数; (4)实部为- 2的纯虚数. 解 (1)存在且有无数个,如- 2+i 等;(2)存在且不唯一,如 1- 2i 等;(3)存在且唯一, 即- 2i;(4)不存在,因为纯虚数的实部为 0.
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